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2024-2025 学年内蒙古自治区呼和浩特市回民区高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
→ → → →
1.已知向量 = (2,1)， = (1, 1)，则 · =( )
A. 1 B. 2 C. 1 D. 0
2.下列各角中，与2025 角终边相同的是( )
A. 225 B. 225 C. 45 D. 45
3.点 tan4, cos2 在平面直角坐标系中位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4 π π.下列四个函数中，以 2 , 0 为其对称中心，且在区间 0, 2 上单调递增的是( )
A. = cos B. = tan C. = sin D. = cos
5.已知向量 = (2, )， = (1, 1)，且 与 的夹角是 45°，若 = (1,2)，则 在 方向上的投影向量的坐标
是( )
A. 2 , 1 33 3 B. 5 ,
2
5 C.
1 2 2 4
3 , 3 D. 5 , 5
6 π.已知函数 ( ) = 2cos + 3 + 是奇函数，则 tan 的值为( )
A. 3 B. 3 C. 33 D.
3
3
7.tan10° + tan50° + 3tan10°tan50° =( )
A. 1 B. 3 C. 3 D. 2 3
8 π .已知函数 ( ) = 2cos 3 + 6 在 0, 3 上单调递减，则实数 的最大值为( )
A. 2π3 B.
5π C. 5π6 3 D.
3π
2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列等式成立的是( )

A. 3 tan15 11+ 3tan15 = 1 B. 2sin75 cos75 = 2
C. 1 2sin215 = 12 D. sin
210 cos210 = cos20
10.已知 = ( , 1), = ( 2, )，则( )
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A.若 ⊥ ，则 = 0
→ →
B.若 /\ !/ ，则 =± 2
C. 2的最小值为 2
D.若向量 与向量 的夹角为钝角，则 的取值范围为(0, + ∞)
11.已知函数 ( ) = cos22 + 3cos2 sin2 12，则下列说法中正确的是( )
A. ( )的最大值为 1
B. ( )的最小正周期为π
C. ( ) π的图象关于直线 = 12对称
D.若 ( ) = ( ) π ，则当 ∈
π
8 ,
π
12 时， ( )的图像是单调递增的 8
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.cos105° = ．
13 2 5.已知 ， 均为锐角，且 tan = 7，cos = 5 ，则 + 2 的值是 ．
14.记函数 ( ) = 2cos( + ) + > 0, | | < π2 的最小正周期为

，若 4 = 2，且函数 ( )的图象关
π , 3 π于点 6 对称，则当 取得最小值时， 8 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
sin π cos π+ cos 3π+
已知 ( ) = 2 ．
cos π2+ sin( )
(1)化简 ( )；
(2) = 20π若 3 ，求 ( )的值；
(3)若 为第三象限角，且 cos π 3 π2 = 5，求 + 3 的值．
16.(本小题 15 分)
π
函数 ( ) = cos( + )( > 0, | | < 2 )的部分图象如图所示．
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(1)求 ( )的解析式和单调递增区间；
(2)若 ∈ 3 ,

12 ， ( ) =
2
3，求 +

6 的值．
17.(本小题 15 分)
单位圆 与 轴正半轴的交点为 ，点 ， 在圆 上，且点 在第一象限，点 在第二象限．

(1) π如图，当 的长为3时，求线段 与 所围成的弓形(阴影部分)面积；
(2)记∠ = ∈ π， 2 , π
4
，当 ⊥ ，点 的横坐标为5时，求点 的坐标．
(3)若将 延长，取延长线上一点 (4,3)绕原点 逆时针旋转 60°到点 的位置，求点 的坐标．
18.(本小题 17 分)
3
如图所示，在平行四边形 中， = ，记 = , = 4
．
(1)用向量 , 表示向量 和 ；
(2)若 = = 3，且 = 112，求 cos ,
．
19.(本小题 17 分)
→ →
已知向量 = sin 2 , sin
π
2+ 4 ， = cos 2 , sin
π
4 2 ，函数 ( ) =
．
(1) π 3π求函数 ( )的解析式，并求当 ∈ 2 , 2 时， ( )的值域；
(2) 5若 ( ) = 10，且 ∈ 0, π ，求 sin 2
π
3 的值．
(3) = ( ) 1 π将函数 的图象横坐标缩小为原来的2，纵坐标不变，且图象向左平移6个单位得到 = ( )的图
象，若函数 = ( ) 在 π , 3π6 8 上恰有一个零点，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2 64
13.3π °4 或135
14. 2
15.解：(1)由题意可得 ( ) = sin cos sin sin sin = cos ．
(2) = 20π若 3 ，
则 ( ) = cos 20 20π π3 = cos 3 + 8π = cos 3 + π = cos
π = 13 2．
(3) π π因为 cos 2 = cos 2 =
3
5，所以 sin =
3
5，
2
又 为第三象限角，所以 cos = 1 sin2 = 1 35 =
4
5，
+ 所以 3 = cos +
π
3 = sin sin
π cos cos π3 3 =
3
5 ×
3
2 +
4
5 ×
1 4 3 3
2 = 10 ．
16.解：(1) 3 5 3 由函数图象可知，该函数的最小正周期 满足： 4 = 6 12 = 4，所以 = ．
= 2 = 2 ( 则 ，由图象经过点 12 , 1)，可得 2 × 12 + = 2 , ∈ ，
又| | < 2，则 =

