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广东省深圳龙华区2024-2025学年九年级下学期数学二模试卷
1．（2025·广东模拟）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是圆形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】截一个几何体；简单几何体的三视图；圆锥的特征；正投影
【解析】【解答】解：A是扇形，不符合题意；
B是正方形，不符合题意；
C是圆形，符合题意；
D是正方形，不符合题意
故答案为：C
【分析】根据圆锥的侧面展开图特征，几何体的三视图，球的截面特征，投影性质逐项进行判断即可求出答案.
2．（2025·广东模拟）2025年春节联欢晚会生动展现了重庆的巴渝风情、武汉的楚风汉韵、拉萨的雪域文化、无锡的江南水乡，为文旅带来了新热潮．小华决定从这四个城市中随机选一个作为暑假旅游目的地，假设小华选择四个城市的可能性相同，则选择拉萨的概率是
A．1 B． C． D．0
【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
选择拉萨的概率是
故答案为：C
【分析】根据简单事件的概率公式即可求出答案.
3．（2025·广东模拟）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，正确，符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·广东模拟）如图，小华爸爸的微信零钱在某日只发生了两笔交易，那么他当天微信零钱的最终收支情况是
A．-10元 B．+10元 C．-5元 D．+5元
【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由题意可得：
15+(-5)=10
故答案为：B
【分析】根据有理数的加法即可求出答案.
5．（2025·广东模拟）学习小组利用平面镜的反射原理，将室外光线引入光线不够充足的室内．如图，光线与平面镜AB成的角射入，经过平面镜AB，CD反射后进入室内．若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
=40°
故答案为：D
【分析】根据光的反射规律，入射角等于反射角，结合直线平行性质即可求出答案.
6．（2025·广东模拟）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高A3）．若要使频率升高到440Hz（即达到标准音高A4），应该如何调整张力？
A．增大至150N B．减小至150N C．增大至100N D．减小至100N
【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设f与T之间的函数关系式为
将T=200，f=220代入可得：k=200×220=44000
∴f与T之间的函数关系式为
当f=440时，得
解得：T=100
∴应该将张力减小至100N
故答案为：D
【分析】设f与T之间的函数关系式为，根据待定系数法将T=200，f=220代入关系可得f与T之间的函数关系式为，再将f=440代入解析式即可求出答案.
7．（2025·广东模拟）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为5km，若采用无人机配送，其行程只需3km，且配送时间比传统方式快15min．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设传统方式配送速度为，
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设传统方式配送速度为，根据题意建立方程即可求出答案.
8．（2025·广东模拟）如图，在四个相同的正方形网格中，分别作一个顶点均在格点上的平行四边形ABCD，其中边CD上的高最小的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：A：平行四边形面积为：
，则CD边上的高为
B：平行四边形面积为：
，则CD边上的高为
C：该平行四边形为正方形
，则CD边上的高为
D：平行四边形面积为：
，则CD边上的高为
故答案为：A
【分析】先求出平行四边形面积，再根据勾股定理求出CD长，再根据面积求出CD边上的高，比较大小即可求出答案.
9．（2025·广东模拟）当时，代数式的值为　 　．
【答案】5
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当x=2时
=2×2+1=5
故答案为：5
【分析】将x=5代入代数式即可求出答案.
