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四川省成都市实验外国语学校2024—2025学年下学期第一次诊断性考试九年级数学试题
1．（2025·成都模拟）的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
2．（2025·成都模拟）如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·成都模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·成都模拟）电影《哪吒2》深受人们喜欢，截止到2025年3月23日，票房达到153亿，则数据153亿科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·成都模拟）八年级一班的学生升九年级时，下列有关年龄的统计量不变的是（　　）
A．平均年龄 B．年龄的方差
C．年龄的众数 D．年龄的中位数
6．（2025·成都模拟）如图，在菱形中，E是边上一点，连接，点F，G均在上，连接，，且，只添加一个条件，能判定的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·成都模拟）中国古代数学专著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清醑各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·成都模拟）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图像时，列表如下：
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 　 …
关于此函数下列说法不正确的是（　　）
A．函数图象开口向下
B．当时，该函数有最大值
C．当时，
D．若在函数图象上有两点，则
9．（2025·成都模拟）分解因式：　 　．
10．（2025·成都模拟）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是　 　．
11．（2025·成都模拟）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
12．（2025·成都模拟）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则．
13．（2025·成都模拟）如图，在中，，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为　 　．
14．（2025·成都模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：
15．（2025·成都模拟）为感受数学的魅力，享受学习数学的乐趣，某学校举行数学解题竞赛．现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了_____名学生，圆心角_____度；
（2）已知学校共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（3）李老师计划从四位学生中随机抽取两人的成绩进行分析，请用树状图法或列表法求出恰好抽中两人的概率．
16．（2025·成都模拟）如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点，在线段上，点在上，支杆，，，．请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点到水平滑杆的垂直距离（结果保留到）．（参考数据：）
17．（2025·成都模拟）如图，在中，，E为上一点，作，与交于点，经过点A、E、F的与相切于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求及的长．
18．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标；
（3）在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标．
19．（2025·成都模拟）若，则代数式的值为　 　．
20．（2025·成都模拟） 已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“不动点”，例如：直线，上存在“不动点”．若函数的图象上存在唯一“不动点”，则　 　．
21．（2025·成都模拟）如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是　 　．
22．（2025·成都模拟）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为　 　．
23．（2025·成都模拟）如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有　 　个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有　 　个．（用含n的代数式表示）
24．（2025·成都模拟）近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
25．（2025·成都模拟）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点．
26．（2025·成都模拟）已知平行四边形，，点E为对角线上一动点，连接，以为一边在的右侧作，使，连接．
（1）若且，当，如图①，求此时度数；
（2）若且，当，时，如图②，判断C，D，F三点是否共线并说明理由；
（3）如图③若，且，，当是以为底的等腰三角形时，直接写出的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-2025的相反数是2025，
故答案为：C ．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，据此直接得到答案.
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是一个长方形 ，
故答案为：C．
【分析】根据几何体俯视图的定义，直接从上面看进行判断即可．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项法则，二次根式的性质，幂的乘方法则以及同底数幂的除法法则逐项进行判断即可.
4．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵153亿=15300000000，
∴15300000000=1.53×1010，
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵八年级一班的学生升九年级，
∴每个同学的年龄都加1，
∴平均年龄加1，众数加1，中位数加1，而方差不变，
故答案为：B．
【分析】当数据都加上（或减去）一个数时，平均数、众数、中位数发生改变，而方差不变，即数据的波动情况不变，据此得到答案.
6．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
当时，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质得，然后结合三角形外角的性质得，当时，结合三角形外角的性质得，即可根据全等三角形的判定证出.
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：C．
【分析】设清酒x斗，醑酒y斗，由”一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒“可直接列出关于x，y的二元一次方程组.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∴，
∴抛物线开口向下，故A正确；
∵抛物线的解析式为：，
∴当时，该函数有最大值，故B正确；
当时，有，故C正确；
∵当，即时，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：、，
∴，y随x的增大而增大，，y随x的增大而减小，
∴当函数值时，或，故D错误；
故答案为：D．
【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式，然后由的符号决定抛物线的开口方向，即可判断A正确；根据二次函数的最值知识，即可判断B正确；令时，求出，即可判断C正确；令，求出抛物线与x轴的交点坐标，然后根据二次函数的增减性，即可判断D错误.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据因式分解的解法，先提出公因式x，然后利用“平方差公式”再进行因式分解.
