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广西桂林市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题
1．（2024高一下·桂林期末）复数在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高一下·桂林期末）把弧度化成角度是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·桂林期末）已知向量，，且，则（　　）
A．2 B． C． D．
4．（2024高一下·桂林期末）已知平面，和直线，，且，，，则与的位置关系是（　　）
A．平行或异面 B．平行 C．异面 D．相交
5．（2024高一下·桂林期末）已知，且为第二象限角，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·桂林期末）已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·桂林期末）“桂林山水甲天下”，如图，为测量桂林市某公园内一山的高，选择公园内某点和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得的仰角，点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高（　　）．
A． B． C． D．
8．（2024高一下·桂林期末）已知圆心角为的扇形的半径为1，点是上的一点，点是线段上的一点，点、是线段上的两点，且四边形为矩形，则该矩形的最大面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·桂林期末）已知复数，，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．在复平面内，对应的点关于虚轴对称
10．（2024高一下·桂林期末）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（　　）
A．
B．
C．
D．将函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位（纵坐标不变）得到的函数图象关于轴对称
11．（2024高一下·桂林期末）如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为）．固定容器底面一边于地面上，，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（　　）
A．水面所在四边形的面积为定值
B．没有水的部分始终呈棱柱形
C．棱一定与平面平行
D．当容器倾斜如图所示时，（定值）
12．（2024高一下·桂林期末）计算　 　（其中为虚数单位）．
13．（2024高一下·桂林期末）在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为　 　．
14．（2024高一下·桂林期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是　 　．
15．（2024高一下·桂林期末）已知向量，.
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若向量与互相垂直，求的值.
16．（2024高一下·桂林期末）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的最大值以及取得最大值时的集合．
（3）求的单调递减区间．
17．（2024高一下·桂林期末）已知正方体的棱长为2．
（1）证明：．
（2）求三棱锥的体积．
18．（2024高一下·桂林期末）在中，角的对边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积．
19．（2024高一下·桂林期末）如图，已知直线，是，之间的一点，且于点，于点，，（，为常数），点、分别为直线、上的动点，且，设.
（1）若，求的面积；
（2）当恰好中点时，求的周长的最小值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据复数在复平面内的表示判断即可.
2．【答案】D
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】利用弧度制与角度制的转化即可.
3．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，，且，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量坐标关系列方程求解即可.
4．【答案】A
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解： 平面，和直线，，且，，， 则与没有公共点，即与平行或异面.
故答案为：A.
【分析】根据两平面平行的位置关系判断两直线没有公共点判断即可.
5．【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为为第二象限角，，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据同角三角函数关系计算求解即可.
6．【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球的半径为，
由题意可得：，解得，则球的表面积为.
故答案为：A.
【分析】设球的半径为，由题意列式求得球的半径，再由球的表面积公式计算即可.
7．【答案】B
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，由，可得，
在中，由正弦定理，，
可得，
在中，，则.
故答案为：B.
【分析】在中，求长，再利用正弦定理求得长，最后在中求即可.
8．【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形
【解析】【解答】解：由题意作出图形，如图所示：
设，则，，
由正弦定理，解得，
则矩形的面积为：
，
因为，所以，
故当时，即时，.
故答案为：C.
【分析】设，将，用的三角函数式表示，利用三角恒等变换将矩形面积化成，利用的范围，结合正弦函数的图象特点求其最大值即可.
9．【答案】A,B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对A：因为，所以 ，故A正确；
对于B：因为，所以，故B正确；
对C：因为，故C错误；
对D： 因为在复平面内，对应的点 分别为，，且点关于实轴对称，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】对A：根据共轭复数的概念分析判断；对B：根据复数的模长公式运算求解；对C：根据复数的除法运算求解；对D：根据复数的几何意义分析判断.