10．（2025·广东模拟）若，则　 　．
【答案】-1
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵
∵
∴mn=1×(-1)=-1
故答案为：-1
【分析】根据平方差公式将等号左边进行因式分解，根据对应系数相等可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
11．（2025·广东模拟）立一表高八尺，影长六尺；今有一楼，影长四丈五尺．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长4丈5尺（即45尺），这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高　 　尺．
【答案】60
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设楼高为 x 尺，
∴
解得：x=60
故答案为：60
【分析】设楼高为 x 尺，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
12．（2025·广东模拟）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．船与两个灯塔的夹角为，若，则船位于安全区域时，的大小可能为　 　°．（写出一个即可）
【答案】54
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
13．（2025·广东模拟）如图，在菱形ABCD中，点是边CD的中点，点是BE的中点，AF的延长线交边BC于点，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长AD交BE的延长线于点M，延长DF交BC于点G
∵CF⊥DF，点E是边BC的中点
∴EF=DE=EC
∵点F是BE的中点
∴DE=EC=EF=BF
令DE=EC=EF=BF=1
则DC=2，BE=2
∵四边形ABCD是菱形
∴AM∥BC
∴∠MDE=∠BCE
∵DE=EC，∠DEM=∠CEB
∴△CBE≌△DME
∴BC=MD=2，BE=ME=2
∵MD∥BG
∴△BFG∽△MFD
∴
∴
同理△HFG∽△AFD
∴
∴
∴
∴CH=GH
∴FH是Rt△CFG的中线
∴
∴
故答案为：
【分析】延长AD交BE的延长线于点M，延长DF交BC于点G，根据线段中点可得EF=DE=EC，DE=EC=EF=BF，令DE=EC=EF=BF=1，则DC=2，BE=2，根据菱形性质可得AM∥BC，则∠MDE=∠BCE，再根据全等三角形判定定理可得△CBE≌△DME，则BC=MD=2，BE=ME=2，再根据相似三角形判定定理可得△BFG∽△MFD，则，即，同理△HFG∽△AFD，则，即，根据边之间的关系可得CH，再根据直角三角形斜边上的中线可得FH，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．（2025·广东模拟）
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据0指数幂，负整数指数幂。二次根式，特殊角的三角函数值化简，再化简即可求出答案.
（2）根据分式的运算法则，结合完全平方公式即可求出答案.
15．（2025·广东模拟）某学校计划购买甲、乙两种科技类科普读物作为科技节活动奖品，甲类科普读物的单价比乙类科普读物的单价高5元，若购买1本甲类科普读物，2本乙类科普读物共需80元．
（1）甲类和乙类科普读物单价分别是多少？
（2）该校计划共购进100本科普读物，总费用不超过2800元，甲类科普读物最多可以买多少本？
【答案】（1）解：设甲类科普读物的单价为元，则乙类科普读物的单价为元
依题意得
解得
则
答：甲类科普读物的单价为30元，乙类科普读物的单价为25元．
（2）解：设购进甲类科普读物本
依题意得30m+25(100-m)≤2800
解得m≤60
答：甲类科普读物最多可以买60本．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲类科普读物的单价为元，则乙类科普读物的单价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进甲类科普读物本，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．（2025·广东模拟）艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一 （按平均分相同分组） I组 80，85，85，90，100
II组 80，85，90，90，95
方式二 （按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
10位同学测评分值的分布情况
分组数据统计量分析表
分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和
方式一 I组 85 46 360
II组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近．
根据以上信息，解答下面问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为 ▲ ；
（2） ▲ ， ▲ ．
（3）【判断与决策】为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由．
【答案】（1）36
（2）85，90
（3）解：我会选择方式二进行分组。因为两种分组方式的中位数与众数都相同，但方式二的组内离差平方和更小，说明分组方式二下的同组成员之间的水平更接近，有利于开展同级别水平训练的理解和合作，促进同学间的互帮互助，共同进步。
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
“100分”对应的圆心角度数为
故答案为：36°
（2）方式一中，1组的中位数m=85
方式二中，乙组的众数n=90
故答案为：85；90
【分析】（1）根据360°乘以100的占比即可求出答案.
（2）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
17．（2025·广东模拟）已知直线与相切于点．
（1）如图1，BE是的直径，延长BE与直线交于点，过点作，垂足为，交于点，连接BD．若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ▲ ，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分）
（2）如图2，点是圆上一点，请用尺规在直线上求作一点，使得PQ与相切（不写作法，保留作图痕迹）．
【答案】（1）提出问题：圆的半／直径是多少？
解：连接OD
直线与圆相切于点
根据勾股定理可得
又
设半径为
则，
解得
（2）解法一：连接OD，OP，作，交直线于点．
解法二：连接PD，作PD的中垂线交直线于点．
解法三：作射线OP，再作交直线于点．
【知识点】平行线的性质；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线性质可得，再根据勾股定理可得AB，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设半径为，则，代入等式，解方程即可求出答案.
（2）根据切线的性质作图即可求出答案.
