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广东省深圳市光明区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·光明期末）下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024七下·光明期末）如图，已知直线，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·光明期末）下列各组边长能组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·光明期末）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·光明期末）对某品种的麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：
试验的麦粒数n 200 500 1000 2000 5000
发芽的粒数m 191 473 954 1906 4748
发芽的频率 0.955 0.946 0.954 0.953 0.9496
根据上表，在这批麦粒中任取一粒，估计它能发芽的概率为（　　）
A．0.92 B．0.95 C．0.97 D．0.98
6．（2024七下·光明期末）如图，已知，，添加下列哪个条件不一定能使得的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·光明期末）如图，可以近似的刻画下列哪种实际情境中的变化关系（　　）
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）
8．（2024七下·光明期末）下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．三角分别相等的两个三角形全等
C．角是轴对称图形，角的平分线是它的对称轴
D．若满足，则是锐角三角形
9．（2024七下·光明期末）如图，在中，点D是边上的中点，若和的周长分别为16和11，则的值为（　　）
A．5 B．11 C．16 D．27
10．（2024七下·光明期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．（2024七下·光明期末）数据0.000012可用科学记数法表示为　 　．
12．（2024七下·光明期末）若，，则　 　．
13．（2024七下·光明期末）如图，当时要保持弯形管道所在直线和平行，　 　．
14．（2024七下·光明期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则　 　°．
15．（2024七下·光明期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为　 　．
16．（2024七下·光明期末）计算：
（1）；
（2）．
17．（2024七下·光明期末）先化简再求值：，其中，．
18．（2024七下·光明期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯30秒，绿灯若干秒，黄灯3秒．小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口．
（1）如果绿灯时长为70秒，那么他遇到绿灯的概率________遇到红灯的概率（填“”“”或“”）；
（2）若他遇到红灯的概率为，求每次绿灯时长为多少秒？
19．（2024七下·光明期末）如图，在中，边上的高是定值．当三角形的顶点C沿底边所在直线由点B向右运动时，三角形的面积随之发生变化．设底边长，三角形面积为，变化情况如下表所示：
底边长x（cm） 1 2
三角形面积 3 6
（1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________；
（2）由上表可知，边上的高为________；
（3）y与x的关系式可以表示为________；
（4）当底边长由变化到时，三角形的面积从________变化到________．
20．（2024七下·光明期末）如图，点B，D，C，F在同一直线上，，，，求证：．请将下面的证明过程补充完整：
证明：因为（已知），
所以（① ）．
因为（已知），
所以② ③ ，即．
在与中，
因为
所以（⑥ ），
所以⑦ （⑧ ），
所以（⑨ ）．
21．（2024七下·光明期末）阅读理解：整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而达到简化问题，解决问题的目的．在《整式的乘除》一章中，我们学习了完全平方公式：，它可以恒等变换为：，等．我们可以利用它解决一些问题，例如：已知，求的值．
解：令，，则，．
所以，即．
所以．
问题1：已知，请你仿照上例，求的值；
问题2：已知，求的值；
问题3：如图，已知长方形的面积为3，延长到点P，使得，以为边向上作正方形，再分别以为边作正方形、正方形．若，则阴影部分的面积是多少？
22．（2024七下·光明期末）在学习《生活中的轴对称》时，我们探究了两个重要结论：
结论1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，当，时，则有：． 结论2：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 如图，当平分，，时，则有：．
请利用上述结论，解决下列问题：
如图1，在中，，，是的平分线，，垂足为点E，点P为线段上一动点．
（1）若，则________；
（2）①若点P为线段的垂直平分线与的交点，求的度数；
②如图2，连接，若点P为的平分线与的交点，则________；
（3）若为等腰三角形，则________．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；同位角的概念
【解析】【解答】解：如图所示：
由对顶角相等可得，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用对顶角的性质可得，再利用平行线的性质可得.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵，∴不能组成三角形，故不合题意；
B、∵，∴不能组成三角形，故不合题意；
C、∵，∴能组成三角形，故符合题意；
D、∵，∴不能组成三角形，故不合题意；
故答案为：．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故该选项计算正确，符合题意，
B．，故该选项计算错误，不符合题意，
C．，故该选项计算错误，不符合题意，
D．，故该选项计算错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法及幂的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
5．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，
故答案为：B．
【分析】根据表格中的数据可得： 随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，再求解即可.
