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四川省德阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·德阳期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，与是同类二次根式，故A符合题意；
B、与不是同类二次根式，故B不符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式后，然后根据同类二次根式的定义：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，逐项进行判断即可.
2．（2024八下·德阳期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的加减乘运算法则以及二次根式的性质逐项进行判断即可.
3．（2024八下·德阳期末）已知一组数据：1，3，2，6，3．下列说法正确的是（　　）
A．众数是6 B．中位数是2 C．平均数是3 D．方差是5
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据：1，3，2，6，3
∴众数为3，故A错误；
将数据按从小到大进行排列为：1，2，3，3，6，
∴中位数是3，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故答案为：C．
【分析】众数、中位数、平均数和方差逐项进行判断即可.
4．（2024八下·德阳期末）若是正比例函数，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵是正比例函数，
∴，
解得：，，
故答案为：C．
【分析】根据正比例函数的定义：一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此即可得到答案.
5．（2024八下·德阳期末）下列命题中正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线相等且相互垂直的四边形是正方形
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B错误；
C、对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故C正确；
D、对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐项进行判断即可.
6．（2024八下·德阳期末）若一个三角形的三边分别为1，，2，则这个三角形的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵一个三角形的三边分别为1，，2，
∴，
∴该三角形为直角三角形，且直角边长度分别为1和2，
∴这个三角形的面积为，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理逆定理得出三角形是直角三角形，然后利用三角形面积公式进行求解.
7．（2024八下·德阳期末）一次函数的图象如图所示，化简代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：根据题意，得一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】对于一次函数，当时，函数图象必过一、二、三象限；当时，函数图象必过一、三、四象限；当时，函数图象必过一、二、四象限；当时，函数图象必过二、三、四象限，据此可判断出a和b的符号，然后再根据绝对值的性质进行化简即可.
8．（2024八下·德阳期末）直线经过点，，则关于的方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵直线，
∴令，有，
∴关于的方程的解即为直线与x轴交点的横坐标，
∵直线经过点，
∴关于的方程的解为，
故答案为：A．
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数图象与x轴交点的横坐标即为其相关一元一次方程的解得到答案.
9．（2024八下·德阳期末）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为．若，，则的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，有，
∴，
在中，有，
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后在中，利用勾股定理求出，从而得，进而在中，再利用勾股定理可得的长．
10．（2024八下·德阳期末）在平面直角坐标系中，过点的直线经过一、三、四象限，若点，，都在直线上，则下列判断错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，
∵直线经过一、三、四象限，
∴，
∴随的增大而增大，
∵直线经过和，
∴，
∵直线经过点，，且，
∴，
∴四个选项中，只有C选项符合题意，
故答案为：C．
【分析】设直线的解析式为，对于一次函数，当时，函数图象必过一、二、三象限；当时，函数图象必过一、三、四象限；当时，函数图象必过一、二、四象限；当时，函数图象必过二、三、四象限，据此可知，从而得随的增大而增大，进而可得，，由此可得答案．
11．（2024八下·德阳期末）《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中容方几何？”意思是：如图1，直角三角形中，，，，求内接正方形的边长．我国数学家刘徽用“出人相补”原理将直角三角形补成知形（如图1），在该图形中发现一个与正方形面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若点在线段上平移至点，连接，与直线分别相交于点，点（如图2），则平行四边形的面积为（　　）
A．12 B． C．25 D．
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1，设正方形的边长为x，
根据题意得，四边形都是矩形，
∴
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得：，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为，
∴平行四边形的面积为，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为x，根据题意易证四边形都是矩形，从而根据矩形的性质可证明，然后根据矩形和正方形的性质得，，，
则有，进而得到关于的方程，解方程求出的值，即可求出正方形的面积，最后根据平行四边形的面积为正方形的面积即可求解.
12．（2024八下·德阳期末）如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点的坐标；⑤．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的判定；正方形的性质；坐标系中的两点距离公式；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于，
∵，，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，故②错误；
在中，有，
∴，
在中，有，
∴，故③正确；
∵轴，
∴同理可证明，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，有，
∴，故④错误；
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有3个，
故答案为：B．
【分析】过点作轴于，根据点的坐标得，根据正方形的性质得，，然后利用“一线三垂直”全等模型证出，得，，再证明，即可证明四边形是矩形，故①正确；利用三角形面积公式以及矩形的面积，故②错误；在中，利用勾股定理得，在中，利用勾股定理得，故③正确；同理利用“一线三垂直”全等模型可证明，从而可得，接下来利用待定系数法求出直线解析式，进而可得，故④错误；最后利用坐标系中两点距离公式求出的值，故⑤正确．
13．（2024八下·德阳期末）式子有意义的条件是　 　．
【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0；分式有意义的条件：分式的分母不能为0，据此得关于x的不等式组，解不等式组即可求解.