18．（2025·广东模拟）根据以下信息，探索完成任务．
如何设计窗户限位器位置
信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图．
信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如意图．已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点与点重合，DE和DB均落在AB上；当点向点滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中．
信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）．
问题解决
任务1 求解关键数量 滑撑支架中CD的长度为 ▲ cm，滑动轨道AB的长度是 ▲ cm.
任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时，则限位器应装在离点多远的位置？（结果保留根号）
【答案】【任务1】8；41．
【任务2】解：过点作交AB于点，
依题意得，
四边形OCDE为平行四边形，
．
，
，
又，
根据勾股定理可得．
．
．
限位器应装在离点的位置．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：任务1：∵四边形OCDE始终为平行四边形，OE=8
∴CD=OE=8
∵当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上
∴AB=DE+DB=DE+CD+BC=41
故答案为：8；41
【分析】任务1：根据平行四边形及边之间的关系即可求出答案.
任务2：过点作交AB于点，依题意得，根据平行四边形性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据勾股定理可得BH，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．（2025·广东模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点O，A．
（1）线段OA的长度为 ▲ ；
（2）将函数的图象沿轴正方向平移个单位得到函数的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点在点的左边时，函数的图象交于点，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过的图象顶点作轴的平行线，将直线向下平移，当直线与函数的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为，请判断是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）4
（2）解：，当时，
解得
平移后函数为
解得
（3）解：存在，最大值为12．
当直线位于点上方时，
根据平移的性质可得．
，
，
．
．
当直线位于点下方时，
根据平移的性质可得．
．
综上．
所以存在最大值12．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）当y=0时，则
解得：x=0或x=4
∴A(0，4)
∴OA=4
故答案为：4
【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式可得点A坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，根据函数图象平移性质可得平移后函数为，联立两解析式，解方程组即可求出答案.
（3）分情况讨论：当直线位于点上方时，当直线位于点下方时，根据图象平移性质，结合函数图象即可求出答案.
20．（2025·广东模拟）综合与实践
【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为的矩形．
【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类A4矩形．
【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？
（1）【分析并解决问题】
学习小组利用一张A4纸ABCD对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示，其中．求证：四边形CDMN是类A4矩形；
（2）学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD，DE，再将其沿FG折叠，使得点与点重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形CDFG是类A4矩形；
（3）【拓展】
如图3，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分，点E，F，G，分别是边AB，BC，CD，DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点的对应点落在BD上，再沿FG，GH折叠，使得点C，D的对应点分别落在AC，BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出EF的值．
【答案】（1）解：折叠，
．
又四边形ABCD为矩形，
．
四边形CDMN为矩形．
，
四边形CDMN是类A4矩形．
（2）解：连接PE，设，则．
沿FG折叠使点与点重合，
．
又四边形ABCD为正方形，
，
，
四边形CDFG是矩形．
是等腰直角三角形，
折痕DE
由角平分线性质可得
又
．
四边形CDFG是类A4矩形．
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）设AC与BD相交于点O
∵四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上
∴EF∥AC
同理可得：FG∥BD，GH∥AC
∵AC⊥BD
∴四边形EFGH是类A4矩形
∴或
①当时，
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴
∵
∴
∵FG∥BD
∴△CFG∽△CBD
∴
∴
∴
∴BF=CF
∴
∴
②当时，
由①同理得△BEF∽△BAC
∴，即
∴
由①同理得△CFG∽△CBD
∴，即
∴
∴
∴CF=2BF
∴
∴
综上所述，EF的长为或
【分析】（1）根据折叠性质可得，再根据矩形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形CDMN为矩形，再根据类A4矩形定义即可求出答案.
（2）连接PE，设，则，根据折叠性质可得，再根据正方形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形CDFG是矩形，再根据等腰直角三角形性质可得，则，，根据折叠性质可得，再根据角平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据类A4矩形定义即可求出答案.
（3）AC与BD相交于点O，根据折叠性质可得EF∥AC，同理可得：FG∥BD，GH∥AC，再根据类A4矩形定义可得四边形EFGH是类A4矩形，则或，分情况讨论：①当时，，根据相似三角形判定定理可得△BEF∽△BAC，则，代值可得，再根据相似三角形判定定理可得△CFG∽△CBD，则，再根据边之间的关系可得，则BF=CF，即，即可求出答案；②当时，，由①同理得△BEF∽△BAC，则，即，可得，由①同理得△CFG∽△CBD，则，即，可得，即，化简可得CF=2BF，则，即，即可求出答案.
