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2024-2025学年河南省驻马店市新蔡县第一高级中学高一下学期 5月月
考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各角中，与2025 角终边相同的是( )
A. 225 B. 225 C. 45 D. 45
2.设 与 是两个不共线向量，且向量 + 与 2 共线，则 =( )
A. 0 B. 12 C. 2 D.
1
2
3.已知 sin π = 3 π5， ∈ 2 , π ，则 cos =( )
A. 35 B.
3 4
5 C. 5 D.
4
5
4 = 1.复数 1 i的共轭复数是( )
A. 4 1 13 B. 2 2 i C. 1 i D. 1 + i
5.已知在“斜二测”画法下， 的直观图是一个边长为 4 的正三角形，则 的面积为( )
A. 6 B. 8 6 C. 16 6 D. 4 3
6.先将函数 ( ) = sin 4 + π 14 的图象向右平移2个最小正周期，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的
2 倍，纵坐标不变，得到函数 ( )的图象，则 ( ) =( )
A. sin 2 3π4 B. sin 8
3π
4 C. sin 2 +
3π
4 D. sin 8 +
3π
4
7.已知点 (2,0)， (3,2)，向量 = (1, 2)，则向量 在 方向上的投影向量为( )
A. 3 , 6 3 6 3 65 5 B. 5 , 5 C. 5 , 5 D.
3 , 65 5
8.如图，已知平面内并列的八个全等的正方形，则∠ + ∠ + ∠ + ∠ =( )
A. π B. π6 4 C.
π π
3 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在复平面 内，复数 1、 2所对应的点分别为 1、 2，对于下列四个等式，正确的为( )
2
A. 21 = 21 B. 1 =
2
1
C. 1 2 = 1 2 D. 1 2 = 1 2
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10.已知 为坐标原点，设 = (5, 6), = ( 1,2)，则下列说法正确的是( )
A.若 = (3, )且 ，则 = 4
B.若单位向量 ⊥ ，则 =
4
5 ,
3
5
C.若点 在直线 上，且 = 2 3, 10，则点 的坐标为 3
D.若 (4, 4)，则四边形 为平行四边形
11.已知函数 ( ) = cos( + )( > 0, > 0,0 < < π)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. = π3
B. ( ) π关于点 3 , 0 对称， ∈ Z
C. ( ) π π的对称轴为直线 = 6 + 3 ， ∈ Z
D.方程 ( ) = 在[ π, 0]内恰有 4 个互不相等的实根，则 ∈ [0,2)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知两个非零向量 ， ，若 = 0，| | = 1，|2 + | = 2 2，则| | = ．
13.密位制是一种用于测量角度的单位系统，尤其在军事领域中被广泛使用.例如：狙击手在调整射击角度时，
可以使用密位制来精确计算目标的距离和角度．密位制的基本原理是将一个圆周分为 6000 等份，每一份称
为 1 密位．将函数 ( ) = cos2 3sin cos + 12的图象向左平移 ( > 0)个单位，所得图象关于 轴对
称，则 最小值的密位数为 ．
14.如图 1，西安航天基地揽月阁是一座融合了古代文化与现代科技的标志性建筑，可近似的视为一个正四
棱台，现有一个揽月阁模型(如图 2)、下底面边长为 4 2，上底面边长为 2 2，侧棱长为 6，则该模型的
高为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 ， 满足∣ ∣ = 1，∣ ∣ = 2．
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(1)若 , = 60 ，求∣ + ∣；
(2)若 ⊥ ，求当 为何值时， ⊥ + 2 ．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin cos cos + 12 cos2 sin | | <
π
2
(1)求 ( )的最小值；
(2) π若将 ( )的图象上所有点向左平移6个单位长度得到 ( ) =
1
2 sin2 的图象，求函数 ( )的对称轴和对称
中心；
(3) ∈ π , π 1 1当 12 2 时， ( )的值域为 4 , 2 ，求 的值．
17.(本小题 15 分)
( > ) , 4 , 3如图所示，在平面直角坐标系中，锐角 、 的终边分别与单位圆交于 两点，点 5 5 ．
(1) 5 12若点 13 , 13 ，求 cos( )cos2 + sin( )sin2 的值；
(2)若 = 3 1010 ，求 sin ．
18.(本小题 17 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 是正方形， = = 2，点 , 分别是 ,
的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求直线 与 所成角的余弦值．