14．（2024八下·德阳期末）为了调查班上同学周末的阅读时长，小明随机调查了一个小组的周末阅读时长情况如下：阅读时长1个小时有5人，阅读时长2个小时有4人，阅读时长3个小时有1人，则这组同学阅读的平均时长是　 　小时．
【答案】
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵阅读时长1个小时有5人，阅读时长2个小时有4人，阅读时长3个小时有1人，
∴这组同学阅读的平均时长为：（小时），
故答案为：．
【分析】根据平均数的计算公式进行求解即可.
15．（2024八下·德阳期末）将直线的图象向下平移2个单位后，经过点，则平移后的直线解析式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线的图象向下平移2个单位，
∴平移后得到的新解析式为：，
∵平移后的新解析式经过点，
∴，
解得：，
∴平移后的直线解析式为，
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象平移的规律“上加下减常数项，左加右减自变量”得出平移后的解析式，然后将点坐标代入新的解析式，即可求解．
16．（2024八下·德阳期末）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边长为　 　．
【答案】4或5
【知识点】勾股定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴当为三角形的直角边时，有三角形的斜边长为；
当为三角形的斜边时，有三角形的斜边长为4；
综上所述，该直角三角形的斜边长为4或5，
故答案为：4或5．
【分析】根据几个非负数的和为0，则这几个非负数均为零，同时由二次根式被开方数大于等于0以及偶次方的非负性求出的值，然后分当为直角边或斜边两种情况，结合勾股定理即可得到答案.
17．（2024八下·德阳期末）如图，在四边形中，，，，，四边形沿着翻折，使点落在点，、、分别是、、的中点，则的长度为　 　
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴由翻折的性质可知，，
∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据翻折的性质得，，然后根据三角形中位线的性质可得出，，，，从而根据平行线的性质可求出，，进而得出，最后再根据勾股定理求解即可．
18．（2024八下·德阳期末）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直线的图象上，两条直角边所在直线分别与坐标轴相交于、两点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，当三角板绕点旋转时，的最小值为8，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；角平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于，轴于，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点在直线的图象上，
∴平分，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵两条直角边所在直线分别与坐标轴相交于、两点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的最小值为8，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】过点作轴于，轴于，易证四边形是矩形，根据角平分线的性质得，推出四边形是正方形，得，，从而得，进而证出，得，然后利用完全平方公式以及的最小值，得出的值，据此即可求解.
19．（2024八下·德阳期末）计算：．
【答案】解：原式
.
【知识点】二次根式的性质与化简；整数指数幂的运算
【解析】【分析】先根据负整数指数幂、乘方、二次根式的性质、零指数幂进行化简，然后进行加减运算.
20．（2024八下·德阳期末）2024年央视春晚展演了功夫微电影《争春》．这是在德阳取景录制完成的．节目中一大批德阳元素集体亮相，展示着德阳深厚的文化底蕴．该节目的拍摄分别取最凹街，德阳文庙，钟鼓楼，以及德阳文德国际会展中心．为了确定这四个景点在市民心中的受喜爱程度，小阳对若干市民展开问卷调在，喜爱凹街的记为A类，喜爱德阳文庙的记为B类，喜爱钟鼓楼的记为C类，喜爱文德国际会展中心记为D类，并将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）这次共抽查了______名市民进行调查统计，______%，______%；
（2）补全上面的条形图．
【答案】（1）50，26，14；
（2）解：C类人数为：50×20%=10（名），
∴补全条形图如下图：
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得抽查的市民人数为：20÷40%=50（名），
∴，，
故答案为：50，26，14.