1 / 1广东省深圳龙华区2024-2025学年九年级下学期数学二模试卷
1．（2025·广东模拟）数学实验课上，同学们通过下列方式从一个几何体中得到平面图形，其中得到的平面图形是圆形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·广东模拟）2025年春节联欢晚会生动展现了重庆的巴渝风情、武汉的楚风汉韵、拉萨的雪域文化、无锡的江南水乡，为文旅带来了新热潮．小华决定从这四个城市中随机选一个作为暑假旅游目的地，假设小华选择四个城市的可能性相同，则选择拉萨的概率是
A．1 B． C． D．0
3．（2025·广东模拟）下列运算正确的是
A． B．
C． D．
4．（2025·广东模拟）如图，小华爸爸的微信零钱在某日只发生了两笔交易，那么他当天微信零钱的最终收支情况是
A．-10元 B．+10元 C．-5元 D．+5元
5．（2025·广东模拟）学习小组利用平面镜的反射原理，将室外光线引入光线不够充足的室内．如图，光线与平面镜AB成的角射入，经过平面镜AB，CD反射后进入室内．若，则的度数是
A． B． C． D．
6．（2025·广东模拟）钢琴调音时（将琴弦拧紧或放松，使其达到一定的音高），琴弦的振动频率是琴弦张力的反比例函数．已知当张力时，频率（即达到标准音高A3）．若要使频率升高到440Hz（即达到标准音高A4），应该如何调整张力？
A．增大至150N B．减小至150N C．增大至100N D．减小至100N
7．（2025·广东模拟）深圳作为“无人机之都”，率先构建低空经济全产业链生态．某外卖订单按照传统方式配送，其行程为5km，若采用无人机配送，其行程只需3km，且配送时间比传统方式快15min．已知无人机配送速度是传统方式配送速度的1.5倍，设传统方式配送速度为，则可列方程为
A． B．
C． D．
8．（2025·广东模拟）如图，在四个相同的正方形网格中，分别作一个顶点均在格点上的平行四边形ABCD，其中边CD上的高最小的是
A． B．
C． D．
9．（2025·广东模拟）当时，代数式的值为　 　．
10．（2025·广东模拟）若，则　 　．
11．（2025·广东模拟）立一表高八尺，影长六尺；今有一楼，影长四丈五尺．问楼高几何？（选自《海岛算经》）题目大意：直立一根8尺高的标杆，其影子长度为6尺；此时有一栋楼，影长4丈5尺（即45尺），这栋楼有多高？根据题意，可求得这栋楼高　 　尺．
12．（2025·广东模拟）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．船与两个灯塔的夹角为，若，则船位于安全区域时，的大小可能为　 　°．（写出一个即可）
13．（2025·广东模拟）如图，在菱形ABCD中，点是边CD的中点，点是BE的中点，AF的延长线交边BC于点，若，则的值为　 　．
14．（2025·广东模拟）
（1）计算：；
（2）化简：．
15．（2025·广东模拟）某学校计划购买甲、乙两种科技类科普读物作为科技节活动奖品，甲类科普读物的单价比乙类科普读物的单价高5元，若购买1本甲类科普读物，2本乙类科普读物共需80元．
（1）甲类和乙类科普读物单价分别是多少？
（2）该校计划共购进100本科普读物，总费用不超过2800元，甲类科普读物最多可以买多少本？
16．（2025·广东模拟）艺术测评主要是为掌握学生艺术素养发展状况，改进美育教学．某校根据义务教育阶段音乐、美术等学科的课程标准，在九年级随机抽取了若干位同学进行艺术测评与分析，下面是对九（1）班抽测到的10位同学的测评分值的数据分析过程：
【收集与整理】10位同学的测评分值分组统计如下：
分组方式 组别 测评分值
方式一 （按平均分相同分组） I组 80，85，85，90，100
II组 80，85，90，90，95
方式二 （按分数段分组） 甲组 80，80，85，85，85
乙组 90，90，90，95，100
【描述与分析】
10位同学测评分值的分布情况
分组数据统计量分析表
分组方式 组别 中位数 众数 方差 组内离差平方和
方式一 I组 85 46 360
II组 90 90 26
方式二 甲组 85 85 6 110
乙组 90 16
说明：组内离差平方和表达了各小组内数据的离散程度．它的值越小，说明这种分组方式中同组成员之间的水平越接近．
根据以上信息，解答下面问题：
（1）扇形统计图中“100分”对应的圆心角度数为 ▲ ；
（2） ▲ ， ▲ ．
（3）【判断与决策】为深入推进小组学习，促进同学间的互帮互助、共同进步，请你根据以上信息，选择一种利于开展小组学习的分组方式，并说明你这样选择的理由．
17．（2025·广东模拟）已知直线与相切于点．
（1）如图1，BE是的直径，延长BE与直线交于点，过点作，垂足为，交于点，连接BD．若，在不增加新的点的前提下，请提出一个问题： ▲ ，并进行解答或证明．（使用部分条件，且求解正解酌情给分；使用全部条件，且求解正确得满分）
（2）如图2，点是圆上一点，请用尺规在直线上求作一点，使得PQ与相切（不写作法，保留作图痕迹）．
18．（2025·广东模拟）根据以下信息，探索完成任务．
如何设计窗户限位器位置
信息1 问题背景 平开窗是生活中常见的一种窗户，安装平开窗需要一种滑撑支架，如图是这种平开窗的实物展示图．
信息2 数学抽象 把上述实物图抽象成如意图．已知滑撑支架的滑动轨道AB固定在窗框底边，EF固定在窗页底边，点，C，D三点固定在同一直线上．当窗户关闭时，点与点重合，DE和DB均落在AB上；当点向点滑动时，四边形OCDE始终为平行四边形，其中．