10．【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：将代入，得，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】直接将A，B的坐标代入解析式中求出的值，然后得关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围.
11．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点是的重心，
∴是的边上的中线，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴故答案为：．
【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点，重心将三角形的每条分中线分成2：1两部分（重心到顶点的距离占2份，重心到对边中点的距离占1份），得是的边上的中线，且，从而得，，然后由相似三角形的判定得，根据相似三角形的性质得出的值.
13．【答案】12
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
由作图知，，平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：，
故答案为：12．
【分析】利用勾股定理得，然后根据角平分线尺规作图得，从而证出，进而根据全等三角形对应边相等得得，接下来求出，进行等量代换即可得的周长．
14．【答案】解：（1）原式
；
（2），
解不等式①，得
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；绝对值的概念与意义；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用负整数幂、绝对值的意义、零指数幂、特殊角的三角函数值进行化简，然后按实数的相关运算法则进行计算即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集即可．
15．【答案】（1）50，144；
（2）解：（名），
∴估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480名．
（3）解：列表如下：
　 A B C D
A
（A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A）
（B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B）
(C，D)
D （D，A） （D，B） （D，C）
∴共12种等可能结果，其中恰好抽中两人的结果有2种，
∴恰好抽中两人的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得一共抽取的学生人数为：（名），
∴，
故答案为：50，144；
【分析】（1）用良好等级的人数除以其人数所占百分比求出抽取的学生人数，然后用360°乘以优异的人数所占比即可求出圆心角的度数；
（2）用1200乘以样本中优异的人数所占比即可求解；
（3）利用列表法求出所有的等可能结果数，从而得恰好抽中A，B的结果数，进而利用概率公式进行计算即可求解．
（1）解：∵（名），
∴；
故答案为：50；144；
（2）解：（名），
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480名．
（3）
第一名 第二名 A B C D
A
B，A C，A D，A
B A，B
C，B D，B
C A，C B，C
D，C
D A，D B，D C，D
共12种等可能结果，其中恰好抽中两人的结果有2种，
∴恰好抽中两人的概率．
答：恰好抽中两人的概率为．
16．【答案】（1）解：如图，过点作于，
，
，，，
∴在中，，，
在中，，
，
，
，
，
，
∴的长度为；
（2）解：如图，过点作，交延长线于点，
∴，
，
在中，，
∴拉杆端点到水平滑杆的垂直距离为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过作于点，得，然后在中，解直角三角形得到的长，在中，解直角三角形得的长，从而可求出的长，进而求出的长；
（2）过点作，交延长线于点，，然后在中，解直角三角形求出的长即可求解.
（1）解：过作于点，
，
，，
∴在中，，
在中，，
，
，
，
，
答：的长度为．
（2）解：过作交的延长线于
，
．
答：拉杆端点到水平滑杆的距离为．
17．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质得，从而推出，然后根据垂径定理得，进而根据圆周角定理得，即可得证结论；
（2）连接，根据平行线性质、圆周角定理得到、，从而得，进而证出，得，于是得到，，接下来根据相似三角形的判定推出，得，即可求出，，．
（1）证明：连接，
∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴．
18．【答案】（1）解：将代入，得，
∴，
将代入 ，得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：将代入，得，
∴，
∵，
∴，
如图，取中点S，连接，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴点P到的距离是点O到距离的2倍，
如图，取点S关于点O的对称点，
∴当时，设解析式为，
∴，
∴，
∴，
联立得，
∴，
∴，
∴或；
如图，取点Q关于点S的对称点N，
∵，，
∴，
∴当时，设解析式为，
∴，
∴，
∴，
联立得，
∴，
∴，
∴或；
综上所述，点的坐标为或或或；
（3）解：如图，
∵一次函数 交轴于点，与轴交于点 ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与相似，，
∴或，
当时，有，
∴，
∴；
当时，有，
∴，
∴；
∴点的坐标或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）将A点坐标代入一次函数解析式求出m的值，即可得点A坐标，然后再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）将点B坐标代入一次函数解析式求出n的值，即可得点B坐标，从而得，然后取中点S，连接，则，，根据，得点P到的距离是点O到距离的2倍，接下来取点S关于点O的对称点，当时，求出解析式，与反比例函数解析式联立得P点坐标；取点Q关于点S的对称点，当时，求出解析式，与反比例函数解析式联立得P点坐标；
（3）先求出点C、D坐标，得，，由，得，根据与相似，，得或，代入数值求出MD的值，从而可得OM的值，进而可得M点坐标.