10．【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：A、由图易知：，故A正确；
B、由图知，解得，则，解得，故B错误；
C、函数图象经过点，则，解得，因为，所以，故C正确；
D、将函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位（纵坐标不变）得到函数，不是偶函数，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由图，结合周期公式即可判断AB；代入特殊点计算即可判断C；利用三角函数图象的平移变换求得函数式，再利用函数奇偶性即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形：
A、当水面是矩形，线段的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段长逐渐增大，则水面所在四边形的面积逐渐增大，故A错误；
B、易知水面，平面平面，平面，
则，同理，而，，又平面，平面平面，因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故B正确；
C、因为，平面，平面，因此平面，即棱一定与平面平行，故C正确；
D 、当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为，体积为，
又，，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】画出随着倾斜度得到的图形，根据线面平行的性质及棱柱的定义即可判断ABC；再根据柱体的体积公式即可判断D.
12．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简即可.
13．【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图所示：
易知，则是直线与所成角，
设正方体棱长为2，因为为的中点，所以，则，
即直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】利用平移得到异面直线所成角，借助于直角三角形求解即可.
14．【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：设，即，
，
因为，
所以，
整理可得，且不共线，
则，解得，
即，，
又因为点在内（不含边界），
设，且，
可得，
则，
可得，可得，
且，可得，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，设，且，整理可得，进而计算即可.
15．【答案】（1）解：向量，，
则，
，，
设向量与的夹角为，则；
（2）解：若向量与互相垂直，
则，即.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积，结合向量的夹角公式求解即可；
（2）利用两向量垂直，数量积为零求解即可.
（1）由，，
所以，
，，
设向量与的夹角为，则.
（2）若向量与互相垂直，
则，
所以.
16．【答案】（1）解：函数的最小正周期为；
（2）解：当，时，即，时，
，得，即最大值为3，
则的最大值为，取得最大值时的集合为；
（3）解：令，，解得，，
则函数的单调递减区间是，.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用周期公式计算即可；
（2）将看成整体角，结合余弦函数的图象求解即可；
（3）将看成整体角，结合余弦函数的递减区间，计算即可.
（1），故的最小正周期为；
（2）当，时，即，时，
，得，即最大值为3．
则的最大值为，取得最大值时的集合为；
（3）由，得，
所以函数的单调递减区间是，.
17．【答案】（1）证明：在正方体中，易知，
因为平面，平面，所以，
又因为，、平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：在正方体中，平面，
则.
【知识点】棱柱的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据正方体的特征，先证平面，即可证明；
（2）根据等体积转化，结合棱锥体积公式求解即可.
（1）在正方体中，，
平面，平面，．
又，、平面，平面．
又平面，．
（2）在正方体中，平面，
.
18．【答案】（1）解：，由正弦定理得，
因为，所以，所以，则，
又因为，所以，所以；
（2）解：由，可得，
由余弦定理，可得①，
由余弦定理，可得②，
联立①②可得，解得，
故的面积为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边结合两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系化简求角即可；
（2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算即可.
（1）因为，
所以根据正弦定理得，
因为，
所以，
即，
即．
因为，所以．
因为，所以．
（2）．
因为，所以①．
因为，
所以②．
联立①②可得，解得（负根舍去），
故的面积为．
19．【答案】（1）解： 若， 即，
因为，，且，，
所以，，
又因为，所以；
（2）解：由题意有，，，
，
则的周长，其中，
设，则，
因为，所以，即，
所以.所以，，
当时，，
故周长的最小值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）易知，结合锐角三角函数求出，再求三角形面积即可；
（2）由直角三角形的边角关系结合勾股定理得出，进而表示周长，再利用与的关系，换元并由反比例函数性质得出周长最小值.
（1）由题意，易得，
，，且，，
，，
又，.
（2）由题意有，，，
，
所以的周长，其中.
设，则，
，所以，即，
所以.
所以，，
于是当时，，
因此，周长的最小值为.
1 / 1广西桂林市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题
1．（2024高一下·桂林期末）复数在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】根据复数在复平面内的表示判断即可.
2．（2024高一下·桂林期末）把弧度化成角度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】弧度制、角度制及其之间的换算
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】利用弧度制与角度制的转化即可.
3．（2024高一下·桂林期末）已知向量，，且，则（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，，且，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量坐标关系列方程求解即可.
