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浙江省衢州市柯城区、龙游县、江山市2025年中考一模数学卷
1．（2025·柯城模拟）下列四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．5
2．（2025·柯城模拟）计算：（　　）
A． B．3a C． D．3
3．（2025·柯城模拟）如图，点O是正方形网格中的格点，点P，，，，是以O为圆心的圆与网格线的交点，直线m经过点O与点，则点P关于直线m的对称点是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·柯城模拟）某高速路段上的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的九辆机动车速度，数据如下（单位：千米／时）：100，96，86，77，96，93，108，96，95.这组数据的中位数是（　　）
A．96.5 B．96 C．95.5 D．94.5
5．（2025·柯城模拟）如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点O．已知点，的坐标分别为，．若，则点的对应点A的坐标是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·柯城模拟）因式分解：（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·柯城模拟）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为(　　)
A． B． C．4 D．16
8．（2025·柯城模拟）如图，是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中，，且，，则的长为（　　）
A． B． C． D．1
9．（2025·柯城模拟）已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·柯城模拟）如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记的面积为s，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·柯城模拟）二次根式 中字母x的取值范围是　 　．
12．（2025·柯城模拟）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是　 　．
13．（2025·柯城模拟）不等式的解是　 　．
14．（2025·柯城模拟）如图，直线与相切于点C，点A在上，于点B．若，，则的半径为　 　．
15．（2025·柯城模拟）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是　 　．
16．（2025·柯城模拟）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接并延长，交，于点N，M．若．
（1）比较线段大小：　 　．（填写“”“”“”）
（2）的值等于　 　．
17．（2025·柯城模拟）计算：．
18．（2025·柯城模拟）先化简，再求值：，其中，．
19．（2025·柯城模拟）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接．
（1）求证：．
（2）当时，求与的度数和．
20．（2025·柯城模拟）某校在新学期之初举办了一场以“环保”为主题的综合实践知识竞赛，并把随机抽取的若干八年级学生的竞赛成绩进行整理，绘制成如下不完整的统计表和统计图．
组别 成绩（分） 频数
A 2
B a
C 14
D b
E 10
（1）写出a，b的值，并补全频数直方图．
（2）求扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数．
（3）该校八年级共有480人，根据统计信息，估计该校八年级学生的竞赛成绩在D组的人数．
21．（2025·柯城模拟）尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．已知：在四边形中，，，用尺规作图作，的角平分线．下面是两位同学的对话：
小衢 我会用八年级上册《1.5三角形的全等的判定①》中例2的尺规作图法． 小柯 我想到了新方法：如图所示，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线；同理，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线．
依据小柯的“新方法”解答下列问题．
（1）说明是的角平分线的理由．
（2）若，垂足为O，当，时，求的长．
22．（2025·柯城模拟）某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动，展台的总长度是70米，如图1所示．甲机器人先从起点出发，匀速慢跑，到达指定的表演点后开始表演，表演结束后，立刻按原来速度继续向前慢跑，直到终点结束；乙机器人的起点在甲机器人起点前7米处，与甲机器人同时开始慢跑，一直前行，直到终点结束．已知甲、乙两款机器人距离甲机器人起点的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图2所示．
（1）求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲机器人表演的时长．
（2）求当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离．
23．（2025·柯城模拟）对于二次函数．
（1）若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点．
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由．
②当时，该函数的最小值是，求m的值．
（2）若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围．
24．（2025·柯城模拟）如图1，在中，，是的外接圆，点D是的中点，连接交于点E．
（1）求的度数．
（2）如图2，过点A作，连接，若，．
①若，求．
②连接，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，
∴，
∴最小的数是，
故选：A ．
【分析】
根据零大于负数，正数大于零，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小即可求解．
2．【答案】C
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：；
故选C．
【分析】
同分母的分式的减法，分母不变，分子相减．
3．【答案】D
【知识点】垂径定理；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：由网格线可知直线，
∵直线经过圆心，
∴直线平分线段，
∴点P关于直线m的对称点是点，
故选：D．
【分析】
由网格线可知直线，由垂径定理可得直线平分线段，即可确定点P关于直线m的对称点是点．
4．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为：77，86，93，95，96，96，96，100，108，所以中位数为.
故答案为：B.
