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2024-2025 学年山东省青岛市青岛第九中学高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.若复数 满足 2 + = 1+i，则 =( )
A. 1+ 1 i B. 1 i C. 1 1 i D. 13 3 3 3+ i
2.已知 ， 是两条不同的直线， 为一个平面， ，则“ // ”是“ ， 无公共点”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.如图的平面直角坐标系 中，线段 长度为 2，且∠ = 60°，按“斜二测”画法水平放置的平面上
2
画出为 ′ ′，则 ′ ′ =( )
A. 4 B. 7 2 6 C. 7+2 64 4 D. 4 + 6
4.如图，已知直角梯形 ， // ， ⊥ ， = 2 = 2 = 2，点 是 中点，点 是线段
靠近 点的三等分点，则 =( )
A. 56 B.
7
6 C.
5 D. 44 3
5.已知圆台的上、下底面半径分别为 1 和 3，侧面展开图是半个圆环，则圆台的表面积为( )
A. 6π B. 16π C. 26π D. 32π
6 1.已知平面向量 , 满足 = = 1，且向量 在向量 上的投影向量为 2
，则 2 3 的值为( )
A. 2 5 B. 2 3 C. 7 D. 6
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7.筒车亦称为“水转筒车”，一种以流水为动力，取水灌田的工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有 1000
多年的历史.如图，假设在水流量稳定的情况下，一个半径为 3 米的筒车按逆时针方向做每 6 分钟转一圈的
匀速圆周运动，筒车的轴心 距离水面 的高度为 1.5 米，设筒车上的某个盛水筒 的初始位置为点 (水面
与筒车右侧的交点)，从此处开始计时，下列结论错误的是( )
A. π π分钟时，以射线 为始边， 为终边的角为3 6
B. π π 3分钟时，该盛水筒距水面距离为 sin 3 6 + 2米
C. 1 分钟时该盛水筒距水面距离与 3 分钟时该盛水筒距水面距离相等
D. 1 个小时内有 20 分钟该盛水筒距水面距离不小于 3 米
8.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带
有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为 1 斗，其形状可
近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的 2 倍，若该米斗中刚好装了半斗米(米
均匀分布在米斗中)，则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为( )
3
A. 9
3
2 1 B.
7
2 1 C.
2 3
3 1 D.
14
2 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 π.要得到函数 = sin 2 + 3 的图象，只要将函数 = sin 的图象( )
A. π每一点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移3个单位长度
B. 1 π每一点的横坐标缩短到原来的2 (纵坐标不变)，再将所得图象向左平移6个单位长度
C. π 1向左平移3个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的2 (纵坐标不变)
D. π 1向左平移6个单位长度，再将所得图象每一点的横坐标缩短到原来的2 (纵坐标不变)
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10.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 2， ， 分别是 ， 1的中点，点 是底面 内一动点，
则下列结论正确的为( )
A.不存在点 ，使得 //平面 1 1
B.过 ， ， 三点的平面截正方体所得截面图形是梯形
C.三棱锥 1 1 1 的体积为 4
D.三棱锥 的外接球表面积为 9π
11.窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图 1 是一个正八边形窗花，图 2 是从窗花
图中抽象出几何图形的示意图.已知正八边形 的边长为 2， 是正八边形 边上任意一
点，则下列说法正确的是( )
A.若函数 ( ) = ，则函数 ( )的最小值为 2 + 2
B. 的最大值为 12 + 8 2

C. 在 方向上的投影向量为 2
D. + = 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
→ → → → → → →
12.已知 1, 2是两个不共线的单位向量， = 1 2, = 2 1+ 2，若 与 共线，则 = ．
13.复平面上两个点 1， 2分别对应两个复数 1， 2，它们满足下列两个条件：① 2 = 1 3i；②两点 1，
2连线的中点对应的复数为 2i，若 为坐标原点，则 1 2的面积为 ．
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2
14.在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 的外接圆的半径为 1，且 cos + 2 cos = 1，
2 + 2 = 9sin2 ，则 的面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知向量 , 满足| | = 2, | | = 3．
(1)若 = 3，求向量 与 的夹角；
(2)若 + = 3.求 2 的值．
16.(本小题 15 分)
sin sin
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 1， = sin( + )， ≠ ．
(1)求 的外接圆半径；
(2)若 为锐角三角形，求 周长的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图，在 中， = , = 2 ，点 为 和 的交点，设 = , = ．
(1)若 = + ，求 , 的值；

(2)若 在 上， ⊥ ，且 = 2 = 10，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
如图已知四棱锥 ，底面 为梯形， /\ !/ ， = = = 2， = 3， 、 为侧棱
上的点，且 : : = 3: 2: 4，点 为 上的点，且 3 = ．
(1)求证： //平面 ；
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(2)求证：平面 //平面 ；
(3) 平面 与侧棱 相交于点 ，求 的值．
19.(本小题 17 分)
如图，某运动员从 市出发沿海岸一条笔直公路以每小时 15 的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在
市南偏东方向距 市 75 ，且与海岸距离为 45 的海上 处有一艘划艇与运动员同时出发，要追上这位运
动员．
(1)划艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？
(2)求划艇以最小速度行驶时的行驶方向与 所成的角．
(3)若划艇每小时最快行驶 11.25 ，划艇全速行驶，应沿何种路线行驶才能尽快追上这名运动员，最快需
多长时间？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
13.2 3
14.39 39256
2
15.解：(1)由| | = 2, | | = 3, = 3，得| | = 2 + 2 = 1， ( ) = 2 = 1，

