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2024-2025学年河北省衡水市阜城县阜城实验中学高一下学期 5月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一球体的表面积为 4π，该球体的体积为( )
A. 23π B.
4
3π C. 2π D.
8
3π
2.在正六边形 中，设 = ，则下列向量中与 不共线的是( )
A. B. C. D.
3 i.若 i = 2 i，则 =( )
A. 1 1 1 15 5 i B. 5 5 i C.
1
5
7 1 7
5 i D. 5 5 i
4.如图所示，梯形 ′ ′ ′ ′是平面图形 用斜二测画法得到的直观图， ′ ′ = 1, ′ ′ =
2 ′ ′ = 2，则平面图形 的面积为( )
A. 3 2 B. 2 C. 3 D. 2 2
5 π 5π.已知 的内角 , , 的对边分别为 , , ，若 = 4， = 12， = 2 2，则 =( )
A. 4 B. 4 33 C.
2 3
3 D. 3
6.将函数 ( ) = sin(2 + )(0 < < π) π的图象上所有点向右平移6个单位后得到的图象关于原点对称，则
=( )
A. π π π 2π6 B. 3 C. 2 D. 3
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7.如图所示， 中，点 是线段 的中点， 是线段 的靠近 的三等分点，则 =( )
A. 2 + 1 B. 1 + 2 C. 2 + 1 D. 1 + 2 3 6 6 3 3 3 3 3
8.函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < π)的部分图象如图所示，则下列结论不正确的是( )
A. = π B. = π3
C. = 34是函数的一条对称轴 D. +
1
4 , 0 ( ∈ Z)是函数的对称中心
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.正方体 ′ ′ ′ ′中，与棱 异面的棱有( )
A. ′ B. ′ ′ C. ′ D. ′ ′
10.已知复数 = 1 i 6 + i ，则( )
A. = 7 + 5i B. | 2| = 5 2
C. + 7 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限
11 sin +cos .若2sin cos = 1，则( )
A. tan = 2 B. sin = 2 55 C. tan2 =
4
3 D. sin2 =
4
5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在正四棱台 1 1 1 1中， = 3, 1 1 = 1, 1 = 3，则该棱台的体积为 ．
13.在复平面上，如果 ， 对应的复数分别是 5 + 4 ， 2 + 3 ，那么 对应的复数为 ．
→ → → →
14.已知单位向量 ， 满足| + | = | |，则 与 的夹角为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥 ，下部是一个正方体，其中正四棱锥 的高为
3 2, △ 是等边三角形， = 6．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的体积．
16.(本小题 15 分)
(1)已知 = (2, ), = 1, 12 ，若 +
与 2 平行，求 ；
(2)已知 = 2, = 1, 与 的夹角为 120°，若 + 与 3 垂直，求实数 的值．
17.(本小题 15 分)
已知圆锥的半径 = = 3，母线长为 2 3．
(1)求圆锥的表面积和体积；
(2)如图，过 的中点 1作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的体积和表面
积．
18.(本小题 17 分)
在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，2 sin + sin + sin = ( + )(sin + sin )．
(1)求角 的大小；
(2)若 = 2 3， 的面积为 2 3，求 的周长．
19.(本小题 17 分)
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已知函数 ( ) = sin cos + 3cos2 32 ．
(1)求 ( )的单调递增区间；
(2)若函数 ( ) = ( ) 3 π5的零点为 0，求 cos 6 2 0 ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.133
13. 7
14.π2
15.解：(1)设 是 的中点，连接 ．
因为 是边长为 6 的正三角形，
所以 ⊥ ，且 = 62 32 = 3 3，
1
所以该几何体的表面积 = 2 × 6 × 3 3 × 4 + 6
2 × 4+ 62 = 36 3 + 180．
(2)连接 , ，设交点为 ，连接 ，则 是四棱锥 的高，
= 3 2 1则 ，所以 2 = 3 × 6 × 3 2 = 36 2．
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又正方体的体积为 6 × 6 × 6 = 216，
所以该几何体的体积 = 36 2 + 216．
16.解：(1)因为 + = (2, ) + 1, 1 12 = 1, + 2 ，
1
2 = (2, ) 2 1,2 = (4, 1)
且 + 与 2 平行，
所以 1 4 + 12 = 0，解得 = 1，
所以 = 3, 32 ，
3 2
所以 = 32 + 2 =
3 5
2 ．
(2)已知 = 2, = 1, 与 的夹角为 120°，
1
所以 = cos120° = 2 × 1 × 2 = 1，
因为 + 与 3 垂直，
所以 +
2
3 = 3 2 + (3 ) = 13 4 = 0
所以 = 413．
17.解：(1)设圆锥的高为 ，
由题意得：
2 2
= 2 3, = 3, = 2 3 3 = 3
∴ = 3
∴圆锥侧面积 1 = π = 2 3 3π = 6π，
圆锥的底面积 2 = π 2 = 3π，
∴圆锥的表面积 圆锥 = 1 + 2 = 9π；
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∴ 1 1
2
圆锥的体积为 1 = 3 = 3π
2 = 13π × 3 × 3 = 3π．
(2) (1) = 1π 2 = 1由 可得：圆锥的体积为 1 3 3π × 3 × 3 = 3π
3 3
又圆柱的底面半径为2 = 2 ，高(母线)为2 = 2
2
∴圆柱的体积为 = π 2 2 2 = π ×
3 3 9π
4 × 2 = 8
∴ = = 3π 9π 15π剩下几何体的体积为 1 2 8 = 8 ；
由(1)得圆锥的表面积 圆锥 = 1 + 2 = 9π；
3 3 3 3π
圆柱侧 = 2π = 2π × 2 × 2 = 2 ,
3 3π
剩 = 圆锥 + 圆柱侧 = 9π + 2 .
18.解：(1)由题意及正弦定理知 2 + 2 + = ( + )2，
2 2 2
∴ 2 = 2 + 2 ，∴ cos = + 1 π2 = 2，∵ 0 < < π，∴ = 3．
(2) 1由2 sin = 2 3得 = 8，
由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos 得 2 + 2 = 12，
∴ 2 + 2 + 2 = 36，∴ + = 6，
∴ 的周长为 6 + 2 3．
19.解：(1) ( ) = sin cos + 3cos2 32 =
1 3
2 sin2 + 2 cos2 = sin 2 + 3 ，

令 2 + 3 ∈ 2 π
π
2 , 2 π +
π 5π π
2 ，解得 ∈ π 12 , π + 12 ， ∈
5π π
所以 ( )的单调递增区间为 π 12 , π + 12 , ∈ ．
(2) (1) π 3由 得 ( ) = sin 2 + 3 5，
因为函数 ( )的零点为 0，所以 sin 2 0 +
π
3 =
3
5．
π π π π 3
cos 6 2 0 = cos 2 2 0 + 3 = sin 2 0 + 3 = 5
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