资源简介

2024-2025 学年山东省五莲县第一中学高一下学期期中模拟测试（三）
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.点 tan4, cos2 在平面直角坐标系中位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2 3.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的2倍，那么该弧所对的圆心角是原来的( )
A. 1 B. 2 C. 12 倍 3 D. 3 倍
3.已知向量 , 满足 = 3， = 1，且 2 9 ⊥ ，则 2 9 与 的夹角的余弦值为( )
A. 5 5 2 53 B. 9 C. 3 D. 9
4 .已知 sin 3cos = 0，则 cos 2 + 2 =( )
A. 4 B. 35 5 C.
3 4
5 D. 5
5.已知 , 均为第二象限角，则“cos > cos ”是“sin > sin ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6 π 4 3.如图，点 为单位圆上一点且∠ = 3，点 沿单位圆逆时针方向旋转角 到点 ( 5 , 5 )，则
tan( + π12 ) =( )
A. 7 B. 5 C. 1 17 D. 5
7.已知 + + = ， 为锐角，tan = 3tan 1 1，则tan + tan 的最小值为( )
A. 1 B. 42 3 C.
3
2 D.
3
4

8.在 中， ⊥ = 3 2 ， ， = 1，点 是 所在平面内一点， = + ，且满足 = 2，
若 = + ，则 3 + 的最小值是( )
第 1页，共 8页
A. 3 + 2 2 B. 2 C. 1 D. 3 2 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中错误的是( )
A.若 为非零向量，且 = ，则 =
B.对于非零向量 、 ， 若 // ，则存在唯一实数 使得 =
C.在 中，若 2 + + 4 = 0，则 与 的面积之比为 2: 9
D.已知 = (1,2)， = (1,1)，且 与 + 5的夹角为锐角，则实数 的取值范围是 3 , + ∞
10.如图所示，线段 是⊙ 的弦，其中 = 8， = 5，点 为⊙ 上任意一点，则以下结论正确的是( )
A. ≤ 10
B. 的最大值是 78
C.当 = 0 时，sin∠ = 2 35
D. = 32
11.已知函数 ( ) = cos( + ) + > 0, > 0, | | < π2 的部分图象如图所示，则( )
A. ( ) = 3cos 4 + 6 + 1
B. 16 , 1 是 ( )的一个对称中心
C. ( )的单调递增区间 5 16 + ,

16 + ∈ Z
D.若实数 1， 2满足． 1 = 2 =
5
2，则 1 2 的最小值为6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
第 2页，共 8页
12.(1)与 2023°终边相同的最小正角是 ．(2)化简 1 2sin50°cos50°的结果为 ．
13.已知函数 = 3sin + cos ( > 0)在区间 0, π 上有且仅有两个零点，则 的最大值是
14.如图，正方形 的边长为 6， 是 的中点， 是 边上靠近点 的三等分点， 与 交于点 ，则
cos∠ = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知角 的终边过点 ( 4,3)．
(1) tan( + )求 的值；sin( ) cos 2+
(2)若 4为第三象限角，且 tan = 3，求 cos( )的值．
16.(本小题 15 分)
1
在平行四边形 中， = 2, = 3, cos∠ = 3 ,
= , = , ∈ [0,1]．
(1) 1若 = , 与 交于点 , = + 3 ，求 的值；
(2)求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知向量 = 2cos , sin + 2sin ， = 2sin , cos + 2cos ．
(1)若 // ，求 cos( + )；
(2) π若 = 4，函数 ( ) =
∈ 0, π ；
(ⅰ)求 ( )的值域．
(ⅱ)当 ( )取最小值时，求与 垂直的单位向量 的坐标．
18.(本小题 17 分)
第 3页，共 8页
在△ 中，已知 = 2， = 11 5 11，cos∠ = 22 ， 为 的中点， 为 边上的一个动点， 与
交于点 .设 = ．
(1) = 1 若 4，求 的值；
(2)求 的最小值．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3sin(3π ) + sin( 3π2 )．
(1)求函数 ( )的周期和对称轴方程；
(2)若将 = ( ) π 1的图象上的所有点向右平移6个单位，再把所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的2倍(纵
坐标不变)，得到函数 ( )的图象.若方程 ( ) = 1 在 ∈ [ π , 5π3 3 ]上的零点从小到大依次为 1, 2, , ，求
1 + 2 2 ++ + 2 1 + 的值；
(3) 2若方程 ( ) = 5在(0, π)上的解为 1, 2，求 sin( 1 2)．
第 4页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.223°；sin50° sin40°
13.17 56或 2 6
14. 2 110或10 2
15. (1) tan( + ) = tan tan 1解： 因为
sin( ) cos + sin +sin
= 2sin = 2cos ，
2
4 4
又因为角 的终边过点 ( 4,3)，所以 cos = =
( 4)2+32 5
，
tan( + ) = 1所以 = 5；
sin( ) cos + 2 4 82 5
tan = sin 4 sin =
4
(2)因为 cos
= 3且 为第三象限角，所以 5 ,
sin2 + cos2 = 1 cos =
3
5
sin = 3又因为 5 , cos =
4
5，
4 3 3 4
所以 cos( ) = cos cos + sin sin = 5 5 + 5 5 = 0．

