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2024-2025 学年山东省青岛第二中学分校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 = 3 + i 1 i ，i 为虚数单位，则复数 的虚部为( )
A. 2i B. 2i C. 2 D. 2
2.已知直线 , 为异面直线， , 为不重合的两个平面，则( )
A.若 // ， // ，则 // B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 ⊥ ， ⊥ ，则 ⊥
3.已知向量 、 满足 = 1， = 2 3， 2 + = 18，则 与 的夹角为( )
A. π π 2π 3π6 B. 3 C. 3 D. 4
4.“大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为 ，测量小组
选取与塔底 在同一水平面内的两个测量点 和 ，现测得∠ = 105°, ∠ = 45°, = 45m，在点 处
测得塔顶 的仰角为30°，则塔高 为( )
A. 15 B. 15 2m C. 15 3m D. 15 6m
5.已知 1， 2是平面内的一组基底， = 4 1 + 3 2， = 2 1 + 2， = 5 1 3 2，若 ， ， 三点
共线，则实数 的值为( )
A. 9 B. 13 C. 15 D. 18
6.已知圆锥 的轴截面是三角形 ，如图， ′ ′ ′是水平放置的三角形 的直观图，若 ′ ′平行
于 ′轴，且 2 ′ ′ = ′ ′ = 2，则圆锥 的侧面积为( )
A. 2 5π B. 17π C. 2 2π D. 5π
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7.在三棱锥 中， = = = 3, , , 两两垂直，且该三棱锥外接球的体积为( )
A. 3π2 B.
9π
2 C.
15π
2 D. 9π
8.在直角梯形 中，已知 // , ∠ = 90°, = 2 = 2 = 2，点 是 边上的中点，点 是
边上一个动点．则 的取值范围是( )
A. 1 1 1 1 116 , 2 B. 0, 2 C. 4 , 2 D.
1
16 ,
1
4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 = 2 1+ ( + 1)i, ∈ ，则下列结论正确的是( )
A.若 为纯虚数，则 =± 1
B.若 = 0，则 = 1 i
C.若 = 0，则| | = 1
D.若 在复平面内对应的点位于第四象限，则 ∈ ( ∞, 1)
10.已知 ( ) = sin( + ) > 0, > 0,0 < < π2 的部分图象如图所示，则( )
A. ( )的最小正周期为π
B. ( ) π的图像可由 = 2sin2 的图象向左平移6个单位得到
C. ( ) 5π的对称轴为 = 12 + π( ∈ )
D. ( ) 11π在区间 6 , 2π 上的最大值为 3
11.如图，在单位正方体 1 1 1 1中，点 在线段 1上运动，下列命题中正确的是( )
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A.在点 运动过程中，直线 1 与 1始终为异面直线
B.三棱锥 1的体积为定值
C.异面直线 1 与直线 1所成的角为定值
D.在点 运动过程中，不存在某个位置，使得面 1 //平面 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 2. cos15° 22 + 2 sin15
° = ．
13.已知向量 = (1,2)， = (1, )，若 ，则 = ．
14 π.已知 的内角 ， ， 的对边分别为 , , .若 为锐角三角形， = 3，且 = 3，则 周长
的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 2 i 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ R)的一个根，其中 i 为虚数单位．
(1)求 + 2 的值；
(2)记复数 = + i ，求复数1+i的模．
16.(本小题 15 分)
如图所示，在三棱柱 1 1 1中，过 的平面与上底面 1 1 1交于 ( 与 1 1不重合)．
(1)求证： ；
(2)若 ， ， 分别是 ， ， 1 1的中点，求证：平面 平面 ．
17.(本小题 15 分)
在 3中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 cos + 2 = ．
(1)求 的大小；
(2)若 = 3, + = 2，求 的面积．
18.(本小题 17 分)
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已知向量 = (1,1)，向量 与向量 3π的夹角为 4 ，且 = 1．
(1)求向量 的坐标；
(2)设向量 = (1,0)，向量 = cos , cos2 π4
π
2 ，其中 ∈ 0, 2 ，若 = 0，试求| +
|的取值范围．
19.(本小题 17 分)
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内角均
