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2024-2025 学年山东省青岛第十七中学高一下学期期中阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数 对应的点为( 2,1) ，设 是虚数单位，则1+i =( )
A. 32
1
2 i B.
3 1 1 3
2 2 i C. 2 2 i D.
1+ 32 2 i
→ → → → → → → →
2.已知向量 , 满足| | = 1，| | = 3，| 2 | = 3，则 · =( )
A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
3. 的内角 , , 1所对的边分别为 , , .若 = 7, = 6, cos = 5，则 =( )
A. 5 B. 6 C. 8 D. 10
4.如图所示，一个水平放置的四边形 的斜二测画法的直观图是边长为 2 的正方形 ′ ′ ′ ′，则原
四边形 的面积是( )
A. 16 2 B. 8 2 C. 16 D. 8
5.中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出
“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间
的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积
相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为 1，下底面边长为 2，高为 2 3的正六棱台与一个
不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为( )
A. 16 B. 16 3 C. 18 3 D. 21
6.设 是空间中的一个平面， , , 是三条不同的直线，则下列说法对的是( )
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A.若 ， ， ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
B.若 ， ⊥ ， ⊥ ，则 //
C.若 // ， ⊥ ， ⊥ 则 ⊥
D.若 // ， // ， ⊥ ，则 ⊥
7.如图，在 中， 为 的中点， = 2 ， 与 交于点 ，若 = ， = ，则 =( )
A. 3 + 2 5 5 B.
2
5
3 5 C.
2
5
3 5 D.
2
5 +
3
5

8.如图，在正三棱柱 1 1 1中， 1 = ，点 是线段 1 上靠近 1的三等分点，则直线 1 与 1
所成角的余弦值为( )
A. 5 10 10 510 B. 10 C. 20 D. 20
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.(多选)下列命题正确的有( )
A.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
B.若 与 共线，则 ， ， 三点在同一条直线上
→ →
C. = 的充要条件是| | = | |且 /\ !/
D.“若 ， ， ， 是不共线的四点，且 = ” “四边形 是平行四边形”
10.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，且 ， 分别为 ， 1 的中点，则下列说法正确的是( )
A. //平面 1 1 B. ⊥
C.直线 与平面 所成角为60 D.点 3到平面 1 的距离为 3
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11.已知 三个内角 , , 的对边分别是 , , ，则下列说法正确的是( )
A.若 cos = cos ，则 是等腰三角形
B.在锐角 中，不等式 sin > cos 恒成立
C.若 tan + tan + tan > 0，则 为锐角三角形
D.若 3 2 sin sin = 3 sin sin 1 1，则 cos cos 的取值范围是 2 , 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.知 = 2 5， = (9,18)， , = π3，则 在
上的投影向量是 . (用坐标表示)
13.如图，为测量某塔的高度，在地面上选择一个观测点 ，在 处测得 处的无人机和塔顶 的仰角分别为
30°，45°.无人机距地面的高度 为 45 米，且在 处无人机测得点 的仰角为 15°，点 ， ， 在同一条直
线上，则该塔的高度 为 米.