4．（2024高一下·桂林期末）已知平面，和直线，，且，，，则与的位置关系是（　　）
A．平行或异面 B．平行 C．异面 D．相交
【答案】A
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】【解答】解： 平面，和直线，，且，，， 则与没有公共点，即与平行或异面.
故答案为：A.
【分析】根据两平面平行的位置关系判断两直线没有公共点判断即可.
5．（2024高一下·桂林期末）已知，且为第二象限角，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为为第二象限角，，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据同角三角函数关系计算求解即可.
6．（2024高一下·桂林期末）已知圆锥的高为8，底面圆的半径为4，顶点与底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：设球的半径为，
由题意可得：，解得，则球的表面积为.
故答案为：A.
【分析】设球的半径为，由题意列式求得球的半径，再由球的表面积公式计算即可.
7．（2024高一下·桂林期末）“桂林山水甲天下”，如图，为测量桂林市某公园内一山的高，选择公园内某点和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得的仰角，点的仰角以及，从点测得，已知山高，则山高（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，由，可得，
在中，由正弦定理，，
可得，
在中，，则.
故答案为：B.
【分析】在中，求长，再利用正弦定理求得长，最后在中求即可.
8．（2024高一下·桂林期末）已知圆心角为的扇形的半径为1，点是上的一点，点是线段上的一点，点、是线段上的两点，且四边形为矩形，则该矩形的最大面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形
【解析】【解答】解：由题意作出图形，如图所示：
设，则，，
由正弦定理，解得，
则矩形的面积为：
，
因为，所以，
故当时，即时，.
故答案为：C.
【分析】设，将，用的三角函数式表示，利用三角恒等变换将矩形面积化成，利用的范围，结合正弦函数的图象特点求其最大值即可.
9．（2024高一下·桂林期末）已知复数，，则下列说法正确的有（　　）
A．
B．
C．
D．在复平面内，对应的点关于虚轴对称
【答案】A,B
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对A：因为，所以 ，故A正确；
对于B：因为，所以，故B正确；
对C：因为，故C错误；
对D： 因为在复平面内，对应的点 分别为，，且点关于实轴对称，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】对A：根据共轭复数的概念分析判断；对B：根据复数的模长公式运算求解；对C：根据复数的除法运算求解；对D：根据复数的几何意义分析判断.
10．（2024高一下·桂林期末）函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（　　）
A．
B．
C．
D．将函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位（纵坐标不变）得到的函数图象关于轴对称
【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：A、由图易知：，故A正确；
B、由图知，解得，则，解得，故B错误；
C、函数图象经过点，则，解得，因为，所以，故C正确；
D、将函数图象上所有点的横坐标向右平移个单位（纵坐标不变）得到函数，不是偶函数，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】由图，结合周期公式即可判断AB；代入特殊点计算即可判断C；利用三角函数图象的平移变换求得函数式，再利用函数奇偶性即可判断D.
11．（2024高一下·桂林期末）如图，向透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，水是定量的（定体积为）．固定容器底面一边于地面上，，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面四个结论，其中正确的是（　　）
A．水面所在四边形的面积为定值
B．没有水的部分始终呈棱柱形
C．棱一定与平面平行
D．当容器倾斜如图所示时，（定值）
【答案】B,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由题意将容器倾斜，随着倾斜度的不同可得如下三种情形：
A、当水面是矩形，线段的长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段长逐渐增大，则水面所在四边形的面积逐渐增大，故A错误；
B、易知水面，平面平面，平面，
则，同理，而，，又平面，平面平面，因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，故B正确；
C、因为，平面，平面，因此平面，即棱一定与平面平行，故C正确；
D 、当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高为，体积为，
又，，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】画出随着倾斜度得到的图形，根据线面平行的性质及棱柱的定义即可判断ABC；再根据柱体的体积公式即可判断D.
12．（2024高一下·桂林期末）计算　 　（其中为虚数单位）．
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简即可.