【分析】先将数据从小到大排列，再求中位数.
5．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵线段与线段是位似图形，位似中心为点O．点，的坐标分别为，．
∴，，与x轴平行，
∵，
∴，
∴相似比为，
∵点，
∴点的对应点A的坐标是，即
故选：A．
【分析】根据位似比等于相似比求解即可．
6．【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故选：D ．
【分析】
直接运用平方差公式进行因式分解即可．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=0，即（-4）2-4c=0，
解得c=4.
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此斌结合题意列出方程，求解即可.
8．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】
根据直角三角形斜边中线的性质得出，再结合等腰三角形的性质解直角三角形即可求解．
9．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵a是一个正数，
∴，，，
又∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
∴当时，，
∴．
故选：A．
【分析】
由反比例函数图象上点的坐标特征可把点，，分别代入反比例函数的解析式中，从而得，，，因为a>0，所以．
10．【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：作于M，作于N，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形的面积为．
故选B．
【分析】
如图，分别过B、D作ACh的垂线段BM和DN，则由矩形的性质可得AC分得矩形ABCD所得的两个三角形全等，即BE=DN，则由同底等高的两个三角形面积相等，即四边形BEDC的面积等于三角形BEC面积的2倍．
11．【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．【答案】．
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，
故转动一次，指针落在白色区域的概率为．
故答案为．
【分析】
简单事件的概率，可直接计算白色区域在圆中的占比即可．
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，，
去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1，，
故答案为：．
【分析】
解一元一次不等式的一般步骤，去分母、去括号、移项合并基， 最后系数化为1．
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，过点A作于点D，
∵直线与相切于点C，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
设的半径为x，则，
由勾股定理得，，
即，
解得，
∴的半径为，
故答案为：．
【分析】
连接、，过点A作于点D，由切线的性质可得，则四边形为矩形，再利用勾股定理即可求得半径OA．
15．【答案】5
【知识点】二元一次方程的解；解二元二次方程组
【解析】【解答】解：∵二元一次方程组的解是，
∴，
解得，
故答案为：5．
【分析】
将解代入原方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组即可．
16．【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）∵四边形是正方形，
∴，
设，，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）若，则借助等边对等角，对顶角相等，等角的余角相等结合已知的两个直角三角形和全等可判定，由全等的性质并等量代换得即可；
（2）设，，则，，然后利用勾股定理即可得出，即可求解．
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先算负指数幂，立方根，绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可．
18．【答案】解：
，
当，时，
原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】整式化简求值，先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行化简，然后再代入数据进行求值即可．
19．【答案】（1）证明：由旋转的性质得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
（1）由旋转的性质、等边三角形的性质结合，可利用证明即可；
（2）先由可证明为等边三角形，进而得到，再利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系即可得出结果．
（1）解：∵旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
20．【答案】（1），
（2）解：，∴A组对应的圆心角的度数为；
（3）解：（人），∴估计八年级中分数在D组的人数为192人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：班级总人数为：，
∴
，
补全条形统计图如下：
【分析】
（1）观察两个统计图，可根据E组频数及所占百分数求出班级的总人数，进而可求出a、b；根据求出的a、b补全即可；
（2）先求出本次调查中A组的占比，再与360°相乘，即可作答；
（3）本次调查中八年级中分数在D组的占比与480相乘，即可作答．
（1）解：班级总人数为：，
∴
，
补全条形统计图如下：
（2）解：，
∴A组对应的圆心角的度数为；
（3）解：（人），
∴估计八年级中分数在D组的人数为192人．
21．【答案】（1）解：以D为圆心，DA长为半径画弧，交于点E，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，即平分，
（2）解：∵∴，即，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，又∵，
∴四边形为平行四边形．
∴，，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；内错角的概念
【解析】【分析】
（1）根据作图的方法可知，根据等边对等角可知，根据平行四边形的性质可知，根据平行线的性质可知，等量代换可知，所以可知平分；
（2）先根据已知证明，可得，由此证明四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质进而得出，，由图形中线段关系可得即可．