信息3 安全规范 窗户打开一定角度后，OC与AB形成一个角．出于安全考虑，部分公共场合的平开窗有开启角度限制要求：平开窗的开启角度应该控制在以内（即）．
问题解决
任务1 求解关键数量 滑撑支架中CD的长度为 ▲ cm，滑动轨道AB的长度是 ▲ cm.
任务2 确定安装方案 为符合安全规范要求，某公共场合的平开窗需在滑动轨道AB上安装一个限位器，控制平开窗的开启角度，当点滑动到点时，则限位器应装在离点多远的位置？（结果保留根号）
19．（2025·广东模拟）如图，已知二次函数的图象与轴交于点O，A．
（1）线段OA的长度为 ▲ ；
（2）将函数的图象沿轴正方向平移个单位得到函数的图象，平移后点O，A的对应点为B，C．当点在点的左边时，函数的图象交于点，若，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，过的图象顶点作轴的平行线，将直线向下平移，当直线与函数的图象有四个不同的交点时，假设这四个交点的横坐标从左往右依次为，请判断是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
20．（2025·广东模拟）综合与实践
【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为的矩形．
【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类A4矩形．
【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？
（1）【分析并解决问题】
学习小组利用一张A4纸ABCD对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示，其中．求证：四边形CDMN是类A4矩形；
（2）学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD，DE，再将其沿FG折叠，使得点与点重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形CDFG是类A4矩形；
（3）【拓展】
如图3，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分，点E，F，G，分别是边AB，BC，CD，DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点的对应点落在BD上，再沿FG，GH折叠，使得点C，D的对应点分别落在AC，BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出EF的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】截一个几何体；简单几何体的三视图；圆锥的特征；正投影
【解析】【解答】解：A是扇形，不符合题意；
B是正方形，不符合题意；
C是圆形，符合题意；
D是正方形，不符合题意
故答案为：C
【分析】根据圆锥的侧面展开图特征，几何体的三视图，球的截面特征，投影性质逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
选择拉萨的概率是
故答案为：C
【分析】根据简单事件的概率公式即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，正确，符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方，完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由题意可得：
15+(-5)=10
故答案为：B
【分析】根据有理数的加法即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
=40°
故答案为：D
【分析】根据光的反射规律，入射角等于反射角，结合直线平行性质即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：设f与T之间的函数关系式为
将T=200，f=220代入可得：k=200×220=44000
∴f与T之间的函数关系式为
当f=440时，得
解得：T=100
∴应该将张力减小至100N
故答案为：D
【分析】设f与T之间的函数关系式为，根据待定系数法将T=200，f=220代入关系可得f与T之间的函数关系式为，再将f=440代入解析式即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设传统方式配送速度为，
由题意可得：
故答案为：B
【分析】设传统方式配送速度为，根据题意建立方程即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：A：平行四边形面积为：
，则CD边上的高为
B：平行四边形面积为：
，则CD边上的高为
C：该平行四边形为正方形
，则CD边上的高为
D：平行四边形面积为：
，则CD边上的高为
故答案为：A
【分析】先求出平行四边形面积，再根据勾股定理求出CD长，再根据面积求出CD边上的高，比较大小即可求出答案.