6．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，
，即，
又
添加时，可以证明，故A不符合题意；
添加时，可以证明，故B不符合题意；
添加时，可以证明，故C不符合题意；
添加时，不能证明，故D不符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：因变量随着自变量的增大而增大，随后又随着自变量的增大而减小．
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系），水温随着时间的增加而下降，故该选项不符合题意；
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系），高度随着时间的增加而增大， ，故该选项不符合题意；
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系），高度随着时间的增加先增大，后减小，故该选项符合题意；
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系），速度不随着时间的变化而变化．故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用自变量和因变量之间的关系并结合生活常识分析求解即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；轴对称图形；三角形相关概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，说法错误，不符合题意；
B、三边分别相等的两个三角形全等，三角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项错误，不符合题意；
C、角是轴对称图形，一个角的对称轴是它的角平分线所在的直线，故选项错误，不符合题意；
D、若满足，则，，，则是锐角三角形，故选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用对顶角的性质、三角形全等的判定方法、轴对称图形的定义及三角形的内角和和三角形的定义逐项分析判断即可.
9．【答案】A
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点D是边上的中点，
，
的周长为16，
的周长为11，
，
的周长的周长，
故答案为：A．
【分析】先利用线段中点的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式可得，，最后求出的周长的周长即可.
10．【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，
∴，
∴，
故当且仅当B、E、M共线并垂直底边AC时，此时BE+EF最小，即为的长，
∵，，
∴，
∴的最小值是4．
故选B．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，当三点共线并垂直时，最小．即求BN得长，最后根据题意的三角形面积公式求出的长即可．
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
12．【答案】6
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：当，时，
．
故答案为：．
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
13．【答案】120
【知识点】同旁内角的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：120．
【分析】利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可.
14．【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40．
【分析】利用垂直平分线的性质和角平分线的定义可得，再结合，，求出，最后求出即可.
15．【答案】8
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E，
，，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：8．
【分析】过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用三角形的面积公式求出即可.
16．【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】多项式乘多项式；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先利用负整数指数幂、有理数的乘方和0指数幂的性质化简，再计算即可；
（2）利用多项式乘多项式的计算方法分析求解即可.
17．【答案】解：原式
；
将，代入，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再将，代入计算即可.
18．【答案】（1）
（2）解：设该路口绿灯设置的时长为x秒，
根据题意得：，
解得：．
答：路口绿灯设置的时长为60秒．
【知识点】一元一次方程的其他应用；概率的意义；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：红灯30秒，
如果绿灯时长为70秒，那么他遇到绿灯的概率大于遇到红灯的概率，
故答案为：.
【分析】（1）利用概率公式求出遇到绿灯和红灯的概率，再比较大小即可；
（2）设该路口绿灯设置的时长为x秒，利用概率公式列出方程，再求解即可.
19．【答案】（1）底边长x，三角形面积y
（2）6
（3）
（4）9，36
【知识点】函数自变量的取值范围；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：在这个变化过程中，自变量是底边长即x，函数是的面积即y，
故答案为：底边长x，三角形面积y；
（2）由表可知，当面积为6时，底边长为2，
设边上的高为h，
，
，
故答案为：6；
（3），
故答案为：；
（4）当时，，
当时，，
当底边长由变化到时，三角形的面积从变化到，
故答案为：9，36．
【分析】（1）利用自变量和因变量的定义分析求解即可；
（2）设边上的高为h，利用三角形的面积公式可得，再求出h的值即可；
（3）利用三角形的面积公式列出函数解析式即可；
（4）利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
20．【答案】证明：因为（已知），
所以（两直线平行，内错角相等）．
因为（已知），
所以，即．
在与中，
因为，
所以，
所以（全等三角形的对应角相等），
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧全等三角形的对应角相等；⑨内错角相等，两直线平行.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用平行线的性质可得，再利用线段的和差及等量代换求出，再利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后证出即可.
