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福建省福州第一中学2024-2025学年下学期七年级期中考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在实数0，，，中，无理数是（ ）．
A．0 B． C． D．
2．下列是二元一次方程的解的是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，直线，相交于点O，平分，若，则（ ）．
A． B． C． D．
4．下列命题中，是真命题的是（ ）．
A．若，则 B．同位角相等
C．，则，都是正数 D．平行于同一条直线的两条直线平行
5．如图，将一个边长为1的正方形放在数轴上，以正方形的对角线为半径画弧，交数轴于点A，则点A对应的数为（ ）．
A．1 B． C． D．
6．已知，，则（ ）．
A． B． C． D．
7．在平面直角坐标系中，，，若点P在直线上，且，则点P的坐标为（ ）．
A． B．或 C． D．或
8．《九章算术》是我国古代的数学著作，它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术，其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价，一马、二牛价不满一万，如半牛之价，问牛、马价各几何？”其大意为：现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱；一匹马加二头牛的价钱则不到一万，不足的部分正好是半头牛的价钱，求一匹马、一头牛各多少钱？设一匹马值x钱，一头牛值y钱，则可列方程组为（ ）．
A． B．
C． D．
9．如图，将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．若，则（ ）．
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，各点坐标分别为，，，，，，……，依图中所示规律，点的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知方程，适用含 x 的代数式表示 y，则 ．
12．实数的整数部分是 ．
13．如图，测量同学的跳远成绩所蕴含的数学原理是 ．
14．在平面直角坐标系中，若点到x轴的距离是5，则m的值是 ．
15．如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，将一副三角板中的两个直角叠放在一起，其中，，，，现保持三角板不动，将三角板绕点C顺时针旋转，图②是旋转过程中的某一位置，当B、C、E三点第一次共线时旋转停止，记（k为常数），对于下列四个说法：
①当时，直线与直线相交所成的锐角度数为；
②当时，；
③当时，；
④当时，，
其中正确的有 ．（请填写序号）
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．解下列方程及方程组：
(1)；
(2)．
19．已知实数的立方根是2，的平方根是，求的算术平方根．
20．如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．若先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别为，，．
(1)在图中画出，并写出点的坐标；
(2)若内有一点经过上述平移后的对应点为，请写出点的坐标；
(3)求的面积．
21．如图，在中，，，．请证明：．
22．已知关于x，y的方程组与有相同的解．
(1)请求出这个相同的解；
(2)求a，b的值；
(3)请判断“无论m取何值，（1）中的解都是关于x、y的方程的解”，这句话是否正确？并说明理由．
23．学校组织甲、乙两支队伍共75位学生，参加文艺演出，并购买演出服（每人一套），下表是服装厂给出的演出服价格表：
购买服装的套数 套（含39套） 套（含69套） 70套及以上
每套服装的价格 80元 70元 60元
甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队．若甲乙两队分别各自购买演出服，两队共需花费5600元，请回答下列问题：
(1)如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省__________元；
(2)甲、乙两队各有多少位学生？
(3)现从甲、乙两队分别抽调一部分学生去福利院演出（要求两队抽调的人数均不为0），并在演出后与小朋友们开展“心连心活动”．若甲队每位学生对接3位小朋友，乙队每位学生对接4位小朋友，恰好使得60位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖，共有几种抽调方案？请列举出来．
24．如图，在平面直角坐标系中，，，过A，B两点分别作y轴，x轴的垂线交于点C．
(1)点C的坐标为__________；
(2)P，Q为两个动点，点P从C出发，在线段，上以2个单位长度每秒的速度沿着运动，到达原点时P停止运动；点Q从B出发，以1个单位长度每秒的速度沿着线段向原点运动，到达原点时Q停止运动，若P，Q同时出发，设运动时间为t秒，当点P在线段上时，t取何值，P、Q、C三点构成的三角形面积为1？
(3)如图2，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴的负半轴上，连接交x轴于点K，记M、B、K三点构成的三角形面积为，记N、O、K三点构成的三角形面积为，若，求点N的坐标．
25．已知，点E在直线上，点G在直线上，点H为一动点．
(1)如图1，当点H在与之间时，点F在上，连接、、，若，求证：；
(2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且．
①当，时，求的度数；
②当平分，，交于点M时，若，求的值．
(3)如图3，当H在上方，交于点F，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点M，的角平分线和的角平分线相交于点，以此类推．请直接写出与之间的数量关系__________，用含n的式子表示与之间的数量关系__________．
《福建省福州第一中学2024-2025学年下学期七年级期中考数学试卷》参考答案
1．C
解：是无理数，其它的都是有理数．
故选：C
2．D
解：A．把代入得，，因此选项A不符合题意；
B．把代入得，，因此选项B不符合题意；