9．【答案】5
【知识点】求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：当x=2时
=2×2+1=5
故答案为：5
【分析】将x=5代入代数式即可求出答案.
10．【答案】-1
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：∵
∵
∴mn=1×(-1)=-1
故答案为：-1
【分析】根据平方差公式将等号左边进行因式分解，根据对应系数相等可得m，n值，再代入代数式即可求出答案.
11．【答案】60
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：设楼高为 x 尺，
∴
解得：x=60
故答案为：60
【分析】设楼高为 x 尺，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】54
【知识点】三角形的外角性质；圆周角定理
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长AD交BE的延长线于点M，延长DF交BC于点G
∵CF⊥DF，点E是边BC的中点
∴EF=DE=EC
∵点F是BE的中点
∴DE=EC=EF=BF
令DE=EC=EF=BF=1
则DC=2，BE=2
∵四边形ABCD是菱形
∴AM∥BC
∴∠MDE=∠BCE
∵DE=EC，∠DEM=∠CEB
∴△CBE≌△DME
∴BC=MD=2，BE=ME=2
∵MD∥BG
∴△BFG∽△MFD
∴
∴
同理△HFG∽△AFD
∴
∴
∴
∴CH=GH
∴FH是Rt△CFG的中线
∴
∴
故答案为：
【分析】延长AD交BE的延长线于点M，延长DF交BC于点G，根据线段中点可得EF=DE=EC，DE=EC=EF=BF，令DE=EC=EF=BF=1，则DC=2，BE=2，根据菱形性质可得AM∥BC，则∠MDE=∠BCE，再根据全等三角形判定定理可得△CBE≌△DME，则BC=MD=2，BE=ME=2，再根据相似三角形判定定理可得△BFG∽△MFD，则，即，同理△HFG∽△AFD，则，即，根据边之间的关系可得CH，再根据直角三角形斜边上的中线可得FH，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】完全平方公式及运用；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据0指数幂，负整数指数幂。二次根式，特殊角的三角函数值化简，再化简即可求出答案.
（2）根据分式的运算法则，结合完全平方公式即可求出答案.
15．【答案】（1）解：设甲类科普读物的单价为元，则乙类科普读物的单价为元
依题意得
解得
则
答：甲类科普读物的单价为30元，乙类科普读物的单价为25元．
（2）解：设购进甲类科普读物本
依题意得30m+25(100-m)≤2800
解得m≤60
答：甲类科普读物最多可以买60本．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲类科普读物的单价为元，则乙类科普读物的单价为元，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2）设购进甲类科普读物本，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．【答案】（1）36
（2）85，90
（3）解：我会选择方式二进行分组。因为两种分组方式的中位数与众数都相同，但方式二的组内离差平方和更小，说明分组方式二下的同组成员之间的水平更接近，有利于开展同级别水平训练的理解和合作，促进同学间的互帮互助，共同进步。
【知识点】扇形统计图；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
“100分”对应的圆心角度数为
故答案为：36°
（2）方式一中，1组的中位数m=85
方式二中，乙组的众数n=90
故答案为：85；90
【分析】（1）根据360°乘以100的占比即可求出答案.
（2）根据中位数，众数的定义即可求出答案.
（3）根据各统计量的意义即可求出答案.