【分析】（1）用B类的人数除以其所占百分比求出抽查的市民总人数，然后用A类人数除以总人数再乘以100%可求出m的值，用D类人数除以总人数再乘以100%可求出n的值；
（2）直接用C类所占百分比乘以抽查的市民总人数求出C类人数，然后再补全条形图即可．
21．（2024八下·德阳期末）药店购进了甲、乙两种口罩共500袋逆行销售，已知甲种口罩每袋利润5元，乙种口罩每袋利润3元，且购进的两种口罩能全部卖出．设购进甲种口罩x袋，获得的总利润为W元．
（1）求总利润W关于x的函数关系式；（写出x的取值范围）
（2）如果购进甲种口罩数量最多120袋，乙种口罩数量不超过甲种口罩数量的4倍，那么该药店应该如何进货才能获利最多，并求出最大利润．
【答案】（1）解：∵购进甲种口罩x袋，
∴购进乙种口罩（500-x）袋，
∴根据题意，得；
（2）解：根据题意，得，
解得：，
∵，，
∴W随x增大而增大，
∴当时，W最大，最大值为，
∴，
∴该药店应该购进甲种口罩120袋，乙种口罩380袋才能获利最多，最多为1740元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可知购进乙种口罩（500-x）袋，然后根据“ 甲种口罩每袋利润5元，乙种口罩每袋利润3元”，由利润=单袋利润×数量分别求出甲种口罩和乙种口罩的利润，然后求和即可得到答案；
（2）先根据“ 购进甲种口罩数量最多120袋，乙种口罩数量不超过甲种口罩数量的4倍”列出关于x的不等式组，解不等式组求出x的取值范围，然后再根据一次函数的性质进行求解即可．
22．（2024八下·德阳期末）如图，在四边形中，，，．
（1）求证：；
（2）若，四边形的周长为5，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作，交反向延长线于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵四边形的周长为5，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和定理可求出，结合题意可求出，然后根据勾股定理解答即可；
（2）过点作，交反向延长线于点，得，从而求出，然后根据含30°的直角三角形的性质可求出，再根据勾股定理可求出，进而利用三角形面积以及含30°的直角三角形的性质求出，，接下来再由四边形的周长可得出，结合（1）中的，可求出，于是求出，即得出答案．
23．（2024八下·德阳期末）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点．
（1）求的值；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出时，的取值范围．
【答案】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得：，
∴，；
（2）解：由（1）可知，
∵直线与轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
联立，
解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得直线与直线的交点为，
∴根据图象可知：当时，的图象在上方，此时，
∴的取值范围是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出点坐标，从而可求出，进而利用三角形面积公式可求出，然后联立两个解析式，可求出点坐标，于是求出，最后根据求解即可；
（3）求的图象在的图象上方时，的取值范围，再结合图象即可解答．
24．（2024八下·德阳期末）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，于点，于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，矩形的面积为24，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，，
由（1）得是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得点是的中点，从而得是的中位线，然后根据三角形中位线定理得，接下来根据平行线的性质证出，于是有四边形是平行四边形，结合，即可得证结论；
（2）根据菱形的性质得，，，由（1）得是的中位线，然后根据三角形中位线定理得，根据，即可求出，最后利用三角形面积求即可求解.
（1）证明：∵菱形的对角线，相交于点，
∴点O是的中点．
∵点是的中点，
∴．
∵于点，于点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，．
由（1）可知．
∵，
∴，
∴．
25．（2024八下·德阳期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点、．将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，连接，是轴上一动点．
（1）若
①连接，证明：．
②是中点，连接并延长交直线于点，是否存在点使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由．
（2）若，点在线段上，连接，作关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）．
【答案】（1）解：①∵一次函数的图象交轴、轴分别于点、，
∴，
∴，
∴，
∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
②设点M的坐标为，
由（1）得，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即点N为的中点，
∴，
∵是以为腰的等腰三角形，
∴分两种情况讨论：当时，则，
∴，
解得：或 ，
∴点M的坐标为或；
当时，则，
∵，
∴，
解得：或（舍去，此时点M与点D重合，不存在），
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或
（2）解：如图，
∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，，
∴直线的解析式为，
设，
由轴对称的性质可得，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设点M的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
【知识点】三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）①先求出的坐标，利用勾股定理得的值，然后由平移的性质得到，于是有，利用勾股定理得，接下来利用勾股定理的逆定理即可得证结论；
②设点M的坐标为，由（1）可得，然后利用中点坐标公式求出，根据平行的性质得，于是根据平行线的性质得，可证明，得到，得，接下来再分两种情况讨论：当时，有，从而得，解方程求出m的值即可得M的坐标；当时，有，利用两点距离公式得方程，解方程求出m的值即可得M的坐标；
（2）根据一次函数的平移变换求出直线的解析式，从而设，然后根据轴对称的性质可得，则利用两点距离公式得，解方程求出t的值，可得，设点M的坐标为，于是得，利用两点距离公式得，解方程得m的值，据此即可求解.