（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
取中点S，连接，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴点P到的距离是点O到距离的2倍，
取点S关于点O的对称点，
当时，
设解析式为，
∴，
∴，
∴，
联立得，
∴（符合），
∴；
取点Q关于点S的对称点N，
∵，，
∴，
当时，设解析式为，
∴，
∴，
∴，
联立得，
∴（符合），
∴；
∴点的坐标为或或或；
（3）解：∵中，时，，时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与相似，，
∴，
∴，
∴，
∴；
或，
∴，
∴，
∴；
∴点的坐标或．
19．【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
∵
∴原式，
故答案为：
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而整体代入即可求解。
20．【答案】或或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可知，经过，
即方程有唯一解，
整理得：，
①当时，它是一元一次方程，存在唯一“不动点”，
②当m≠1时，为使得一元二次方程有唯一解，
∴．即，
解得或．
综上所述，符合题意的m值为或或．
故答案为：或或．
【分析】根据题意代入点P，得出关于t的方程，为进一步讨论其解得个数问题，根据方程类型分类，即若m=1时为一元一次方程，有唯一解；若m≠1时，结合判别式求出m的值即可.
21．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线的判定与性质；几何概率；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，取中点，设与以为直径的半圆相切于点，
设正方形ABCD的边长为2，，
∴，，
∵为半圆的直径，
∴，与半圆相切于点，与半圆相切于点，
∵与半圆相切于点，
∴，，
∴，，
∴在中，有，
∴，
解得：，
∴，
阴影部分的面积为：，
∴在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率为：，
故答案为：．
【分析】设与以为直径的半圆相切于点，设正方形ABCD的边长为2，，根据正方形的性质得，，然后求出，同时根据切线的判定得与半圆相切于点，与半圆相切于点，从而根据切线长定理得，，进而求出，，在中，利用勾股定理求出的值，接下来再计算阴影部分的面积，最后根据概率公式进行求解即可．
22．【答案】或3
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①当时，如图①，连接，过点E作，垂足为G，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴平分，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图②，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴点落在上，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或3，
故答案为：或3.
【分析】分两种情况讨论：①当时，连接，过点E作，垂足为G，根据菱形的性质、平行线的性质得，，根据折叠的性质，利用邻补角得，然后求出，，，利用含30°的直角三角形的性质得，于是利用勾股定理得，接下来求出，根据等腰三角形的判定得，从而得，进而得；②当时，连接，根据菱形的性质得，从而得证是等边三角形，进而根据等边三角形的性质得，然后根据平行线的性质得，，根据折叠的性质得，，于是得证是等边三角形，得，可求出，得点落在上，接下来求出，得，最后得.
23．【答案】3；
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：当时，
∵均为偶数，
∴当时，有，
∴，
∵不满足，故不满足题意，舍去；
当时，有，
∴，故满足题意；
当时，有，
∴或，故满足题意；
综上所述，当时，“幸运三角形” 有3个；
当（为不小于2的正整数）时，
∵均为偶数，
∴当时，有，
∴c无解；
当时，有，
∴，故满足题意，有1个；
当时，有，
∴或，故满足题意，有2个；
......
当时，，
∴，故满足题意，有个；
综上所述，满足条件的 “幸运三角形” 的个数为个，
故答案为：3，．
【分析】当时，根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，来确定满足条件c的值，从而确定满足条件的 “幸运三角形” 的个数；同理当（为不小于2的正整数）时，利用三角形三边关系来确定满足条件c的值，找出对应的满足条件的 “幸运三角形” 的个数的规律，最后求和即可.
24．【答案】（1）解：设篮球、足球的单价各是x元、y元，
根据题意，得，
解得：，
∴篮球、足球的单价各是110元、80元；
（2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=34时，最省钱，
∴100-m=100-34=66（个），
∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）篮球、足球的单价各是x元、y元，然后根据“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，根据“ 购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半 ”列出关于m的不等式组，解不等式组得m的取值范围，然后根据题意求出w关于m的一次函数关系式，最后根据一次函数的性质进行求解.