14.已知圆柱 1 2的下底面圆 2的内接正三角形 的边长为 3， 为圆柱上底面圆 1上任意一点，若三棱
锥 3 3的体积为 2 ，则圆柱 1 2的外接球的体积 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 = (1,2), = ( 3, )．
→ →
(1)若 /\ !/ ，求 的值；
(2)若 ⊥ + 2 ，求实数 的值；
(3)若 与 的夹角是钝角，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
已知复数 = 1 + i + 2i + 3 i, ∈ ．
(1)若 是实数，求 的值；
(2)若 在复平面内对应的点位于第二象限，求 的取值范围；
(3)若| | = 13，求 的值．
17.(本小题 15 分)
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如图，在长方体 1 1 1 1中， = ， ∩ = ，点 为 1的中点．求证：
(1)直线 1//平面 ；
(2)平面 ⊥平面 1．
18.(本小题 17 分)
在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 cos = (2 )cos ．
(1)求 ；
(2)若 = 2 3，求 周长的最大值．
19.(本小题 17 分)
如图，已知四面体 中， ⊥平面 ， ⊥ ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)若在此四面体中任取两条棱作为一组(( , )和( , )视为同一组)，则它们互相垂直的组数记为 1；任取两
个面作为一组( , )和( , )视为同一组)，则它们互相垂直的组数记为 2；任取一个面和不在此面上的一条
棱作为一组(( , )和( , )视为同一组)，则它们互相垂直的组数记为 3，试求 1 + 2 + 3的值；
(3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.若此“鳖臑”中， = 1， = =
1，有一根彩带经过平面 与平面 ，且彩带的两个端点分别固定在点 和点 处，求彩带的最小长度．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(1,2)
13.90
14.32π 323 / 3 π
→ →15.(1)因为向量 = (1,2), = ( 3, )，且 /\ !/ ，
所以 1 × 2 × ( 3) = 0，解得 = 6，
所以 = ( 3)2 + ( 6)2 = 3 5．
(2)因为 + 2 = ( 5,2 + 2 )，且 ⊥ + 2 ，
所以 1 × ( 5) + 2 × (2 + 2 ) = 0，解得 = 14．
(3)因为 与 的夹角是钝角，
则 < 0 且 与 不共线，
即 1 × ( 3) + 2 × < 0 且 ≠ 6，
3
所以 < 2且 ≠ 6．
16.(1) = 1 + i + 2i + 3 i = 2 + (4 + 2)i，
因为 1是实数，所以 4 + 2 = 0，解得 = 2．
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(2) = 2 + (4 + 2)i 2 < 0,因为 ，所以 4 + 2 > 0,
1解得 2 < < 2
1
，即 的取值范围为 2 , 2 ．
(3)因为| | = 13，所以 ( 2)2 + (4 + 2)2 = 13，
化简得 17 2 + 12 5 = 0，
= 1 = 5解得 或 17．
17.(1)在长方体 1 1 1 1中，连接 ， , 分别是 1, 的中点，则 // 1，
又 1 平面 ， 平面 ，所以 1//平面 ．
(2)在长方体 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 ， 平面 ，则 1 ⊥ ，
在长方体 1 1 1 1中， = ，四边形 为正方形，则 ⊥ ，
又 1 ∩ = ， 1, 平面 1，因此 ⊥平面 1，又 平面 ，
所以平面 ⊥平面 1．
18.(1)因为 cos = (2 )cos ，
所以由正弦定理得 sin cos + sin cos 2sin cos = 0，
所以 sin( + ) 2sin cos = 0，
因为 + + = π，所以 sin 2sin cos = 0，
因为 ∈ 0, π ，所以 sin ≠ 0，则 cos = 12，
又 ∈ 0, π π，所以 = 3；
(2)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
12 = 2 + 2 = ( + )2 3 ≥ ( + )2 3 × +
2 2
即 2 =
( + )
4 ，
可得( + )2 ≤ 48，当且仅当 = 时等号成立，即 + ≤ 4 3，
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所以 + + ≤ 6 3，
即 周长的最大值为 6 3．
19.(1)由 ⊥平面 ， , , 平面 ，得 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，因此 ⊥平面 ，
而 平面 ，所以 ⊥ ．
(2)由(1)知： ⊥ , ⊥ , ⊥ ， ⊥ ，
且 ⊥平面 ， 平面 ，则 ⊥ ，且其余各棱均不垂直，得 1 = 5；
由 ⊥平面 ，且 平面 ， 平面 ，
得平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面 ，
同理由 ⊥平面 得：平面 ⊥平面 ，且其余各面均不垂直，得 2 = 3；
由 ⊥平面 ， ⊥平面 ，且其余各线面均不垂直，得 3 = 2，
所以 1 + 2 + 3 = 10．
(3)将平面 与平面 沿 展开成如图 2 所示的平面图形，连接 ，
所以彩带的最小长度为图 2 平面图中 的长，
．
由(1)知∠ = 90°，
在图 1 中，由 ⊥平面 ， 平面 ，得 ⊥ ，
又 = = = 1，则∠ = 45°，因此在图 2 中，∠ = 135°，
由余弦定理得 = 2 + 2 2 cos∠ = 12 + 12 2 × 1 × ( 22 ) = 2 + 2，
所以彩带的最小长度为 2 + 2．
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