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数 学
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.集合 则 =（ ）
A.{-2,-1,0,1} B.{-2,-1} C.{0,1} D.{-2,1}
2.已知角 的终边在直线 上，则 （ ）
A. B. C. D.
3.为响应国家“体重管理年”的号召，某校高二年级对四个班的同学体重数据进行分析.将四个班同学的体
重数据分别绘制成下图所示的频率分布直方图，则班级平均体重高于该班体重中位数的是（ ）
A. B.
C. D.
4.若 ， 则 的值为（ ）
A B. C. D.
5.已知向量 ， 点 D 在 OA 的延长线上且 BD⊥OD，则 （ ）
A. B. C. D.
6.函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
7.已知正三棱台 的体积为 则点 A 到平面 BB C C 的距离为
（ ）
A. B. C. D.
8.如图，边长为 1 的正方形. 中，E，F，G，H 为各边中点，连接 D E，A F，B G，C H，
它们的交点分别为 A ，B ，C ，D ，记△B C C 的面积为 S ；四边形 A B C D 各边中点分别为 E ，F ，
G ，H ，连接 D E ， A F ， B G ，C H ，它们的交点分别为 A ，B ，C ，D ，记△B C C 的面积为 S
.依此方法一直继续下去，记 的面积为 则 趋近于（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9.若 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A.若 ，则 或 B.若 ，则
C. D
10.如图，在平行六面体 中，向量 ， ， 的模长均为 2，且它们彼此的夹角
都是 动点 在棱 上，则（ ）
A.
B.直线 BD 与直线 AP 所成角为 90°
C.平面 BDD B 与平面 ABCD 的夹角为 60°
D.多面体.A B D -BCD|的外接球体积为
11.已知双曲线 与动圆. 恰有两个交点，则（ ）
A.双曲线 C 的离心率为 2
B.双曲线 C 的渐近线被圆 M 截得的弦长为
C.双曲线 C 上存在一条弦，该弦的中点坐标为(2，1)
D.过双曲线 C 的一个焦点 F 作圆 M 的两条切线，切点分别为 A，B，则∠AFB=60°
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 二项式 的展开式中含 项的系数为______.
13.已知函数. 且 .若 且 则 =______.
14.将若干块右图所示的由 2×3 个小正方形组成的矩形砖恰好铺成由 6×5 个小正方形组成的矩形，有______
种不同的铺法；若恰好铺成由 6×20 个小正方形组成的矩形，有______种不同的铺法.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知函数
(1)讨论 的单调性；
(2)若不等式 上恒成立， 求实数 a 的取值范围.
16. (本小题满分 15 分)
已知 ， ， 分别为△ABC 的三个内角 ， ， 的对边，
(1)求角 C 的大小；
(2)若 求△ABC 的内切圆面积最大值.
17.(本小题满分 15 分)
某 4S 店将 2024 年第四季度购车的车主性别与购车类型统计如下表所示(单位：人)，已知从该季度所有购车
的车主中随机抽取 1 人，抽到购买燃油车的女性车主的概率为
购买燃油车 购买新能源车
男性车主 1.5x 1300
女性车主 x 700
(1)求 x 的值；
(2)依据小概率值α=0.01 的独立性检验，能否认为购车车主的性别与购车类型有关
(3)为了回馈部分消费者，现从上述购买燃油车的车主中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取 10 人，
再从这 10 人中随机抽取 2 人赠送礼品，记这 2 人中女性车主的人数为ξ，求ξ的分布列以及 E(ξ).
参考公式：
参考数据：
α 0.1 0.01 0.001
2.706 6.635 10.828
18. (本小题满分 17 分)
在四棱锥 中，平面 平面 平面 平面 底面 为正方形.
(1)求证: AP⊥平面 ABCD；
(2)设 的中点为 且 .若 为平面 ABCD 上的一点，且 求 与平
面 所成角正弦值的最小值.
19. (本小题满分 17 分)
已知 是抛物线 上一点， 以点 为圆心，1 为半径的圆过 的焦点 .按如
下方式依次构造点. 过点 作斜率为 的直线与 C 交于另一点
点 为 关于 轴的对称点.
(1)求 的方程；
(2)令 证明 是等差数列，并求其通项公式；
(3)设 是 的面积，求证：
15．【详解】（1）由题意可知 ， ，则 ，
若 ， 恒成立， 在 上单调递增．
若 ，当 时， ，当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
综上所述，若 ， 在 上单调递增；
若 ， 在 上单调递减，在 上单调递增．
（2）由（1）可知不等式 ，
即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，只需 即可．
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， 在 上单调递减，
所以 ，所以 ．
16．【详解】（1）∵ ，
∴ ，∴ ．
∵ ， ∴ ，∴ ，
∴ ． ∵ ，∴ ，即 ．
（2）设内切圆半径为 r， 的周长为 ，面积为 ．
则 ，即 ，∴ ，∴ ．
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
且 ．
∴当 ，即 时， 内切圆半径取到最大值 ，
∴面积最大值为 ．
17．【详解】（1）依题意可得 ，
即 ，解得 ．故 x 的值为 800．
（2）零假设 :购车车主的性别与购车类型无关．
，
故依据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即认为购车车主的性别与购车类型有关．
（3）购买燃油车的车主中，男性车主与女性车主的比例为 ，
所以分层随机抽样抽取的 10 人中 6 人是男性车主，4 人是女性车主．
记这 2 人中，女性车主的人数为 ，则 的可能取值为 0，1，2．
， ， ．
所以 的分布列如下:
0 1 2
P
则 ．
18．【详解】（1）∵底面 是正方形，∴ ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．∵ 平面 ，∴ ．同理∴ ，
∵ ， ， 平面 ，∴ 平面 ．
（2）由（1）知 平面 ，∴ 平面 ，又∵ 面 ，
∴ ．∵ ， ，∴ 面 ，∴ ．
∵E 为 中点，∴ ．
如图，设 ，以 O 为原点， ， 所在直线分别为 x，y 轴，z 轴 ，建立空间直角坐
标系．则 ， ．
由题意可知，点 Q 的轨迹是以 B，D 为焦点的椭圆，
又∵ ，所以该椭圆 ， ，
所以在平面 内椭圆轨迹方程为： ．
设 ， ， ∴ ．
又 是平面 的法向量，
记 与面 所成角为 ，则 ，
又由 Q 的轨迹方程得 ．
记 ， ．
该二次函数的对称轴为 ，∴ ，
所以 与平面 所成角正弦值的最小值为 ．
19．【详解】（1）由题意可知， 与 x 轴相切于点 F，所以 ，
∴ ，解得 ．所以 C 的方程为 ．
（2）点 关于 x 轴的对称点为 ，直线 的斜率 ，
则 ， ，即 ．
又点 ， 都在 C 上，于是 ，两式相减得 ，
因此 ，数列 是首项为 1，公差为 的等差数列，通项公式为 ．
（3）要证 ，只需证明 ．
直线 的斜率 ．
直线 的斜率 ，
因此 ，即 ，所以 ．

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