（1）解：以D为圆心，DA长为半径画弧，交于点E，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，即平分，
（2）∵
∴，即，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，又∵，
∴四边形为平行四边形．
∴，，
∴，
∴
22．【答案】（1）解：甲机器人速度：（米/秒），乙机器人速度：（米/秒），
（秒），
∴甲、乙两款机器人各自的慢跑速度分别为5米/秒和3.5米/秒，甲机器人表演的时长为4秒．
（2）解：当甲，乙机器人同时到达终点时，相遇点距离展展台终点的终点的距离为0，
当甲，乙机器人相遇在甲表演点时，，
当甲，乙机器人相遇在甲表演点之前时，
乙机器人的函数表达式：，
甲机器人的函数表达式：（），
当时，得，
当，，
所以，
答：当甲、乙机器人相遇时，距离终点，40米或0米．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）根据图象得出甲乙机器人的路程和时间，然后计算即可；
（2）结合图象分为甲机器人表演前、表演时、到达终点时三种情况，分别计算即可．
（1）解：甲机器人速度：（米/秒），
乙机器人速度：（米/秒），
（秒），
∴甲、乙两款机器人各自的慢跑速度分别为5米/秒和3.5米/秒，甲机器人表演的时长为4秒．
（2）当甲，乙机器人同时到达终点时，相遇点距离展展台终点的终点的距离为0，
当甲，乙机器人相遇在甲表演点时，，
当甲，乙机器人相遇在甲表演点之前时，
乙机器人的函数表达式：，
甲机器人的函数表达式：（），
当时，得，
当，，
所以，
答：当甲、乙机器人相遇时，距离终点，40米或0米．
23．【答案】（1）解：①当时，，不合题意，舍去；当时，，
∴，符合题意，
这时二次函数的表达式是；
当时，，
∴，不合题意，舍去；
∴二次函数的图象应经过；
②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，
∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为，
∵当时，该函数的最小值是，
∴；
（2）解：当时代入：，当时代入：，
∴，
∴，
∵，
∴即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）①将题目中3个点坐标分别代入计算出a的值，再与已知q为正数进行比较即可；
②因为，则函数，则抛物线开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，则点关于直线的对称点为，根据二次函数增减性即可求得当时，该函数的最小值是；
（2）由，得到，因为，所以，解得．
（1）解：①当时，，不合题意，舍去；
当时，，
∴，符合题意，
这时二次函数的表达式是；
当时，，
∴，不合题意，舍去；
∴二次函数的图象应经过；
②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，
∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为，
∵当时，该函数的最小值是，
∴；
（2）解：当时代入：，
当时代入：，
∴，
∴，
∵，
∴即．
24．【答案】（1）解：∵，是的外接圆，∴为直径，
∴的度数为，
∵D是的中点，
∴，
∴的度数为，
∴；
（2）①由（1）可知：，∴，
设，则，
∵，，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴；
②当时，
过点O作，由①可知：，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，；
当＞时，过点O作
∵，
∴，
设，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形；圆内知识的综合
【解析】【分析】（1）由于AB是直径，则的度数为，由于点D是中点，则的度数为，由圆周角定理可得的度数为；
（2）①根据，可设，则，根据，可求出的值，由等角的余角相等可得，进而求出的长，此时可证明为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，再运用勾股定理求出的长，即可得出结果；
②分和两种情况，画出图形，进行求解即可．
（1）解：∵，是的外接圆，
∴为直径，
∴的度数为，
∵D是的中点，
∴，
∴的度数为，
∴；
（2）①由（1）可知：，
∴，
设，则，
∵，，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴；
②当时，
过点O作，由①可知：，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，；
当＞时，过点O作
∵，
∴，
设，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
1 / 1浙江省衢州市柯城区、龙游县、江山市2025年中考一模数学卷
1．（2025·柯城模拟）下列四个数中，最小的数是（　　）
A． B． C．0 D．5
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：，
∴，
∴最小的数是，
故选：A ．
【分析】
根据零大于负数，正数大于零，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小即可求解．
2．（2025·柯城模拟）计算：（　　）
A． B．3a C． D．3
【答案】C
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：；
故选C．
【分析】
同分母的分式的减法，分母不变，分子相减．
3．（2025·柯城模拟）如图，点O是正方形网格中的格点，点P，，，，是以O为圆心的圆与网格线的交点，直线m经过点O与点，则点P关于直线m的对称点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：由网格线可知直线，
∵直线经过圆心，
∴直线平分线段，
∴点P关于直线m的对称点是点，
故选：D．
【分析】
由网格线可知直线，由垂径定理可得直线平分线段，即可确定点P关于直线m的对称点是点．
4．（2025·柯城模拟）某高速路段上的一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的九辆机动车速度，数据如下（单位：千米／时）：100，96，86，77，96，93，108，96，95.这组数据的中位数是（　　）
A．96.5 B．96 C．95.5 D．94.5
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列为：77，86，93，95，96，96，96，100，108，所以中位数为.