（1）解：①在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
∴；
∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
②设点M的坐标为，
由（1）可得，
∵是中点，
∴，
由平移的性质可得，
∴，
∴，
∴，即点N为的中点，
∴；
当时，则，
∴，
∴或 ，
∴点M的坐标为或；
当时，则，
解得或（舍去，此时点M与点D重合，不存在三角形），
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或；
（2）解：∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，，
∴直线的解析式为，
设，
由轴对称的性质可得，
∴，
解得，
∴，
设点M的坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
1 / 1四川省德阳市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·德阳期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·德阳期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八下·德阳期末）已知一组数据：1，3，2，6，3．下列说法正确的是（　　）
A．众数是6 B．中位数是2 C．平均数是3 D．方差是5
4．（2024八下·德阳期末）若是正比例函数，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2024八下·德阳期末）下列命题中正确的是（　　）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线相互平分且垂直的四边形是菱形
D．对角线相等且相互垂直的四边形是正方形
6．（2024八下·德阳期末）若一个三角形的三边分别为1，，2，则这个三角形的面积为（　　）
A．1 B． C．2 D．
7．（2024八下·德阳期末）一次函数的图象如图所示，化简代数式的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·德阳期末）直线经过点，，则关于的方程的解为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·德阳期末）如图，在等腰中，，为的中点，，垂足为．若，，则的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
10．（2024八下·德阳期末）在平面直角坐标系中，过点的直线经过一、三、四象限，若点，，都在直线上，则下列判断错误的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024八下·德阳期末）《九章算术》中有一问题：“今有勾三步，股四步，问勾中容方几何？”意思是：如图1，直角三角形中，，，，求内接正方形的边长．我国数学家刘徽用“出人相补”原理将直角三角形补成知形（如图1），在该图形中发现一个与正方形面积相等的图形，从而求得这个正方形的边长．若点在线段上平移至点，连接，与直线分别相交于点，点（如图2），则平行四边形的面积为（　　）
A．12 B． C．25 D．
12．（2024八下·德阳期末）如图，，，点在边上（与，不重合），四边形为正方形，过点作，交的延长线于点，连接，交于点，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，点坐标为，点坐标为，给出以下结论：①四边形为矩形；②；③；④点的坐标；⑤．其中正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
13．（2024八下·德阳期末）式子有意义的条件是　 　．
14．（2024八下·德阳期末）为了调查班上同学周末的阅读时长，小明随机调查了一个小组的周末阅读时长情况如下：阅读时长1个小时有5人，阅读时长2个小时有4人，阅读时长3个小时有1人，则这组同学阅读的平均时长是　 　小时．
15．（2024八下·德阳期末）将直线的图象向下平移2个单位后，经过点，则平移后的直线解析式为　 　．
16．（2024八下·德阳期末）若直角三角形的两条边长为，，且满足，则该直角三角形的斜边长为　 　．
17．（2024八下·德阳期末）如图，在四边形中，，，，，四边形沿着翻折，使点落在点，、、分别是、、的中点，则的长度为　 　
18．（2024八下·德阳期末）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直线的图象上，两条直角边所在直线分别与坐标轴相交于、两点，点在轴负半轴上，点在轴正半轴上，当三角板绕点旋转时，的最小值为8，则点的坐标是　 　．
19．（2024八下·德阳期末）计算：．
20．（2024八下·德阳期末）2024年央视春晚展演了功夫微电影《争春》．这是在德阳取景录制完成的．节目中一大批德阳元素集体亮相，展示着德阳深厚的文化底蕴．该节目的拍摄分别取最凹街，德阳文庙，钟鼓楼，以及德阳文德国际会展中心．为了确定这四个景点在市民心中的受喜爱程度，小阳对若干市民展开问卷调在，喜爱凹街的记为A类，喜爱德阳文庙的记为B类，喜爱钟鼓楼的记为C类，喜爱文德国际会展中心记为D类，并将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题．
（1）这次共抽查了______名市民进行调查统计，______%，______%；
（2）补全上面的条形图．
21．（2024八下·德阳期末）药店购进了甲、乙两种口罩共500袋逆行销售，已知甲种口罩每袋利润5元，乙种口罩每袋利润3元，且购进的两种口罩能全部卖出．设购进甲种口罩x袋，获得的总利润为W元．
（1）求总利润W关于x的函数关系式；（写出x的取值范围）
（2）如果购进甲种口罩数量最多120袋，乙种口罩数量不超过甲种口罩数量的4倍，那么该药店应该如何进货才能获利最多，并求出最大利润．
22．（2024八下·德阳期末）如图，在四边形中，，，．
（1）求证：；
（2）若，四边形的周长为5，求四边形的面积．