25．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴于点，交直线于点，
∵抛物线与轴交于点C，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设直线解析式为，
将点，代入解析式，可得，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，取最大值，此时点的坐标为；
（3）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵抛物线，
∴将其向右平移一个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为，
∵点都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，
∴可设点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，，
设直线的解析式为，
联立直线的解析式和抛物线的解析式，可得，
整理可得：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理可得：，
由图像可知，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，可有，
∴直线经过一定点．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解即可；
（2）过点作轴于点，交直线于点，求出，利用点的坐标求出，然后证明为等腰直角三角形，利用三角函数解得，接下来利用待定系数法求得直线解析式，设，则，易得，进而可得，最后结合二次函数的最值知识，即可求解；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，首先确定抛物线的解析式，设点的坐标为，点的坐标为，易得，，，，再设直线的解析式为，联立直线的解析式和抛物线的解析式，可得，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得，，然后证明，由相似三角形对应边成比例的性质可得，代入数值并整理可得，由图像可知，易知，进一步可得，即可确定直线的解析式为，当时，可有，即可得证结论.
（1）解：将点、点代入抛物线，
可得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如下图，过点作轴于点，交直线于点，
对于抛物线，当时，可有，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
设直线解析式为，将点，代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，取最大值，此时点的坐标为；
（3）如下图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵抛物线，
∴将其向右平移一个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为，
∵点都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，
∴可设点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，，
设直线的解析式为，
联立直线的解析式和抛物线的解析式，
可得，整理可得，
则有，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
整理可得，
由图像可知，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，可有，
∴直线经过一定点．
26．【答案】（1）解：四边形为平行四边形，，，
四边形是菱形，为等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：点，，三点共线，理由如下：
如图，连接交于点，过点作，交延长线于，
∴，
，，四边形为平行四边形，
四边形是正方形，
，，，
∴，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点，点，点三点共线；
（3）解：如图，过点作于，过点作于，
∴，
，
，平行四边形为矩形，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
在中，，，
设，则，，
，
，
，
∴，
，
，
是以为底的等腰三角形，
，
，
解得：或(舍去)，
，
，
．
【知识点】正方形的判定与性质；四边形的综合；手拉手全等模型；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）先证出四边形是菱形，、为等边三角形，得，然后利用“手拉手”全等模型证出，即可求出；
（2）连接交于点，过点作，交延长线于，得，先证出四边形是正方形，得，，，得，于是得，然后利用“一线三垂直”全等模型证出，得出，，推出，即点，，三点共线；
（3）过点作于，过点作于，则，证出，得，于是得出，在中，解直角三角形得，，然后设，则，，，利用含30°的直角三角形的性质得，则，，从而利用勾股定理得，接下来由等腰三角形得，可列方程求出值，最后代入三角形面积公式即可得解．
（1）解：四边形为平行四边形，且，
四边形是菱形，为等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
；
（2）解：点，点，点三点共线，理由如下：
连接交于，过点作直线于，如图，
且，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点，点，点三点共线；
（3）解：如图，过点作于，过点作于，则，
，
，平行四边形为矩形，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
在中，，，
设，则，，
，
，
，，
，
，
是以为底的等腰三角形，
，
，
解得：或(舍去)，
，
，
．
1 / 1四川省成都市实验外国语学校2024—2025学年下学期第一次诊断性考试九年级数学试题
1．（2025·成都模拟）的相反数是（　　）
A． B． C．2025 D．
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：-2025的相反数是2025，
故答案为：C ．
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，据此直接得到答案.
2．（2025·成都模拟）如图①．用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“堑堵”．图②“堑堵”的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知，该“堑堵”的俯视图是一个长方形 ，
故答案为：C．
【分析】根据几何体俯视图的定义，直接从上面看进行判断即可．
3．（2025·成都模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误；
故答案为：C．
【分析】根据合并同类项法则，二次根式的性质，幂的乘方法则以及同底数幂的除法法则逐项进行判断即可.
4．（2025·成都模拟）电影《哪吒2》深受人们喜欢，截止到2025年3月23日，票房达到153亿，则数据153亿科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵153亿=15300000000，
∴15300000000=1.53×1010，
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|≤9，n为原数的整数位数减1，据此即可求解.
5．（2025·成都模拟）八年级一班的学生升九年级时，下列有关年龄的统计量不变的是（　　）
A．平均年龄 B．年龄的方差
C．年龄的众数 D．年龄的中位数
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：∵八年级一班的学生升九年级，
∴每个同学的年龄都加1，
∴平均年龄加1，众数加1，中位数加1，而方差不变，
故答案为：B．
【分析】当数据都加上（或减去）一个数时，平均数、众数、中位数发生改变，而方差不变，即数据的波动情况不变，据此得到答案.