因此 cos , = ( ) = 1，而 0 ≤ , ≤ π，则 , = π，
| || | 2 3
π
所以向量 与 的夹角为3．
2
(2)由| + | = 3，得 2 + + 2 = 9，则22 + ( 3)2 + 2 = 9，解得 = 1，
2 2
所以| 2 | = + 4 4 = 22 + 4 × ( 3)2 4 × 1 = 2 3．
2
16. sin sin 解：(1)由 = sin( + )
sin sin
可得 = sin( + ) = sin

= ，
故 2 + 2 = ，由于 = 1，故 2 + 2 2 =
2+ 2 2 1
由余弦定理得 cos = 2 = 2
π
由于 ∈ 0, π ，所以 = 3，
sin = 32 ，根据 2 =
3
sin 解得 = 3 ，
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所以 3的外接圆半径为 3 ．
(2)由(1)知， = π3， + =
2π π
3， ≠ 3，
1 2 3
由正弦定理有sin = sin = sin = 3 = 3 ，
2
所以 + = 2 3 sin + 2 33 3 sin =
2 3 2 3 π
3 sin + 3 sin 3 +
= 2 33 sin +
2 3 3 1
3 2 cos + 2 sin = 3sin + cos = 2sin +
π
6 ，
0 < < π2
因为 2π π π π π π为锐角三角形，所以 0 < 3 < 2，解得 ∈ 6 , 3 ∪ 3 , 2 ，
≠ π3
所以 + π6 ∈
π
3 ,
π
2 ∪
π 2π π
2 , 3 ，则 2sin + 6 ∈ 3, 2 ，
所以 3 < + < 2，则 1 + 3 < + + < 3．
所以 周长的取值范围为 1 + 3, 3 ．
17. 1解：(1)由题意，因为 = , = 2 ，所以 = , = 1 2 3 ．
设 = , = ，
= = + (1 ) = + 1 = + 1 则 ，即 2 2 ，
= ，即 = (1 ) + = (1 ) + 1 3 = (1 ) +
1
3 ，
1 1
所以 2
= 1 = 5
1 ，解得 3，所以 =
2
5 +
1
= = 5
，
3 5
2 1
所以 = 5 , = 5．
(2)由(1)可知， = 1 ,所以 = 4 = 4 = 4 1 = 4 2 = 4 25 5 5 5 2 5 5 5 5 ．
设 = ， 与 的夹角为 ，其中 ∈ 0, π ，
则 = + = + = +
= 4 25 5 +
= 25 +
4
5
，
而 = = ，
因为 ⊥ ，所以 = 2 4 5 + 5 = 0，
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2 2
即 5
2 + 4 5
+ 2 65
= 0，
因为 = 2 = 10 2，所以 2 4 2 65 × 10 + 5 × 5 + 2 5 × 10 × 5cos = 0，
cos = 25 12解得 20 12．
因为 ∈ 0, π ，所以 cos ∈ ( 1,1) 25 12 8，即 1 < 20 12 < 1，解得 0 < < 15．
8
所以 的取值范围是 0, 15 ．
18.解：(1)连接 ，
∵ = 2 = 在 中， 3 ， ，且 =
2
3 = 2，
又 /\ !/ ， = 2， 且 = ，
∴四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)由(1)得 ，又 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ，
在 中，∵ : : = 3: 2: 4， ，
又 平面 ， 平面 ，∴ //平面 ，
又因 ∩ = 且 , 均在平面 中，
∴平面 //平面 ．
(3)由(1)知 ，又 面 ， 面 ，∴ //平面 ，
又 平面 ，面 ∩面 = ，

，又 ， ，∴ = = 2．
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19.解：(1)设划艇以 / 的速度从 处出发，沿 方向， 后与运动员在 处相遇，
过 作 的垂线 ，则 = 45， = 60，
在 中， = 75， = 15 ， = ，
则 sin∠ = = 3 5，cos∠ =
4
5．
由余弦定理，得 2 = 2 + 2 2 · cos∠ ，
得 2 2 = (15 )2 + 752 2 × 75 × 15 × 45．
5625 1800 1 4
整理得： 2 = + 225 = 5625( )2 2 25 + 81．
1 4 25
当 2 = 25，即 = 4时， 取得最小值 81，即 min = 9( / )，
所以划艇至少以 9 / 的速度行驶才能把追上这位运动员．
(2)当 = 9 / 时，
在 = 75 = 15 × 25 = 375 = 9 × 25 = 225中， ， 4 4 ， 4 4 ，
2 2
2 2 2 752+ 225 375
由余弦定理，得 cos∠ = + 4 42 · = = 0，2×75×2254
所以∠ = 90°，
所以划艇以最小速度行驶时的行驶方向与 所成的角为 90°．
(3)划艇每小时最快行驶 11.25 全速行驶，
假设划艇沿着垂直于海岸的方向，即 方向行驶，而 = 45，
此时到海岸距离最短，需要的时间最少，
45
所以需要：11.25 = 4( )，而 4 时运动员向东跑了：15 × 4 = 60( )，
而 = 60，即 4 时，划艇和运动员相遇在点 ．
所以划艇应垂直于海岸向北的方向行驶才能尽快追上这名运动员，最快需要 4 ．
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