23．（2024八下·德阳期末）如图，直线与轴交于点A，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，两直线交于点．
（1）求的值；
（2）求的面积；
（3）请根据图象直接写出时，的取值范围．
24．（2024八下·德阳期末）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，于点，于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，矩形的面积为24，求菱形的面积．
25．（2024八下·德阳期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点、．将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，连接，是轴上一动点．
（1）若
①连接，证明：．
②是中点，连接并延长交直线于点，是否存在点使得是以为腰的等腰三角形，如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由．
（2）若，点在线段上，连接，作关于的对称点，恰好落在四边形的边上，求的长（直接写出答案）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】最简二次根式；同类二次根式
【解析】【解答】解：A、，与是同类二次根式，故A符合题意；
B、与不是同类二次根式，故B不符合题意；
C、，与不是同类二次根式，故C不符合题意；
D、，与不是同类二次根式，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先将各二次根式化成最简二次根式后，然后根据同类二次根式的定义：被开方数相同的最简二次根式叫做同类二次根式，逐项进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据二次根式的加减乘运算法则以及二次根式的性质逐项进行判断即可.
3．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据：1，3，2，6，3
∴众数为3，故A错误；
将数据按从小到大进行排列为：1，2，3，3，6，
∴中位数是3，故B错误；
，故C正确；
，故D错误；
故答案为：C．
【分析】众数、中位数、平均数和方差逐项进行判断即可.
4．【答案】C
【知识点】正比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵是正比例函数，
∴，
解得：，，
故答案为：C．
【分析】根据正比例函数的定义：一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A错误；
B、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故B错误；
C、对角线相互平分且垂直的四边形是菱形，故C正确；
D、对角线相等且相互垂直平分的四边形是正方形，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理逐项进行判断即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵一个三角形的三边分别为1，，2，
∴，
∴该三角形为直角三角形，且直角边长度分别为1和2，
∴这个三角形的面积为，
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理逆定理得出三角形是直角三角形，然后利用三角形面积公式进行求解.
7．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：根据题意，得一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】对于一次函数，当时，函数图象必过一、二、三象限；当时，函数图象必过一、三、四象限；当时，函数图象必过一、二、四象限；当时，函数图象必过二、三、四象限，据此可判断出a和b的符号，然后再根据绝对值的性质进行化简即可.
8．【答案】A
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】解：∵直线，
∴令，有，
∴关于的方程的解即为直线与x轴交点的横坐标，
∵直线经过点，
∴关于的方程的解为，
故答案为：A．
【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数图象与x轴交点的横坐标即为其相关一元一次方程的解得到答案.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵为的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴在中，有，
∴，
在中，有，
故答案为：D．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，然后在中，利用勾股定理求出，从而得，进而在中，再利用勾股定理可得的长．
10．【答案】C
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，
∵直线经过一、三、四象限，
∴，
∴随的增大而增大，
∵直线经过和，
∴，
∵直线经过点，，且，
∴，
∴四个选项中，只有C选项符合题意，
故答案为：C．
【分析】设直线的解析式为，对于一次函数，当时，函数图象必过一、二、三象限；当时，函数图象必过一、三、四象限；当时，函数图象必过一、二、四象限；当时，函数图象必过二、三、四象限，据此可知，从而得随的增大而增大，进而可得，，由此可得答案．
11．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1，设正方形的边长为x，
根据题意得，四边形都是矩形，
∴
∴
∴，
∵，，，
∴，
∴，
解得：，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为，
∴平行四边形的面积为，
故答案为：B．
【分析】设正方形的边长为x，根据题意易证四边形都是矩形，从而根据矩形的性质可证明，然后根据矩形和正方形的性质得，，，
则有，进而得到关于的方程，解方程求出的值，即可求出正方形的面积，最后根据平行四边形的面积为正方形的面积即可求解.