6．（2025·成都模拟）如图，在菱形中，E是边上一点，连接，点F，G均在上，连接，，且，只添加一个条件，能判定的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
当时，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
故答案为：A.
【分析】根据菱形的性质得，然后结合三角形外角的性质得，当时，结合三角形外角的性质得，即可根据全等三角形的判定证出.
7．（2025·成都模拟）中国古代数学专著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清醑各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，得，
故答案为：C．
【分析】设清酒x斗，醑酒y斗，由”一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒“可直接列出关于x，y的二元一次方程组.
8．（2025·成都模拟）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的运动轨迹，如图为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面，足球的飞行轨迹可看成抛物线．若把对应的抛物线的函数表达式设为，画二次函数的图像时，列表如下：
x … 1 2 3 4 …
y … 0 1 0 　 …
关于此函数下列说法不正确的是（　　）
A．函数图象开口向下
B．当时，该函数有最大值
C．当时，
D．若在函数图象上有两点，则
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将代入，得，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∴，
∴抛物线开口向下，故A正确；
∵抛物线的解析式为：，
∴当时，该函数有最大值，故B正确；
当时，有，故C正确；
∵当，即时，
解得：，，
∴抛物线与x轴的交点坐标为：、，
∴，y随x的增大而增大，，y随x的增大而减小，
∴当函数值时，或，故D错误；
故答案为：D．
【分析】先利用待定系数法求二次函数的解析式，然后由的符号决定抛物线的开口方向，即可判断A正确；根据二次函数的最值知识，即可判断B正确；令时，求出，即可判断C正确；令，求出抛物线与x轴的交点坐标，然后根据二次函数的增减性，即可判断D错误.
9．（2025·成都模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据因式分解的解法，先提出公因式x，然后利用“平方差公式”再进行因式分解.
10．（2025·成都模拟）若点都在反比例函数的图象上，且，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：将代入，得，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】直接将A，B的坐标代入解析式中求出的值，然后得关于k的不等式，解不等式即可求出k的取值范围.
11．（2025·成都模拟）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
12．（2025·成都模拟）如图，点G是的重心，BG的延长线交AC于点D，过点G作，交于点E，则．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；三角形的重心及应用；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点是的重心，
∴是的边上的中线，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴故答案为：．
【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点，重心将三角形的每条分中线分成2：1两部分（重心到顶点的距离占2份，重心到对边中点的距离占1份），得是的边上的中线，且，从而得，，然后由相似三角形的判定得，根据相似三角形的性质得出的值.
13．（2025·成都模拟）如图，在中，，，．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，；②分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；③作射线交于点D；④以点A为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点H，连接，则的周长为　 　．
【答案】12
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS；尺规作图-作角的平分线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，，
∴，
由作图知，，平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴的周长为：，
故答案为：12．
【分析】利用勾股定理得，然后根据角平分线尺规作图得，从而证出，进而根据全等三角形对应边相等得得，接下来求出，进行等量代换即可得的周长．
14．（2025·成都模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】解：（1）原式
；
（2），
解不等式①，得
解不等式②，得，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式组；绝对值的概念与意义；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先利用负整数幂、绝对值的意义、零指数幂、特殊角的三角函数值进行化简，然后按实数的相关运算法则进行计算即可；
（2）先分别求出两个不等式的解集，然后根据口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”得不等式组的解集即可．