21．【答案】解：（1）令，，则，，
所以，即．
所以．
（2）令，，则，．
所以，即．
所以．
（3）设正方形的边长，则，，
因为，即，
则，
所以阴影部分面积为：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）令，，则，，再利用完全平方公式的变形分析求解即可；
（2）令，，则，，再利用完全平方公式的变形分析求解即可；
（3）设正方形的边长，则，，再利用完全平方公式的变形分析求解即可.
22．【答案】（1）5
（2）解：①中，，，
，
是的平分线，
，
，
若点P为线段的垂直平分线与的交点，
，
，
，
，
，
由（1）可知，
，
；
②
（3）或或
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：是的平分线，
，
，即，，
，，
，
，
，
故答案为：5；
（2）解：②如图，与相交于点F，
由（1）可知，
，，
，
，
，，
是的平分线，
由结论1，可得：，，
，
平分，
，
，
故答案为：①；②；
（3）如图所示：
解：①当时，
，
，
，
；
②当时，
，
；
③当时，
，
，
综上所述，的度数为或或．
故答案为：或或．
【分析】（1）利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）①先利用角的运算求出，再利用垂直平分线的性质可得，再求出，利用全等三角形的性质可得，最后求出即可；
②与相交于点F， 先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质，， 再求出，最后利用角的运算求出即可；
（3）分类讨论： ①当时，②当时，③当时，再分别利用角的运算求解即可.
1 / 1广东省深圳市光明区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·光明期末）下列图形不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不符合题意；
B、是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．（2024七下·光明期末）如图，已知直线，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质；同位角的概念
【解析】【解答】解：如图所示：
由对顶角相等可得，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用对顶角的性质可得，再利用平行线的性质可得.
3．（2024七下·光明期末）下列各组边长能组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵，∴不能组成三角形，故不合题意；
B、∵，∴不能组成三角形，故不合题意；
C、∵，∴能组成三角形，故符合题意；
D、∵，∴不能组成三角形，故不合题意；
故答案为：．
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
4．（2024七下·光明期末）下列各式计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故该选项计算正确，符合题意，
B．，故该选项计算错误，不符合题意，
C．，故该选项计算错误，不符合题意，
D．，故该选项计算错误，不符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方、同底数幂的除法及幂的乘方的计算方法逐项分析判断即可.
5．（2024七下·光明期末）对某品种的麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：
试验的麦粒数n 200 500 1000 2000 5000
发芽的粒数m 191 473 954 1906 4748
发芽的频率 0.955 0.946 0.954 0.953 0.9496
根据上表，在这批麦粒中任取一粒，估计它能发芽的概率为（　　）
A．0.92 B．0.95 C．0.97 D．0.98
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，
故答案为：B．
【分析】根据表格中的数据可得： 随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在0.95左右，再求解即可.
6．（2024七下·光明期末）如图，已知，，添加下列哪个条件不一定能使得的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：，
，即，
又
添加时，可以证明，故A不符合题意；
添加时，可以证明，故B不符合题意；
添加时，可以证明，故C不符合题意；
添加时，不能证明，故D不符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
7．（2024七下·光明期末）如图，可以近似的刻画下列哪种实际情境中的变化关系（　　）
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系）
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系）
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系）
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系）
【答案】C
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：由图象可知：因变量随着自变量的增大而增大，随后又随着自变量的增大而减小．
A．一杯越晾越凉的水（水温与时间的关系），水温随着时间的增加而下降，故该选项不符合题意；
B．一面冉冉上升的旗子（高度与时间的关系），高度随着时间的增加而增大， ，故该选项不符合题意；
C．足球守门员大脚开出去的球（高度与时间的关系），高度随着时间的增加先增大，后减小，故该选项符合题意；
D．匀速行驶的汽车（速度与时间的关系），速度不随着时间的变化而变化．故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用自变量和因变量之间的关系并结合生活常识分析求解即可.
8．（2024七下·光明期末）下列说法正确的是（　　）
A．相等的角是对顶角
B．三角分别相等的两个三角形全等
C．角是轴对称图形，角的平分线是它的对称轴
D．若满足，则是锐角三角形
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；轴对称图形；三角形相关概念；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、相等的角不一定是对顶角，说法错误，不符合题意；
B、三边分别相等的两个三角形全等，三角分别相等的两个三角形不一定全等，故选项错误，不符合题意；
C、角是轴对称图形，一个角的对称轴是它的角平分线所在的直线，故选项错误，不符合题意；
D、若满足，则，，，则是锐角三角形，故选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用对顶角的性质、三角形全等的判定方法、轴对称图形的定义及三角形的内角和和三角形的定义逐项分析判断即可.