12．【答案】B
【知识点】三角形的面积；矩形的判定；正方形的性质；坐标系中的两点距离公式；同侧一线三垂直全等模型；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于，
∵，，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故①正确；
∴，
∴，
∵，
∴，故②错误；
在中，有，
∴，
在中，有，
∴，故③正确；
∵轴，
∴同理可证明，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，有，
∴，故④错误；
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有3个，
故答案为：B．
【分析】过点作轴于，根据点的坐标得，根据正方形的性质得，，然后利用“一线三垂直”全等模型证出，得，，再证明，即可证明四边形是矩形，故①正确；利用三角形面积公式以及矩形的面积，故②错误；在中，利用勾股定理得，在中，利用勾股定理得，故③正确；同理利用“一线三垂直”全等模型可证明，从而可得，接下来利用待定系数法求出直线解析式，进而可得，故④错误；最后利用坐标系中两点距离公式求出的值，故⑤正确．
13．【答案】且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵式子有意义，
∴，
解得：且，
故答案为：且．
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0；分式有意义的条件：分式的分母不能为0，据此得关于x的不等式组，解不等式组即可求解.
14．【答案】
【知识点】平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵阅读时长1个小时有5人，阅读时长2个小时有4人，阅读时长3个小时有1人，
∴这组同学阅读的平均时长为：（小时），
故答案为：．
【分析】根据平均数的计算公式进行求解即可.
15．【答案】
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将直线的图象向下平移2个单位，
∴平移后得到的新解析式为：，
∵平移后的新解析式经过点，
∴，
解得：，
∴平移后的直线解析式为，
故答案为：．
【分析】根据一次函数图象平移的规律“上加下减常数项，左加右减自变量”得出平移后的解析式，然后将点坐标代入新的解析式，即可求解．
16．【答案】4或5
【知识点】勾股定理；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∴当为三角形的直角边时，有三角形的斜边长为；
当为三角形的斜边时，有三角形的斜边长为4；
综上所述，该直角三角形的斜边长为4或5，
故答案为：4或5．
【分析】根据几个非负数的和为0，则这几个非负数均为零，同时由二次根式被开方数大于等于0以及偶次方的非负性求出的值，然后分当为直角边或斜边两种情况，结合勾股定理即可得到答案.
17．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵，，
∴由翻折的性质可知，，
∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
∵、分别是、的中点，
∴是的中位线，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据翻折的性质得，，然后根据三角形中位线的性质可得出，，，，从而根据平行线的性质可求出，，进而得出，最后再根据勾股定理求解即可．
18．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；角平分线的性质；正方形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，过点作轴于，轴于，
∴，
∴四边形是矩形，
∵点在直线的图象上，
∴平分，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，
∵两条直角边所在直线分别与坐标轴相交于、两点，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的最小值为8，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】过点作轴于，轴于，易证四边形是矩形，根据角平分线的性质得，推出四边形是正方形，得，，从而得，进而证出，得，然后利用完全平方公式以及的最小值，得出的值，据此即可求解.
19．【答案】解：原式
.
【知识点】二次根式的性质与化简；整数指数幂的运算
【解析】【分析】先根据负整数指数幂、乘方、二次根式的性质、零指数幂进行化简，然后进行加减运算.
20．【答案】（1）50，26，14；
（2）解：C类人数为：50×20%=10（名），
∴补全条形图如下图：
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得抽查的市民人数为：20÷40%=50（名），
∴，，
故答案为：50，26，14.