15．（2025·成都模拟）为感受数学的魅力，享受学习数学的乐趣，某学校举行数学解题竞赛．现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，把成绩按达标，良好，优秀，优异四个等级分别进行统计，并将所得数据绘制成如下不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了_____名学生，圆心角_____度；
（2）已知学校共有1200名学生，估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为多少？
（3）李老师计划从四位学生中随机抽取两人的成绩进行分析，请用树状图法或列表法求出恰好抽中两人的概率．
【答案】（1）50，144；
（2）解：（名），
∴估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480名．
（3）解：列表如下：
　 A B C D
A
（A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A）
（B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B）
(C，D)
D （D，A） （D，B） （D，C）
∴共12种等可能结果，其中恰好抽中两人的结果有2种，
∴恰好抽中两人的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得一共抽取的学生人数为：（名），
∴，
故答案为：50，144；
【分析】（1）用良好等级的人数除以其人数所占百分比求出抽取的学生人数，然后用360°乘以优异的人数所占比即可求出圆心角的度数；
（2）用1200乘以样本中优异的人数所占比即可求解；
（3）利用列表法求出所有的等可能结果数，从而得恰好抽中A，B的结果数，进而利用概率公式进行计算即可求解．
（1）解：∵（名），
∴；
故答案为：50；144；
（2）解：（名），
答：估计此次竞赛该校获优异等级的学生人数为480名．
（3）
第一名 第二名 A B C D
A
B，A C，A D，A
B A，B
C，B D，B
C A，C B，C
D，C
D A，D B，D C，D
共12种等可能结果，其中恰好抽中两人的结果有2种，
∴恰好抽中两人的概率．
答：恰好抽中两人的概率为．
16．（2025·成都模拟）如图，分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆、箱长、拉杆的长度都相等，即，点，在线段上，点在上，支杆，，，．请根据以上信息，解决下列问题：
（1）求的长度（结果保留根号）；
（2）求拉杆端点到水平滑杆的垂直距离（结果保留到）．（参考数据：）
【答案】（1）解：如图，过点作于，
，
，，，
∴在中，，，
在中，，
，
，
，
，
，
∴的长度为；
（2）解：如图，过点作，交延长线于点，
∴，
，
在中，，
∴拉杆端点到水平滑杆的垂直距离为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过作于点，得，然后在中，解直角三角形得到的长，在中，解直角三角形得的长，从而可求出的长，进而求出的长；
（2）过点作，交延长线于点，，然后在中，解直角三角形求出的长即可求解.
（1）解：过作于点，
，
，，
∴在中，，
在中，，
，
，
，
，
答：的长度为．
（2）解：过作交的延长线于
，
．
答：拉杆端点到水平滑杆的距离为．
17．（2025·成都模拟）如图，在中，，E为上一点，作，与交于点，经过点A、E、F的与相切于点，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求及的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质得，从而推出，然后根据垂径定理得，进而根据圆周角定理得，即可得证结论；
（2）连接，根据平行线性质、圆周角定理得到、，从而得，进而证出，得，于是得到，，接下来根据相似三角形的判定推出，得，即可求出，，．
（1）证明：连接，
∵与相切于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，
∴．
18．（2025·成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，交轴于点，与轴交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若为反比例函数图象上的一点，当时，求点的坐标；
（3）在轴上存在一点，使与相似，求点的坐标．
【答案】（1）解：将代入，得，
∴，
将代入 ，得，
解得：，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：将代入，得，
∴，
∵，
∴，
如图，取中点S，连接，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴点P到的距离是点O到距离的2倍，
如图，取点S关于点O的对称点，
∴当时，设解析式为，
∴，
∴，
∴，
联立得，
∴，
∴，
∴或；
如图，取点Q关于点S的对称点N，
∵，，
∴，
∴当时，设解析式为，
∴，
∴，
∴，
联立得，
∴，
∴，
∴或；
综上所述，点的坐标为或或或；
（3）解：如图，
∵一次函数 交轴于点，与轴交于点 ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与相似，，
∴或，
当时，有，
∴，
∴；
当时，有，
∴，
∴；
∴点的坐标或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）将A点坐标代入一次函数解析式求出m的值，即可得点A坐标，然后再利用待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）将点B坐标代入一次函数解析式求出n的值，即可得点B坐标，从而得，然后取中点S，连接，则，，根据，得点P到的距离是点O到距离的2倍，接下来取点S关于点O的对称点，当时，求出解析式，与反比例函数解析式联立得P点坐标；取点Q关于点S的对称点，当时，求出解析式，与反比例函数解析式联立得P点坐标；
（3）先求出点C、D坐标，得，，由，得，根据与相似，，得或，代入数值求出MD的值，从而可得OM的值，进而可得M点坐标.