9．（2024七下·光明期末）如图，在中，点D是边上的中点，若和的周长分别为16和11，则的值为（　　）
A．5 B．11 C．16 D．27
【答案】A
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：∵点D是边上的中点，
，
的周长为16，
的周长为11，
，
的周长的周长，
故答案为：A．
【分析】先利用线段中点的性质可得BD=CD，再利用三角形的周长公式可得，，最后求出的周长的周长即可.
10．（2024七下·光明期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，
∴，
∴，
故当且仅当B、E、M共线并垂直底边AC时，此时BE+EF最小，即为的长，
∵，，
∴，
∴的最小值是4．
故选B．
【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，当三点共线并垂直时，最小．即求BN得长，最后根据题意的三角形面积公式求出的长即可．
11．（2024七下·光明期末）数据0.000012可用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：[①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0）].再分析求解即可.
12．（2024七下·光明期末）若，，则　 　．
【答案】6
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；同底数幂乘法的逆用
【解析】【解答】解：当，时，
．
故答案为：．
【分析】先将代数式变形为，再将，代入计算即可.
13．（2024七下·光明期末）如图，当时要保持弯形管道所在直线和平行，　 　．
【答案】120
【知识点】同旁内角的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：120．
【分析】利用平行线的性质可得，再利用角的运算求出即可.
14．（2024七下·光明期末）如图，在中，，利用尺规作图，得到直线和射线．若，则　 　°．
【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知，为线段的垂直平分线，为的平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：40．
【分析】利用垂直平分线的性质和角平分线的定义可得，再结合，，求出，最后求出即可.
15．（2024七下·光明期末）如图，在中，，过点B作，且使得，连接AD．若，则的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E，
，，
，
，
，，
，
，
，
故答案为：8．
【分析】过点D作的延长线的垂线，作，垂足为E，先利用“AAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后利用三角形的面积公式求出即可.
16．（2024七下·光明期末）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
.
（2）解：
．
【知识点】多项式乘多项式；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】（1）先利用负整数指数幂、有理数的乘方和0指数幂的性质化简，再计算即可；
（2）利用多项式乘多项式的计算方法分析求解即可.
17．（2024七下·光明期末）先化简再求值：，其中，．
【答案】解：原式
；
将，代入，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先利用整式的混合运算化简可得，再将，代入计算即可.
18．（2024七下·光明期末）某路口南北方向红绿灯的设置时间为：红灯30秒，绿灯若干秒，黄灯3秒．小明的爸爸随机地由南往北开车到达该路口．
（1）如果绿灯时长为70秒，那么他遇到绿灯的概率________遇到红灯的概率（填“”“”或“”）；
（2）若他遇到红灯的概率为，求每次绿灯时长为多少秒？
【答案】（1）
（2）解：设该路口绿灯设置的时长为x秒，
根据题意得：，
解得：．
答：路口绿灯设置的时长为60秒．
【知识点】一元一次方程的其他应用；概率的意义；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：红灯30秒，
如果绿灯时长为70秒，那么他遇到绿灯的概率大于遇到红灯的概率，
故答案为：.
【分析】（1）利用概率公式求出遇到绿灯和红灯的概率，再比较大小即可；
（2）设该路口绿灯设置的时长为x秒，利用概率公式列出方程，再求解即可.