C．把代入得，，因此选项C不符合题意；
D．把代入得，，因此选项D符合题意；
故选：D．
3．D
解：，
，
平分，，
，
和是对顶角，
．
故选：D．
4．D
解：当，时，，但，故A是假命题；
两直线平行，同位角相等，故B是假命题；
当，时，，但不是正数，故C是假命题；
平行于同一条直线的两条直线平行，故D是真命题．
故选：D ．
5．B
解：，
∴，
则点A对应的数是，
故选：B．
6．C
解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C
7．B
解：∵，
∴与轴平行，，
∴点P的横坐标为1，
∵，
∴
∴当点P在点B的上方时，点P的坐标为；
当点P在点B的下方时，点P的坐标为，
综上所述，点P的坐标为或．
故选：B
8．C
解：由题意可列方程组．
故选：C．
9．A
解：由折叠得到，
∴，
∵在长方形纸条中，，
∴．
故选：A
10．D
解：由图可知：每一个图形都是等腰直角三角形，
，，，，，，……，
∴的坐标为（n为奇数），
∵，
∴点的坐标为即，
故选：D．
11．
解：∵，
∴；
故答案为：．
12．2
解：
即，
实数的整数部分是．
故答案为：．
13．垂线段最短
解：体育课上，老师按照如图所示的方式测量同学的跳远成绩，这里面蕴含的数学原理是垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
14．
解：∵点到x轴的距离是5，
∴，
∴．
故答案为：．
15．
解：由平移的性质可知，空白部分是长方形，
长为，宽为，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
16．①③④
解：当三角板旋转角度小于度时，如题干图②，设直线与直线交于F，
∴，
∴，
当时，即，如图①所示，
∴，
∴；
当三角板旋转角度大于时，如图②所示，
∴，
∴当时，即，
∴，
∴此时在图中的位置，
∴，故①正确；
当三角板旋转角度小于度时，如图所示，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
当三角板旋转角的大于时，如图④所示，
同理可得，
∴，
∴，
∵，
∴，故②错误；
如图⑤所示，当时，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，故③正确；
由于顺时针旋转到B、C、E共线时停止，
∴当时，只有如下图⑥一种情况，
∴，
∴，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①③④．
17．(1)0
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)或
(2)
（1）解：，
，
解得：或；
（2）解：，
①②得：，
解得，
把代入①得：，
解得
∴方程组的解为．
19．
解：实数的立方根是，根据立方根定义可得：
，解得：，
又的平方根是，根据平方根定义可得：
，将代入上式：
，化简得：，
解得：，
将和代入表达式：
，
的算术平方根为．
20．(1)作图见解析，
(2)
(3)7
（1）解：如图，为所求．
点的坐标为．
（2）解：∵先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到点，
∴．
（3）解：．
21．证明见解析
证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．(1)
(2)，
(3)正确，理由见解析
（1）解：∵关于x，y的方程组与有相同的解，
∴，
解得，
这个相同的解是；
（2）解：将代入含有a，b的方程得：
，
解得：，
∴a，b的值分别为6，4；
（3）解：正确，理由如下：
将代入中，得：
，
∴无论m取何值，都是方程的解．
23．(1)
(2)甲队有40人，乙队有35人
(3)一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人．
（1）解：由题意得，甲、乙两队联合起来购买演出服的费用为元，
∵元，
∴如果甲、乙两队联合起来购买演出服，那么比各自分别购买节省元；
（2）解：设甲队有x人，则乙队有人，
∵甲队人数少于70人，且甲队的人数多于乙队，
∴，
∴且x为正整数，
当时，则，
∴，此时方程无解，不符合题意；
当时，则
∴，
解得，
∴，
综上所述，甲队有40人，则乙队有35人，
答：甲队有40人，乙队有35人；
（3）解：设从甲队抽调m人，从乙队抽调n人，
由题意得，，
∴，
∵m、n为正整数，
∴是正整数，即是正整数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴一共有四种抽调方案：方案一，甲队抽调4人，乙队抽调12人；方案二，甲队抽调8人，乙队抽调9人；方案三，甲队抽调12人，乙队抽调6人；方案四，甲队抽调16人，乙队抽调3人．
24．(1)；
(2)或或；
(3)．
（1）解：，，且轴，轴，
；
故答案为：；
（2）当点P 在线段BO上运动时，
由得，
，
，
当P、Q都未到达O点时
∴
∴或，
当P到达O点，Q点未达到O点时，
此时
综上所述：或或；
（3）设点，
，，，
直线的解析式是：，
，
，且M在线段AB上
∴
∴
解得∴
，
，
，
∴，
．
25．(1)证明见解析
(2)①；②
(3)，
（1）证明：过作交于，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：①当，时，，
∴设，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，解得，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
过作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴设，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
过作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴，解得，
∴；
（3）解：过作，过作，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点M，
∴，，
∴，，
∴；
∵的角平分线和的角平分线相交于点，
∴，，
∴，
同理可得，
∴
∵，
故答案为：，．

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