故答案为：B.
【分析】先将数据从小到大排列，再求中位数.
5．（2025·柯城模拟）如图，在平面直角坐标系中，线段与线段是位似图形，位似中心为点O．已知点，的坐标分别为，．若，则点的对应点A的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵线段与线段是位似图形，位似中心为点O．点，的坐标分别为，．
∴，，与x轴平行，
∵，
∴，
∴相似比为，
∵点，
∴点的对应点A的坐标是，即
故选：A．
【分析】根据位似比等于相似比求解即可．
6．（2025·柯城模拟）因式分解：（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故选：D ．
【分析】
直接运用平方差公式进行因式分解即可．
7．（2025·柯城模拟）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为(　　)
A． B． C．4 D．16
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，
∴△=b2-4ac=0，即（-4）2-4c=0，
解得c=4.
故答案为：C.
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此斌结合题意列出方程，求解即可.
8．（2025·柯城模拟）如图，是人字形钢架屋顶示意图（部分），其中，，且，，则的长为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】
根据直角三角形斜边中线的性质得出，再结合等腰三角形的性质解直角三角形即可求解．
9．（2025·柯城模拟）已知a是一个正数，点，，都在反比例函数的图象上，则0，，，的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意，∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴，，，
∵a是一个正数，
∴，，，
又∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大，
∴当时，，
∴．
故选：A．
【分析】
由反比例函数图象上点的坐标特征可把点，，分别代入反比例函数的解析式中，从而得，，，因为a>0，所以．
10．（2025·柯城模拟）如图，在矩形中，点E是对角线上一点，过点E作分别交于F，于G，连结，．记的面积为s，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：作于M，作于N，
∴．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形的面积为．
故选B．
【分析】
如图，分别过B、D作ACh的垂线段BM和DN，则由矩形的性质可得AC分得矩形ABCD所得的两个三角形全等，即BE=DN，则由同底等高的两个三角形面积相等，即四边形BEDC的面积等于三角形BEC面积的2倍．
11．（2025·柯城模拟）二次根式 中字母x的取值范围是　 　．
【答案】x≥1
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【分析】二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解．主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12．（2025·柯城模拟）如图，转盘的白色扇形和黑色扇形的圆心角分别是120°和240°．让转盘自由转动1次，指针落在白色区域的概率是　 　．
【答案】．
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：由图得：白色扇形的圆心角为120°，
故转动一次，指针落在白色区域的概率为．
故答案为．
【分析】
简单事件的概率，可直接计算白色区域在圆中的占比即可．
13．（2025·柯城模拟）不等式的解是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，，
去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，，
系数化为1，，
故答案为：．
【分析】
解一元一次不等式的一般步骤，去分母、去括号、移项合并基， 最后系数化为1．
14．（2025·柯城模拟）如图，直线与相切于点C，点A在上，于点B．若，，则的半径为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接、，过点A作于点D，
∵直线与相切于点C，
∴，
∵，，
∴四边形为矩形，
∴，，
设的半径为x，则，
由勾股定理得，，
即，
解得，
∴的半径为，
故答案为：．
【分析】
连接、，过点A作于点D，由切线的性质可得，则四边形为矩形，再利用勾股定理即可求得半径OA．
15．（2025·柯城模拟）已知关于x，y的二元一次方程组的解是，则b的值是　 　．
【答案】5
【知识点】二元一次方程的解；解二元二次方程组
【解析】【解答】解：∵二元一次方程组的解是，
∴，
解得，
故答案为：5．
【分析】
将解代入原方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组即可．
16．（2025·柯城模拟）如图，正方形由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形组成，连接并延长，交，于点N，M．若．