19．（2024七下·光明期末）如图，在中，边上的高是定值．当三角形的顶点C沿底边所在直线由点B向右运动时，三角形的面积随之发生变化．设底边长，三角形面积为，变化情况如下表所示：
底边长x（cm） 1 2
三角形面积 3 6
（1）在这个变化过程中，自变量是________，因变量是________；
（2）由上表可知，边上的高为________；
（3）y与x的关系式可以表示为________；
（4）当底边长由变化到时，三角形的面积从________变化到________．
【答案】（1）底边长x，三角形面积y
（2）6
（3）
（4）9，36
【知识点】函数自变量的取值范围；用表格表示变量间的关系；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】（1）解：在这个变化过程中，自变量是底边长即x，函数是的面积即y，
故答案为：底边长x，三角形面积y；
（2）由表可知，当面积为6时，底边长为2，
设边上的高为h，
，
，
故答案为：6；
（3），
故答案为：；
（4）当时，，
当时，，
当底边长由变化到时，三角形的面积从变化到，
故答案为：9，36．
【分析】（1）利用自变量和因变量的定义分析求解即可；
（2）设边上的高为h，利用三角形的面积公式可得，再求出h的值即可；
（3）利用三角形的面积公式列出函数解析式即可；
（4）利用三角形的面积公式列出算式求解即可.
20．（2024七下·光明期末）如图，点B，D，C，F在同一直线上，，，，求证：．请将下面的证明过程补充完整：
证明：因为（已知），
所以（① ）．
因为（已知），
所以② ③ ，即．
在与中，
因为
所以（⑥ ），
所以⑦ （⑧ ），
所以（⑨ ）．
【答案】证明：因为（已知），
所以（两直线平行，内错角相等）．
因为（已知），
所以，即．
在与中，
因为，
所以，
所以（全等三角形的对应角相等），
所以（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①两直线平行，内错角相等；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧全等三角形的对应角相等；⑨内错角相等，两直线平行.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】利用平行线的性质可得，再利用线段的和差及等量代换求出，再利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得，最后证出即可.
21．（2024七下·光明期末）阅读理解：整体思想是一种重要的数学思想，它是通过观察和分析问题的整体结构，发现其整体结构特征并把握它们之间的联系，然后把某些式子或图形看成一个整体，从而达到简化问题，解决问题的目的．在《整式的乘除》一章中，我们学习了完全平方公式：，它可以恒等变换为：，等．我们可以利用它解决一些问题，例如：已知，求的值．
解：令，，则，．
所以，即．
所以．
问题1：已知，请你仿照上例，求的值；
问题2：已知，求的值；
问题3：如图，已知长方形的面积为3，延长到点P，使得，以为边向上作正方形，再分别以为边作正方形、正方形．若，则阴影部分的面积是多少？
【答案】解：（1）令，，则，，
所以，即．
所以．
（2）令，，则，．
所以，即．
所以．
（3）设正方形的边长，则，，
因为，即，
则，
所以阴影部分面积为：．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】（1）令，，则，，再利用完全平方公式的变形分析求解即可；
（2）令，，则，，再利用完全平方公式的变形分析求解即可；
（3）设正方形的边长，则，，再利用完全平方公式的变形分析求解即可.
22．（2024七下·光明期末）在学习《生活中的轴对称》时，我们探究了两个重要结论：
结论1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 如图，当，时，则有：． 结论2：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 如图，当平分，，时，则有：．
请利用上述结论，解决下列问题：
如图1，在中，，，是的平分线，，垂足为点E，点P为线段上一动点．
（1）若，则________；
（2）①若点P为线段的垂直平分线与的交点，求的度数；
②如图2，连接，若点P为的平分线与的交点，则________；
（3）若为等腰三角形，则________．
【答案】（1）5
（2）解：①中，，，
，
是的平分线，
，
，
若点P为线段的垂直平分线与的交点，
，
，
，
，
，
由（1）可知，
，
；
②
（3）或或
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：是的平分线，
，
，即，，
，，
，
，
，
故答案为：5；
（2）解：②如图，与相交于点F，
由（1）可知，
，，
，
，
，，
是的平分线，
由结论1，可得：，，
，
平分，
，
，
故答案为：①；②；
（3）如图所示：
解：①当时，
，
，
，
；
②当时，
，
；
③当时，
，
，
综上所述，的度数为或或．
故答案为：或或．
【分析】（1）利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（2）①先利用角的运算求出，再利用垂直平分线的性质可得，再求出，利用全等三角形的性质可得，最后求出即可；
②与相交于点F， 先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质，， 再求出，最后利用角的运算求出即可；
（3）分类讨论： ①当时，②当时，③当时，再分别利用角的运算求解即可.
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