小于 120°时，使得∠ = ∠ = ∠ = 120°的点 即为费马点；当 有一个内角大于或等于 120°
时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ，
，且 cos2 + cos2 cos2 = 1．
(1)求角 ；
(2)若 = 6，设点 为 的费马点，求 + + ；
(3)设点 为 的费马点，| | + | | = | |，求实数 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 32
13.2
14. 3 + 3, 3 3
15.(1)因为 2 i 是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ R)的一个根，
所以这个方程的另一个根是 2 + i，
2 + i + 2 i = = 4
由韦达定理可知： 2 + i 2 i = ，解得 = 5，所以 + 2 = 6；
(2)由(1)可得 = + i = 4 + 5i，
= 4+5i 4+5i 1 i 1 9所以1+i 1+i = 1+i 1 i = 2 + 2 i，
1 2 9 2 82
所以 1+i = 2 + 2 = 2 ．
16.(1)在三棱柱 1 1 1中，
平面 1 1 1//平面 ，平面 ∩平面 = ，平面 ∩平面 1 1 1 = ，
故
(2) ∵在三棱柱 1 1 1中，
， ， 分别是 ， ， 1 1的中点，
1 // , 1 = ，
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∴四边形 1 是平行四边形，∴ 1 // ，
∵ 平面 1 ， 1 平面 1 ，
∴ //平面 1 ．
又 // ， 平面 1 ， 平面 1 ，
∴ //平面 1 ．
∩ = ， , 平面
∴平面 1//平面 ．
17.(1)因为 cos + 32 = ，
由正弦定理可得 sin cos + 32 sin = sin ，
又 sin = sin( + ) = sin cos + cos sin ，
3
所以 2 sin = sin cos ，
因为 ∈ (0, )，则 sin > 0 3，所以 cos = 2 ，
因为 ∈ (0, )，所以 = 6．
(2)因为 = 6， = 3，
2cos = +3
2 3
由余弦定理可得 2 × 3 = 2 ，整理得
2 2 + 3 = 3 ，
又 + = 2，解得 = = 1，
= 1 1 1 3所以 2 sin = 2 × 1 × 3 × 2 = 4 ．
+ = 1
18.(1)令 = ( , )，则 2 2 + 2cos 3π4 = 1
,
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+ = 1 = 1 = 0
即 2 + 2 = 1，故 = 0或 = 1 , ∴ = ( 1,0)或 = (0, 1)；
(2)(2)
π sin + 1
= cos , cos2 4 2 = cos , 2
2
∵ = (1,0)， = 0，∴ = (0, 1) sin 1 sin 1； + = cos , 2 ， +
= cos2 + 4 =
3sin2 2sin +5
4 ；
π
因为 ∈ 0, 2 ，所以 0 ≤ sin ≤ 1，令 = sin ，
则 = 3 2 2 + 5，对称轴 = 13，又抛物线开口向下，
所以当 = 0 时，取到最大值 5，当 = 1 时，取到最小值 0，
所以 0 ≤ + ≤ 52
19.(1)由 cos2 + cos2 cos2 = 1，得 1 2sin2 + 1 2sin2 1 + 2sin2 = 1，
故sin2 = sin2 + sin2 ．
π
由正弦定理可得 2 = 2 + 2，故 直角三角形，即 = 2．
(2) π 2π由(1)可得 = 2，所以三角形 的三个角都小于 3，
则由费马点定义可知：∠ = ∠ = ∠ = 2π3，
设 = , = , = ，
1 3 1 3 1 3 1
由 + + = ，得2 2 + 2 2 + 2 2 = 2 × 6，
整理得 + + = 4 3，
则 + + = 1 12 + 2 +
1 = 12 2 × 4 3 = 2 3．
(3)如图，点 为 的费马点，则∠ = ∠ = ∠ = 2π3 ，
设| | = | |, | | = | |, | | = , > 0, > 0, > 0，
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则由| | + | | = | |，得 + = ；
2π
由余弦定理得| |2 = 2 + 2 2 2 2cos 2 23 = ( + + 1) ，
| |2 = 2 + 2 2 2 2cos 2π3 = (
2 + + 1) 2，
| |2 = 2 2 + 2 2 2 2cos 2π 23 = ( +
2 + ) 2，
故由| |2 + | |2 = | |2，得( 2 + + 1) 2 + ( 2 + + 1) 2 = ( 2 + 2 + ) 2，
2
即 + + 2 = ，而 > 0， > 0，故 + + 2 = ≤ + 2 ，
当且仅当 = ，结合 + + 2 = ，解得 = = 1 + 3时，等号成立．
又 + = ，即有 2 4 8 ≥ 0，解得 ≥ 2 + 2 3或 ≤ 2 2 3(舍去)，
故实数 的最小值为 2 + 2 3．
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