（1）比较线段大小：　 　．（填写“”“”“”）
（2）的值等于　 　．
【答案】；
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）∵四边形是正方形，
∴，
设，，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
（1）若，则借助等边对等角，对顶角相等，等角的余角相等结合已知的两个直角三角形和全等可判定，由全等的性质并等量代换得即可；
（2）设，，则，，然后利用勾股定理即可得出，即可求解．
17．（2025·柯城模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先算负指数幂，立方根，绝对值，再根据实数的混合运算法则计算即可．
18．（2025·柯城模拟）先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
当，时，
原式
．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】整式化简求值，先根据完全平方公式和单项式乘多项式进行化简，然后再代入数据进行求值即可．
19．（2025·柯城模拟）如图，在中，，D是内一点，连接，将线段绕点C逆时针旋转到，使，连接．
（1）求证：．
（2）当时，求与的度数和．
【答案】（1）证明：由旋转的性质得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
（1）由旋转的性质、等边三角形的性质结合，可利用证明即可；
（2）先由可证明为等边三角形，进而得到，再利用全等三角形的对应角相等，结合角的和差关系即可得出结果．
（1）解：∵旋转，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
20．（2025·柯城模拟）某校在新学期之初举办了一场以“环保”为主题的综合实践知识竞赛，并把随机抽取的若干八年级学生的竞赛成绩进行整理，绘制成如下不完整的统计表和统计图．
组别 成绩（分） 频数
A 2
B a
C 14
D b
E 10
（1）写出a，b的值，并补全频数直方图．
（2）求扇形统计图中，A组所对应的圆心角度数．
（3）该校八年级共有480人，根据统计信息，估计该校八年级学生的竞赛成绩在D组的人数．
【答案】（1），
（2）解：，∴A组对应的圆心角的度数为；
（3）解：（人），∴估计八年级中分数在D组的人数为192人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：班级总人数为：，
∴
，
补全条形统计图如下：
【分析】
（1）观察两个统计图，可根据E组频数及所占百分数求出班级的总人数，进而可求出a、b；根据求出的a、b补全即可；
（2）先求出本次调查中A组的占比，再与360°相乘，即可作答；
（3）本次调查中八年级中分数在D组的占比与480相乘，即可作答．
（1）解：班级总人数为：，
∴
，
补全条形统计图如下：
（2）解：，
∴A组对应的圆心角的度数为；
（3）解：（人），
∴估计八年级中分数在D组的人数为192人．
21．（2025·柯城模拟）尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图．已知：在四边形中，，，用尺规作图作，的角平分线．下面是两位同学的对话：
小衢 我会用八年级上册《1.5三角形的全等的判定①》中例2的尺规作图法． 小柯 我想到了新方法：如图所示，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线；同理，以为圆心，长为半径画弧，交于点，连结，那么就是的角平分线．
依据小柯的“新方法”解答下列问题．
（1）说明是的角平分线的理由．
（2）若，垂足为O，当，时，求的长．
【答案】（1）解：以D为圆心，DA长为半径画弧，交于点E，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，即平分，
（2）解：∵∴，即，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，又∵，
∴四边形为平行四边形．
∴，，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；内错角的概念
【解析】【分析】
（1）根据作图的方法可知，根据等边对等角可知，根据平行四边形的性质可知，根据平行线的性质可知，等量代换可知，所以可知平分；
（2）先根据已知证明，可得，由此证明四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质进而得出，，由图形中线段关系可得即可．
（1）解：以D为圆心，DA长为半径画弧，交于点E，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，即平分，
（2）∵
∴，即，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴，又∵，
∴四边形为平行四边形．
∴，，
∴，
∴
22．（2025·柯城模拟）某科技公司在机器人展厅内的展台上举办了甲、乙两款机器人的表演、慢跑展示活动，展台的总长度是70米，如图1所示．甲机器人先从起点出发，匀速慢跑，到达指定的表演点后开始表演，表演结束后，立刻按原来速度继续向前慢跑，直到终点结束；乙机器人的起点在甲机器人起点前7米处，与甲机器人同时开始慢跑，一直前行，直到终点结束．已知甲、乙两款机器人距离甲机器人起点的距离y（米）与时间x（秒）之间的函数关系如图2所示．