17．【答案】（1）提出问题：圆的半／直径是多少？
解：连接OD
直线与圆相切于点
根据勾股定理可得
又
设半径为
则，
解得
（2）解法一：连接OD，OP，作，交直线于点．
解法二：连接PD，作PD的中垂线交直线于点．
解法三：作射线OP，再作交直线于点．
【知识点】平行线的性质；切线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；尺规作图-过圆外一点作圆的切线
【解析】【分析】（1）连接OD，根据切线性质可得，再根据勾股定理可得AB，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设半径为，则，代入等式，解方程即可求出答案.
（2）根据切线的性质作图即可求出答案.
18．【答案】【任务1】8；41．
【任务2】解：过点作交AB于点，
依题意得，
四边形OCDE为平行四边形，
．
，
，
又，
根据勾股定理可得．
．
．
限位器应装在离点的位置．
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：任务1：∵四边形OCDE始终为平行四边形，OE=8
∴CD=OE=8
∵当窗户关闭时，点E与点A重合，DE和DB均落在AB上
∴AB=DE+DB=DE+CD+BC=41
故答案为：8；41
【分析】任务1：根据平行四边形及边之间的关系即可求出答案.
任务2：过点作交AB于点，依题意得，根据平行四边形性质可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，，根据勾股定理可得BH，再根据边之间的关系即可求出答案.
19．【答案】（1）4
（2）解：，当时，
解得
平移后函数为
解得
（3）解：存在，最大值为12．
当直线位于点上方时，
根据平移的性质可得．
，
，
．
．
当直线位于点下方时，
根据平移的性质可得．
．
综上．
所以存在最大值12．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）当y=0时，则
解得：x=0或x=4
∴A(0，4)
∴OA=4
故答案为：4
【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征令y=0，代入解析式可得点A坐标，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得，根据函数图象平移性质可得平移后函数为，联立两解析式，解方程组即可求出答案.
（3）分情况讨论：当直线位于点上方时，当直线位于点下方时，根据图象平移性质，结合函数图象即可求出答案.
20．【答案】（1）解：折叠，
．
又四边形ABCD为矩形，
．
四边形CDMN为矩形．
，
四边形CDMN是类A4矩形．
（2）解：连接PE，设，则．
沿FG折叠使点与点重合，
．
又四边形ABCD为正方形，
，
，
四边形CDFG是矩形．
是等腰直角三角形，
折痕DE
由角平分线性质可得
又
．
四边形CDFG是类A4矩形．
（3）或
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（3）设AC与BD相交于点O
∵四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上
∴EF∥AC
同理可得：FG∥BD，GH∥AC
∵AC⊥BD
∴四边形EFGH是类A4矩形
∴或
①当时，
∵EF∥AC
∴△BEF∽△BAC
∴
∵
∴
∵FG∥BD
∴△CFG∽△CBD
∴
∴
∴
∴BF=CF
∴
∴
②当时，
由①同理得△BEF∽△BAC
∴，即
∴
由①同理得△CFG∽△CBD
∴，即
∴
∴
∴CF=2BF
∴
∴
综上所述，EF的长为或
【分析】（1）根据折叠性质可得，再根据矩形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形CDMN为矩形，再根据类A4矩形定义即可求出答案.
（2）连接PE，设，则，根据折叠性质可得，再根据正方形性质可得，根据矩形判定定理可得四边形CDFG是矩形，再根据等腰直角三角形性质可得，则，，根据折叠性质可得，再根据角平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系可得，再根据类A4矩形定义即可求出答案.
（3）AC与BD相交于点O，根据折叠性质可得EF∥AC，同理可得：FG∥BD，GH∥AC，再根据类A4矩形定义可得四边形EFGH是类A4矩形，则或，分情况讨论：①当时，，根据相似三角形判定定理可得△BEF∽△BAC，则，代值可得，再根据相似三角形判定定理可得△CFG∽△CBD，则，再根据边之间的关系可得，则BF=CF，即，即可求出答案；②当时，，由①同理得△BEF∽△BAC，则，即，可得，由①同理得△CFG∽△CBD，则，即，可得，即，化简可得CF=2BF，则，即，即可求出答案.
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