（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
取中点S，连接，
则，
∵，，
∴，
∵，
∴点P到的距离是点O到距离的2倍，
取点S关于点O的对称点，
当时，
设解析式为，
∴，
∴，
∴，
联立得，
∴（符合），
∴；
取点Q关于点S的对称点N，
∵，，
∴，
当时，设解析式为，
∴，
∴，
∴，
联立得，
∴（符合），
∴；
∴点的坐标为或或或；
（3）解：∵中，时，，时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与相似，，
∴，
∴，
∴，
∴；
或，
∴，
∴，
∴；
∴点的坐标或．
19．（2025·成都模拟）若，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：
∵
∴原式，
故答案为：
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，进而整体代入即可求解。
20．（2025·成都模拟） 已知是关于的函数，若该函数的图象经过点，则称点为函数图象上的“不动点”，例如：直线，上存在“不动点”．若函数的图象上存在唯一“不动点”，则　 　．
【答案】或或
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可知，经过，
即方程有唯一解，
整理得：，
①当时，它是一元一次方程，存在唯一“不动点”，
②当m≠1时，为使得一元二次方程有唯一解，
∴．即，
解得或．
综上所述，符合题意的m值为或或．
故答案为：或或．
【分析】根据题意代入点P，得出关于t的方程，为进一步讨论其解得个数问题，根据方程类型分类，即若m=1时为一元一次方程，有唯一解；若m≠1时，结合判别式求出m的值即可.
21．（2025·成都模拟）如图，在正方形中，是以为直径的半圆的切线，在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；切线的判定与性质；几何概率；切线长定理
【解析】【解答】解：如图，取中点，设与以为直径的半圆相切于点，
设正方形ABCD的边长为2，，
∴，，
∵为半圆的直径，
∴，与半圆相切于点，与半圆相切于点，
∵与半圆相切于点，
∴，，
∴，，
∴在中，有，
∴，
解得：，
∴，
阴影部分的面积为：，
∴在正方形区域内任意取一点，则点落在阴影部分的概率为：，
故答案为：．
【分析】设与以为直径的半圆相切于点，设正方形ABCD的边长为2，，根据正方形的性质得，，然后求出，同时根据切线的判定得与半圆相切于点，与半圆相切于点，从而根据切线长定理得，，进而求出，，在中，利用勾股定理求出的值，接下来再计算阴影部分的面积，最后根据概率公式进行求解即可．
22．（2025·成都模拟）如图，在菱形中，，，点E是的中点，点F为上一动点，将沿折叠，得到．若与菱形的对角线平行，则的长为　 　．
【答案】或3
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①当时，如图①，连接，过点E作，垂足为G，
∴，
∵四边形是菱形，，
∴平分，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，
∴，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图②，连接，
∵四边形是菱形，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵将沿折叠，得到，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴点落在上，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或3，
故答案为：或3.
【分析】分两种情况讨论：①当时，连接，过点E作，垂足为G，根据菱形的性质、平行线的性质得，，根据折叠的性质，利用邻补角得，然后求出，，，利用含30°的直角三角形的性质得，于是利用勾股定理得，接下来求出，根据等腰三角形的判定得，从而得，进而得；②当时，连接，根据菱形的性质得，从而得证是等边三角形，进而根据等边三角形的性质得，然后根据平行线的性质得，，根据折叠的性质得，，于是得证是等边三角形，得，可求出，得点落在上，接下来求出，得，最后得.
23．（2025·成都模拟）如果一个三角形的三边长均为偶数，且满足，则称该三角形为“幸运三角形”．当时，则“幸运三角形”有　 　个；当（为不小于2的正整数）时，则“幸运三角形”有　 　个．（用含n的代数式表示）
【答案】3；
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：当时，
∵均为偶数，
∴当时，有，
∴，
∵不满足，故不满足题意，舍去；
当时，有，
∴，故满足题意；
当时，有，
∴或，故满足题意；
综上所述，当时，“幸运三角形” 有3个；
当（为不小于2的正整数）时，
∵均为偶数，
∴当时，有，
∴c无解；
当时，有，
∴，故满足题意，有1个；
当时，有，
∴或，故满足题意，有2个；
......
当时，，
∴，故满足题意，有个；
综上所述，满足条件的 “幸运三角形” 的个数为个，
故答案为：3，．
【分析】当时，根据三角形三边关系：“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” ，来确定满足条件c的值，从而确定满足条件的 “幸运三角形” 的个数；同理当（为不小于2的正整数）时，利用三角形三边关系来确定满足条件c的值，找出对应的满足条件的 “幸运三角形” 的个数的规律，最后求和即可.
24．（2025·成都模拟）近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
【答案】（1）解：设篮球、足球的单价各是x元、y元，
根据题意，得，
解得：，
∴篮球、足球的单价各是110元、80元；
（2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=34时，最省钱，
∴100-m=100-34=66（个），
∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）篮球、足球的单价各是x元、y元，然后根据“购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元”列出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，根据“ 购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半 ”列出关于m的不等式组，解不等式组得m的取值范围，然后根据题意求出w关于m的一次函数关系式，最后根据一次函数的性质进行求解.