16.解：(1)设 = ，则 = + = + = +
1
= (1 ) + = 2 +
设 = = + 1 = + 3 3 ．
第 5页，共 8页
= 1 1
根据平面向量基本定理得 21 ,解得 = 7，
3 =
所以 = 1 + 3 = 17 7 ，则 7 , =
3
7，所以 =
3
49．
(2)因为 = + + = ( 1) + ，
= + = + 1 2 ，
= | | | |cos∠ = 3 × 2 × 13 = 2，
2 2
所以 = 2 + 1 + 3 1 2 2 2 ．
= 4 2 + 92 + 3 1 = 4
2 + 72．
1 1
因为 ∈ [0,1]，所以当 = = 时， 2×4 8
55取得最小值，且最小值为16，
当 = 1 时， 13取得最大值，且最大值为 2．
故 55的取值范围为 16 ,
13
2 ．
17.解：(1)因为 = 2cos , sin + 2sin ， = 2sin , cos + 2cos ，且 // ，
则 2cos cos + 2cos = 2sin sin + 2sin ，
即 2 2 cos cos sin sin = 2 sin2 + cos2
2
整理得 2cos( + ) = 1，所以 cos( + ) = 2 ．
(2)因为 = π4，则 = 2cos , sin + 1 ，
= 2sin , cos + 1 ，
可得 ( ) = = 4sin cos + sin + 1 cos + 1
= 3sin cos + sin cos + 1
3 5
= 22 sin cos + sin cos + 2
设 = sin cos = 2sin π4 ，
π π 3π
因为 ∈ 0, π ，则 4 ∈ 4 , 4 ，
可得 sin π 2 π4 ∈ 2 , 1 ， = 2sin 4 ∈ 1, 2 ，
(ⅰ)设 ( ) = 3 22 + +
5
2 , ∈ 1, 2 ，
第 6页，共 8页
因为 ( ) = 3 22 + +
5 1
2的图象开口向上，对称轴为 = 3，
1 8
由二次函数性质可得： ( )max = 3 = 3， ( )min = ( 1) = 0
所以 ( )的值域为 0, 83 ；
(ⅱ)当 ( )取最小值时，即 = 1, ( )min = 0，此时 = 0， = (2,1)
5 5
2 + = 0 = =
设 = ( , )，由题意可得 ，解得 5 或 5 2 + 2 = 1 , = 2 55 =
2 5
5
= 5 , 2 5 5所以 5 5 或 5 ,
2 5
5 ．
18.解：(1)因为 ， ， 三点共线，所以有 = ，
即 + = ( + )，得 = (1 ) + = (1 ) + 4
，
同理可设 = = 2 (
+ )，
所以得 1 = 2，4 = 2，解得 =
4
5 , =
2
5．
4
所以 = 5 ，即 = 4．
(2)解：
= (1 ) + +
= 11 11 + 4 2 + 5 (1 2 )，
由(1)可知 1 = 12， = 2，所以 = 1+ ，
所以
2
= 9 16 1+ ，
令 1 + = ∈ [1,2]，则 = 9 + 25 34 ≥ 2 9 × 25 34 = 4，
5 2
等号当且仅当 = 3，即 = 3时，
的最小值为 4．
19.解：(1) π依题意，函数 ( ) = 3sin cos = 2sin( 6 )，
所以函数 ( )的周期 = 2π；
π π 2π
令 6 = 2 + π，得 = 3 + π, ∈ Z
2π
所以函数 ( )图象的对称轴方程 = 3 + π, ∈ Z．
第 7页，共 8页
(2) π依题意， ( ) = (2 6 ) = 2sin(2
π ) ( ) = 1 π 13 ，由 ，得 sin(2 3 ) = 2，
∈ [ π , 5π ] 2 π由 3 3 ，得 3 ∈ [ π, 3 ]，令 = 2
π 1
3，sin = 2， ∈ [ π, 3π]，
设 π = 2 3 (1 ≤ ≤ , ∈ N
)，直线 = 12与函数 = sin 在 ∈ [ π, 3π]上的图象有四个交点，
( 1 1 π 1 1 3π点 1, 2 ), ( 2, 2 )关于直线 = 2对称，点( 2, 2 ), ( 3, 2 )关于直线 = 2对称，
点( 1 1 5π3, 2 ), ( 4, 2 )关于直线 = 2 对称，则 1 + 2 = π， 2 + 3 = 3π， 3 + 4 = 5π，
即 1 + 2 2 + 2 3 + 4 = 9π，则 2( 1 + 2 2 + 2 3 + 4) 2π = 9π
11π
所以 1 + 2 2 + 2 3 + 4 = 2 ．
(3)方程 ( ) = 25在(0, π)上的解为 1, 2，则 1, 2为方程 sin(2
π ) = 13 5在(0, π)上的两解，不妨设 1 < 2，
当 ∈ (0, π)时，2 π3 ∈ (
π
3 ,
5π π
3 )，sin(2 1 3 ) =
1 π π
5，2 1 3 ∈ (0, 6 )，
sin(2 π2 3 ) =
1
5，2
π 5π
2 3 ∈ ( 6 , π)，cos(2
π ) = 2 61 3 5 ，cos(2
π 2 6
2 3 ) = 5 ，
∈ ( π , π ) ∈ ( 7π , 2π1 6 4 ， 2 12 3 )，则 1 2 ∈ (
π π
2 , 3 )，
cos2( 1 2) = cos[(2
π
1 3 ) (2
π 2 6 2 6 1 1
2 3 )] = 5 ( 5 ) + 5 5 =
23
25，
于是 1 2sin2( 23 2 61 2) = 25，所以 sin( 1 2) = 5 ．
第 8页，共 8页

展开更多......

收起↑