（1）求甲、乙两款机器人各自的慢跑速度及甲机器人表演的时长．
（2）求当甲、乙两款机器人相遇时，相遇点离展示台终点的距离．
【答案】（1）解：甲机器人速度：（米/秒），乙机器人速度：（米/秒），
（秒），
∴甲、乙两款机器人各自的慢跑速度分别为5米/秒和3.5米/秒，甲机器人表演的时长为4秒．
（2）解：当甲，乙机器人同时到达终点时，相遇点距离展展台终点的终点的距离为0，
当甲，乙机器人相遇在甲表演点时，，
当甲，乙机器人相遇在甲表演点之前时，
乙机器人的函数表达式：，
甲机器人的函数表达式：（），
当时，得，
当，，
所以，
答：当甲、乙机器人相遇时，距离终点，40米或0米．
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】
（1）根据图象得出甲乙机器人的路程和时间，然后计算即可；
（2）结合图象分为甲机器人表演前、表演时、到达终点时三种情况，分别计算即可．
（1）解：甲机器人速度：（米/秒），
乙机器人速度：（米/秒），
（秒），
∴甲、乙两款机器人各自的慢跑速度分别为5米/秒和3.5米/秒，甲机器人表演的时长为4秒．
（2）当甲，乙机器人同时到达终点时，相遇点距离展展台终点的终点的距离为0，
当甲，乙机器人相遇在甲表演点时，，
当甲，乙机器人相遇在甲表演点之前时，
乙机器人的函数表达式：，
甲机器人的函数表达式：（），
当时，得，
当，，
所以，
答：当甲、乙机器人相遇时，距离终点，40米或0米．
23．（2025·柯城模拟）对于二次函数．
（1）若二次函数的图象经过了，，三点中的某一个点．
①判定该二次函数的图象应经过上述三点中的哪一个点，并说明理由．
②当时，该函数的最小值是，求m的值．
（2）若二次函数的图象经过点，，求当时，n的取值范围．
【答案】（1）解：①当时，，不合题意，舍去；当时，，
∴，符合题意，
这时二次函数的表达式是；
当时，，
∴，不合题意，舍去；
∴二次函数的图象应经过；
②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，
∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为，
∵当时，该函数的最小值是，
∴；
（2）解：当时代入：，当时代入：，
∴，
∴，
∵，
∴即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】
（1）①将题目中3个点坐标分别代入计算出a的值，再与已知q为正数进行比较即可；
②因为，则函数，则抛物线开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，则点关于直线的对称点为，根据二次函数增减性即可求得当时，该函数的最小值是；
（2）由，得到，因为，所以，解得．
（1）解：①当时，，不合题意，舍去；
当时，，
∴，符合题意，
这时二次函数的表达式是；
当时，，
∴，不合题意，舍去；
∴二次函数的图象应经过；
②∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，与y轴交于点，
∴当时，y随x的增大而增大，点关于直线的对称点为，
∵当时，该函数的最小值是，
∴；
（2）解：当时代入：，
当时代入：，
∴，
∴，
∵，
∴即．
24．（2025·柯城模拟）如图1，在中，，是的外接圆，点D是的中点，连接交于点E．
（1）求的度数．
（2）如图2，过点A作，连接，若，．
①若，求．
②连接，求的长．
【答案】（1）解：∵，是的外接圆，∴为直径，
∴的度数为，
∵D是的中点，
∴，
∴的度数为，
∴；
（2）①由（1）可知：，∴，
设，则，
∵，，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴；
②当时，
过点O作，由①可知：，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，；
当＞时，过点O作
∵，
∴，
设，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形；圆内知识的综合
【解析】【分析】（1）由于AB是直径，则的度数为，由于点D是中点，则的度数为，由圆周角定理可得的度数为；
（2）①根据，可设，则，根据，可求出的值，由等角的余角相等可得，进而求出的长，此时可证明为等腰直角三角形，求出的长，进而求出的长，再运用勾股定理求出的长，即可得出结果；
②分和两种情况，画出图形，进行求解即可．
（1）解：∵，是的外接圆，
∴为直径，
∴的度数为，
∵D是的中点，
∴，
∴的度数为，
∴；
（2）①由（1）可知：，
∴，
设，则，
∵，，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
在中，，
∴；
②当时，
过点O作，由①可知：，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，；
当＞时，过点O作
∵，
∴，
设，
∵，
∴
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
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