6，所以 ( ) = cos 2

6 ．
令 2 ≤ 2 6 ≤ 2 , ∈ ，解得
5
12 ≤ ≤ +

12 , ∈ ．
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5
所以函数的单调递增区间为 12 , + 12 , ∈ ．
(2) ( ) = 2 2因为 3，所以 cos 2 6 = 3．
∈ , 2 ∈ 5 因为 3 12 ，所以 6 6 , 0 ，
2
则 sin 2 6 = 1
2 5
3 = 3 ．

( + 6 ) = cos[2( + 6 ) 6 ] = cos(2 + 6 ) = cos[(2 6 ) + 3 ]
= cos 2 cos 2+ 156 3 sin 2 6 sin 3 = 6 ．
2+ 15
即 + 6 = 6 ．

17.解：(1) 1 × π由题可得扇形 面积为2 3 × 1 =
π
6，又
π π
为3，则∠ = 3，
则三角形 3 3 π 3面积为： 4 × 1
2 = 4 ，则弓形面积为：6 4 ；
(2)设∠ = 0 < < π2 ，则∠ = = +
π
2，又点
4 4
的横坐标为5，且 在单位圆上，则 cos = 5，sin =
3
5，
则 cos = cos + π 3 π2 = sin = 5，sin = sin + 2 = cos =
4
5，
3 , 4即 5 5 ；
(3)设∠ = ，因 延长线上一点为 (4,3)，
则 cos = 4 = 45，sin =
3 = 3 4 3，得 , ．
42+32 42+32 5 5 5
π π设 与单位圆交于 ，则 cos + 3 , sin + 3 ，
cos + π = 4 1 3 3 4 3 3因 3 5 × 2 5 × 2 = 10 ，sin +
π = 3 × 1 + 43 5 2 5 ×
3
2 =
3+4 3
10 ．
又注意到 = = 5 π π，则 5cos + 3 , 5sin + 3 ，
4 3 3 , 3+4 3即 2 2 ．
18.解：(1)由向量加法的平行四边形法则得 = + ，
又 = 3 ，所以 = 4 ，所以 4 4 3 = 3
+ ，
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解得 = 3 3 3 4 4 = 4
34 ．
= = 3 4
34 =
3
4
74 ．
(2) 3 3因为 = 4
4 ， = = 3，

2
= 9
2 2
+ 9 2 9 = 9 + 9所以 × 9 9 16 16 8 16 16 8 = 9①，
又 =
2
3 7 3 7 114 4 = 4 4 = 2 ②，
联立①②解得 = 5， = 1，

所以 cos , = 1 5

= =
3 5 15
．
19. 解：(1) ( ) = sin 2 cos
sin + π π 2 2 4 sin 4 2
1 π π π
= 2 sin sin 2 + 4 sin 2 2+ 4
1 π π
= 2 sin sin 2 + 4 cos 2+ 4
= 1 sin 12 2 sin +
π
2 =
1
2 sin
1 2 π
2 cos = 2 sin 4 ，
∈ π 3π π π 5π π 2当 2 , 2 时，则 4 ∈ 4 , 4 ，所以 sin 4 ∈ 2 , 1 ，
( ) 1所以 的值域为 2 ,
2
2 ．
(2)由(1)， ( ) = 2 sin π2 4 =
5 π 10
10，即 sin 4 = 10 ，
π π 3π π 10
又 ∈ 0, π ，则 4 ∈ 4 , 4 ，又 sin 4 = 10 ，
π π π 3 10
所以 4 ∈ 0, 6 ，故 cos 4 = 10 ，
sin2 π = 2 × 10 × 3 10 3所以 4 10 10 = 5，cos2
π
4 = 1 2 ×
1 4
10 = 5，
∴ sin 2 π π π 33 = sin 2 4 + 6 = 5 ×
3 4 1 4+3 3
2 + 5 × 2 = 10 ．
(3) 2 π π 2 π由题意，可得 ( ) = 2 sin 2 + 6 4 = 2 sin 2 + 12 ，
∵ ∈ π , 3π6 8 ，∴ 2 +
π ∈ π , 5π 1 212 4 6 ，所以 ( ) ∈ 2 , 2 ，
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( ) π , 5π 5π , 3π π 1 5π 2 3π且 在 6 24 上单调递增，在 24 8 上单调递减， 6 = 2， 24 = 2 ， 8 =
2
4 ，
若函数 = ( ) π 3π在 6 , 8 上恰有一个零点，即方程 ( ) = 恰有一根，
1 2 2
所以 的取值范围为 2 , 4 ∪ 2 ．
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