【分析】（1）用B类的人数除以其所占百分比求出抽查的市民总人数，然后用A类人数除以总人数再乘以100%可求出m的值，用D类人数除以总人数再乘以100%可求出n的值；
（2）直接用C类所占百分比乘以抽查的市民总人数求出C类人数，然后再补全条形图即可．
21．【答案】（1）解：∵购进甲种口罩x袋，
∴购进乙种口罩（500-x）袋，
∴根据题意，得；
（2）解：根据题意，得，
解得：，
∵，，
∴W随x增大而增大，
∴当时，W最大，最大值为，
∴，
∴该药店应该购进甲种口罩120袋，乙种口罩380袋才能获利最多，最多为1740元．
【知识点】一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可知购进乙种口罩（500-x）袋，然后根据“ 甲种口罩每袋利润5元，乙种口罩每袋利润3元”，由利润=单袋利润×数量分别求出甲种口罩和乙种口罩的利润，然后求和即可得到答案；
（2）先根据“ 购进甲种口罩数量最多120袋，乙种口罩数量不超过甲种口罩数量的4倍”列出关于x的不等式组，解不等式组求出x的取值范围，然后再根据一次函数的性质进行求解即可．
22．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作，交反向延长线于点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
又∵四边形的周长为5，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形“等边对等角”的性质和三角形内角和定理可求出，结合题意可求出，然后根据勾股定理解答即可；
（2）过点作，交反向延长线于点，得，从而求出，然后根据含30°的直角三角形的性质可求出，再根据勾股定理可求出，进而利用三角形面积以及含30°的直角三角形的性质求出，，接下来再由四边形的周长可得出，结合（1）中的，可求出，于是求出，即得出答案．
23．【答案】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，
∴，
解得：，
∴，；
（2）解：由（1）可知，
∵直线与轴交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
联立，
解得：，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得直线与直线的交点为，
∴根据图象可知：当时，的图象在上方，此时，
∴的取值范围是．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；两一次函数图象相交或平行问题；三角形的面积；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解即可；
（2）先求出点坐标，从而可求出，进而利用三角形面积公式可求出，然后联立两个解析式，可求出点坐标，于是求出，最后根据求解即可；
（3）求的图象在的图象上方时，的取值范围，再结合图象即可解答．
24．【答案】（1）证明：∵四边形是菱形，
∴点是的中点，
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形
（2）解：∵四边形是菱形，，
∴，，，
由（1）得是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】三角形的面积；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质得点是的中点，从而得是的中位线，然后根据三角形中位线定理得，接下来根据平行线的性质证出，于是有四边形是平行四边形，结合，即可得证结论；
（2）根据菱形的性质得，，，由（1）得是的中位线，然后根据三角形中位线定理得，根据，即可求出，最后利用三角形面积求即可求解.
（1）证明：∵菱形的对角线，相交于点，
∴点O是的中点．
∵点是的中点，
∴．
∵于点，于点，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，．
由（1）可知．
∵，
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：①∵一次函数的图象交轴、轴分别于点、，
∴，
∴，
∴，
∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
②设点M的坐标为，
由（1）得，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即点N为的中点，
∴，
∵是以为腰的等腰三角形，
∴分两种情况讨论：当时，则，
∴，
解得：或 ，
∴点M的坐标为或；
当时，则，
∵，
∴，
解得：或（舍去，此时点M与点D重合，不存在），
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或
（2）解：如图，
∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，，
∴直线的解析式为，
设，
由轴对称的性质可得，
∵，
∴，
解得：，
∴，
设点M的坐标为，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴
【知识点】三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）①先求出的坐标，利用勾股定理得的值，然后由平移的性质得到，于是有，利用勾股定理得，接下来利用勾股定理的逆定理即可得证结论；
②设点M的坐标为，由（1）可得，然后利用中点坐标公式求出，根据平行的性质得，于是根据平行线的性质得，可证明，得到，得，接下来再分两种情况讨论：当时，有，从而得，解方程求出m的值即可得M的坐标；当时，有，利用两点距离公式得方程，解方程求出m的值即可得M的坐标；
（2）根据一次函数的平移变换求出直线的解析式，从而设，然后根据轴对称的性质可得，则利用两点距离公式得，解方程求出t的值，可得，设点M的坐标为，于是得，利用两点距离公式得，解方程得m的值，据此即可求解.
（1）解：①在中，当时，，当时，，
∴，
∴，
∴；
∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即；
②设点M的坐标为，
由（1）可得，
∵是中点，
∴，
由平移的性质可得，
∴，
∴，
∴，即点N为的中点，
∴；
当时，则，
∴，
∴或 ，
∴点M的坐标为或；
当时，则，
解得或（舍去，此时点M与点D重合，不存在三角形），
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或；
（2）解：∵将线段沿轴正方向平移个单位得到线段，，
∴直线的解析式为，
设，
由轴对称的性质可得，
∴，
解得，
∴，
设点M的坐标为，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴．
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