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19.(本小题 17 分)
《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田
面积= 12 (弦 矢+矢
2).弧田(如图)，由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等
于半径长与圆心到弦的距离之差．
2
按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为 3，弦长等于 9 米的弧田．
(1)计算弧田的实际面积；
(2)按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田实际面积相差多少平方米？
(结果保留两位小数)
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.500
14. 2
15.解：(1)根据题意， = | || |cos60 = 1 × 2 × 12 = 1，
所以 + = 2 +
2
+ 2 = 12 + 22 + 2 = 7；
(2)因为 ⊥ ，即 = 0，
即 2 = 0，则 = 1，
由 ⊥ + 2 ，
2 2得 + 2 = 2 + (2 1) = 8+ (2 1) = 3 9 = 0，
解得 = 3，
所以当 = 3 时， ⊥ + 2 ．
16.解：(1) 1 1 1由题意可得： ( ) = 2 sin2 cos + 2 cos2 sin = 2 sin(2 + )．
1
因为 ∈ ，所以 ( )的最小值为 2．
(2) 1 π由平移变换知 ( ) = 2 sin 2 + 3 + ，
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又因为 ( ) = 12 sin2
π
，则3 + = 2 π, ∈ =
π
，解得 3 + 2 π, ∈ ，
又因为| | < π π 1 π2，可得 = 0, = 3，所以 ( ) = 2 sin 2 3 ，
令 2 π π 5π π3 = 2 + π, ∈ ，对称轴为 = 12 + 2 , ∈ ，
π π π
令 2 3 = π, ∈ ，对称中心为 6 + 2 , 0 , ∈
(3)当 ∈ π π π 1 112 , 2 时，则 2 + ∈ 6 + , π + ，此时 ( )的值域为 4 , 2 ，
因为 ( )max =
1 π π
2，可知2 ∈ 6 + , π + ，
π π π π 2π π 3π且 2 < < 2，可得6 + ∈ ( 3 , 3 ), π + ∈ ( 2 , 2 )，
π π π
则6 + ≤ 2，解得 ∈ 2 ,
π π
3 ，可得6 + ∈
π
3 ,
π π 4π
2 , π + ∈ 2 , 3 ,
π
1 6 + ≥
π
由 ( )min =
6 π
4可知 7π，解得 3 ≤ ≤
π
π + ≤ 6
，
6
2 × π且 12 + =
π
6，或 2 ×
π 7π π π π π
2 + = 6，解得 = 3，或 = 6，所以 的值为 3或 = 6．
17. (1) , 4 , 3 5 12解： 因为 是锐角，且 5 5 , 13 , 13 在单位圆上，
sin = 3 , cos = 4 , sin = 12 , cos = 5所以 5 5 13 13，
cos( )cos2 + sin( )sin2
= cos( )cos2 sin( )sin2 = cos( + )
所以 cos( + ) = cos cos sin sin = 45 ×
5
13
3
5 ×
12 16
13 = 65．
(2)因为 = 3 1010 ，所以
cos( ) = 3 1010 ，
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且 = = 1，
cos( ) = 3 10 sin( ) = 10所以 10 ，可得 10 ( > )，且 cos =
4
5 , sin =
3
5，
所以 sin = sin + ( ) = sin cos( ) + cos sin( )
= 3 × 3 10 + 4 × 10 = 13 105 10 5 10 50 ．
18.解：(1)证明：连接 ，如下图所示：
点 是 的中点，所以点 是对角线 , 的交点，
所以 是 的中点， 是 的中点，
所以 // ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)由(1) // ，连接 ，如上图：
则∠ 或其补角即为异面直线 与 所成的角
由于平面 ⊥平面 ， ⊥ ， ⊥ ，又 ⊥
得 = = = 2 2，
所以 = = = 2，
因此∠ = 60°，cos∠ = 12
所以直线 与 1所成角的余弦值为2．
19.试题解析：(1)扇形半径 = 3 3，
1 1 2 2
扇形面积等于 22 = 2 × 3 × 3 3 = 9
1 1 2 27 3
弧田面积= 2
2 2 22 sin 3 = 9 4 ( )
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(2) 1 1圆心到弦的距离等于2 ，所以矢长为2 .按照上述弧田面积经验公式计算得
1 ( 1 3 3 27 27 12 弦 矢+矢
2) = 2 9 × 2 + 4 = 4 3 + 2 ．
9 27 34
27 3
4
27
8 = 1.51664798 ≈ 1.52 平方米
按照弧田面积经验公式计算结果比实际少 1.52 平米．
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