13．（2024高一下·桂林期末）在正方体中，为的中点，则直线与所成角的余弦值为　 　．
【答案】
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：如图所示：
易知，则是直线与所成角，
设正方体棱长为2，因为为的中点，所以，则，
即直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
【分析】利用平移得到异面直线所成角，借助于直角三角形求解即可.
14．（2024高一下·桂林期末）已知为内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：设，即，
，
因为，
所以，
整理可得，且不共线，
则，解得，
即，，
又因为点在内（不含边界），
设，且，
可得，
则，
可得，可得，
且，可得，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】设，根据题意结合平面向量基本定理可得，设，且，整理可得，进而计算即可.
15．（2024高一下·桂林期末）已知向量，.
（1）求向量与夹角的余弦值；
（2）若向量与互相垂直，求的值.
【答案】（1）解：向量，，
则，
，，
设向量与的夹角为，则；
（2）解：若向量与互相垂直，
则，即.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积，结合向量的夹角公式求解即可；
（2）利用两向量垂直，数量积为零求解即可.
（1）由，，
所以，
，，
设向量与的夹角为，则.
（2）若向量与互相垂直，
则，
所以.
16．（2024高一下·桂林期末）已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）求的最大值以及取得最大值时的集合．
（3）求的单调递减区间．
【答案】（1）解：函数的最小正周期为；
（2）解：当，时，即，时，
，得，即最大值为3，
则的最大值为，取得最大值时的集合为；
（3）解：令，，解得，，
则函数的单调递减区间是，.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用周期公式计算即可；
（2）将看成整体角，结合余弦函数的图象求解即可；
（3）将看成整体角，结合余弦函数的递减区间，计算即可.
（1），故的最小正周期为；
（2）当，时，即，时，
，得，即最大值为3．
则的最大值为，取得最大值时的集合为；
（3）由，得，
所以函数的单调递减区间是，.
17．（2024高一下·桂林期末）已知正方体的棱长为2．
（1）证明：．
（2）求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明：在正方体中，易知，
因为平面，平面，所以，
又因为，、平面，所以平面，
又因为平面，所以；
（2）解：在正方体中，平面，
则.
【知识点】棱柱的结构特征；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据正方体的特征，先证平面，即可证明；
（2）根据等体积转化，结合棱锥体积公式求解即可.
（1）在正方体中，，
平面，平面，．
又，、平面，平面．
又平面，．
（2）在正方体中，平面，
.
18．（2024高一下·桂林期末）在中，角的对边分别是，且．
（1）求角的大小；
（2）若，且，求的面积．
【答案】（1）解：，由正弦定理得，
因为，所以，所以，则，
又因为，所以，所以；
（2）解：由，可得，
由余弦定理，可得①，
由余弦定理，可得②，
联立①②可得，解得，
故的面积为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理边结合两角和的正弦公式、同角三角函数基本关系化简求角即可；
（2）根据题意，由余弦定理结合三角形的面积公式代入计算即可.
（1）因为，
所以根据正弦定理得，
因为，
所以，
即，
即．
因为，所以．
因为，所以．
（2）．
因为，所以①．
因为，
所以②．
联立①②可得，解得（负根舍去），
故的面积为．
19．（2024高一下·桂林期末）如图，已知直线，是，之间的一点，且于点，于点，，（，为常数），点、分别为直线、上的动点，且，设.
（1）若，求的面积；
（2）当恰好中点时，求的周长的最小值.
【答案】（1）解： 若， 即，
因为，，且，，
所以，，
又因为，所以；
（2）解：由题意有，，，
，
则的周长，其中，
设，则，
因为，所以，即，
所以.所以，，
当时，，
故周长的最小值为.
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）易知，结合锐角三角函数求出，再求三角形面积即可；
（2）由直角三角形的边角关系结合勾股定理得出，进而表示周长，再利用与的关系，换元并由反比例函数性质得出周长最小值.
（1）由题意，易得，
，，且，，
，，
又，.
（2）由题意有，，，
，
所以的周长，其中.
设，则，
，所以，即，
所以.
所以，，
于是当时，，
因此，周长的最小值为.
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