25．（2025·成都模拟）如图1，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点为第一象限抛物线上的一动点，作于点，当最大时，求点的坐标；
（3）如图2，将抛物线向右平移一个单位长度得到抛物线，点，都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，连接，分别交轴、轴于点，若，求证：直线经过一定点．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于点和点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点作轴于点，交直线于点，
∵抛物线与轴交于点C，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设直线解析式为，
将点，代入解析式，可得，
解得：，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，取最大值，此时点的坐标为；
（3）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵抛物线，
∴将其向右平移一个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为，
∵点都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，
∴可设点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，，
设直线的解析式为，
联立直线的解析式和抛物线的解析式，可得，
整理可得：，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理可得：，
由图像可知，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，可有，
∴直线经过一定点．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；利用一般式求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解即可；
（2）过点作轴于点，交直线于点，求出，利用点的坐标求出，然后证明为等腰直角三角形，利用三角函数解得，接下来利用待定系数法求得直线解析式，设，则，易得，进而可得，最后结合二次函数的最值知识，即可求解；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，首先确定抛物线的解析式，设点的坐标为，点的坐标为，易得，，，，再设直线的解析式为，联立直线的解析式和抛物线的解析式，可得，利用一元二次方程的根与系数的关系，可得，，然后证明，由相似三角形对应边成比例的性质可得，代入数值并整理可得，由图像可知，易知，进一步可得，即可确定直线的解析式为，当时，可有，即可得证结论.
（1）解：将点、点代入抛物线，
可得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如下图，过点作轴于点，交直线于点，
对于抛物线，当时，可有，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即为等腰直角三角形，
∴，
设直线解析式为，将点，代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，取最大值，此时点的坐标为；
（3）如下图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵抛物线，
∴将其向右平移一个单位长度得到抛物线，则抛物线的解析式为，
∵点都在抛物线上，且分别在第一象限和第三象限，
∴可设点的坐标为，点的坐标为，
∴，，，，
设直线的解析式为，
联立直线的解析式和抛物线的解析式，
可得，整理可得，
则有，，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
整理可得，
由图像可知，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，可有，
∴直线经过一定点．
26．（2025·成都模拟）已知平行四边形，，点E为对角线上一动点，连接，以为一边在的右侧作，使，连接．
（1）若且，当，如图①，求此时度数；
（2）若且，当，时，如图②，判断C，D，F三点是否共线并说明理由；
（3）如图③若，且，，当是以为底的等腰三角形时，直接写出的面积．
【答案】（1）解：四边形为平行四边形，，，
四边形是菱形，为等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：点，，三点共线，理由如下：
如图，连接交于点，过点作，交延长线于，
∴，
，，四边形为平行四边形，
四边形是正方形，
，，，
∴，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点，点，点三点共线；
（3）解：如图，过点作于，过点作于，
∴，
，
，平行四边形为矩形，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
，
，
在中，，，
设，则，，
，
，
，
∴，
，
，
是以为底的等腰三角形，
，
，
解得：或(舍去)，
，
，
．
【知识点】正方形的判定与性质；四边形的综合；手拉手全等模型；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）先证出四边形是菱形，、为等边三角形，得，然后利用“手拉手”全等模型证出，即可求出；
（2）连接交于点，过点作，交延长线于，得，先证出四边形是正方形，得，，，得，于是得，然后利用“一线三垂直”全等模型证出，得出，，推出，即点，，三点共线；
（3）过点作于，过点作于，则，证出，得，于是得出，在中，解直角三角形得，，然后设，则，，，利用含30°的直角三角形的性质得，则，，从而利用勾股定理得，接下来由等腰三角形得，可列方程求出值，最后代入三角形面积公式即可得解．
（1）解：四边形为平行四边形，且，
四边形是菱形，为等边三角形，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
；
（2）解：点，点，点三点共线，理由如下：
连接交于，过点作直线于，如图，
且，
四边形是正方形，
，，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点，点，点三点共线；
（3）解：如图，过点作于，过点作于，则，
，
，平行四边形为矩形，
，
，
，
，
即，
，
，
，
，
，
在中，，，
设，则，，
，
，
，，
，
，
是以为底的等腰三角形，
，
，
解得：或(舍去)，
，
，
．
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