山东省济宁市曲阜夫子学校2024-2025学年高一(下)期中考试数学试卷(图片版,含答案)

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山东省济宁市曲阜夫子学校2024-2025学年高一(下)期中考试数学试卷(图片版,含答案)

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2024-2025 学年山东省济宁市曲阜夫子学校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若 3 + 4i = 5i,则 =( )
A. 4 3 i B. 3 4 i C. 4 + 3 3 45 5 5 5 5 5 i D. 5 + 5 i
2 1.在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , , = 3, = 60°,若 cos2 = 2,则 =( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 2
3 cos( + ) = 2.已知 3,cos( ) =
1
3,则 tan tan =( )
A. 3 B. 13 C.
1
4 D.
1
5
4.已知圆锥的母线长为 2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的底面半径为( )
A. 2 B. 1 C. 2 D. 3
5.如图,在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中, , 分别是棱 1, 1 1的中点,平面 1 与平
面 1 将该正方体截成三个多面体,其中 , 分别在棱 , 1上,则多面体 1 1的表面
积为( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 11 + 2 5
6.如图,矩形 中, = 2, = 2 3, 与 相交于点 ,过点 作 ⊥ ,垂足为 ,则
= ( ).
A. 3 B. 3 C. 6 D. 9
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7 ∈ π , 0 (1+sin )(1+cos ).已知 2 , (1 sin )(1 cos ) = 4 2 1,则 sin2 =( )
A. 1+4 28 B.
1+4 2 C. 1+4 216 16 D.
1 4 2
8
8.定义: × 为向量 与 的外积,且 × = sin ,其中 为向量 与向量 的夹角,已知在 中,
若 + = 6, + = 12,则 × 的最大值为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
二、多选题:本题共 3 小题,共 18 分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知复数 21, 2是关于 的方程 + 4 = 0 | | < 4, ∈ 的两根,则( )
A. 1 2 = 4 B. 1 = 2
C. 1 = 2 = 2 D. 1 + 2 = 1 + 2
10.在 中,内角 , , 所对的边分别为 , , , = 3, sin( + ) = cos 2,则( )
A. = π6 B. 外接圆的面积为π
C. 3 3面积的最大值为 4 D. 周长的最大值为 2 3
11.已知平面向量 = (2, 3), = (2,1),则( )
A. 2 ⊥ B. 与 可作为一组基底向量
C. 65 2 1与 夹角的余弦值为 D. 在 65 方向上的投影向量的坐标为 3 , 3
三、填空题:本题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分。
12 π 3 π π.sin 12 = 3 , ∈ 0, 2 ,则 cos + 6 = .
13.在三棱锥 中, = = = 3, , , 两两垂直,且该三棱锥外接球的表面积为 .
14.在锐角三角形 中,内角 , , 所对的边分别为 , , ,且 2 = 2 + ,若 cos( ) + cos
存在最大值,则实数 的取值范围是 .
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1 = + 2i

, 2 = 2 i,且 1 是纯虚数,其中 为实数, 是虚数单位.2
(1)求 的值;
(2)在复平面内, 为坐标原点,向量 , 对应的复数分别是 1 2, + (2 )i,若 = 5,求实数
的值.
16.(本小题 15 分)
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在直角梯形 中,已知 // ,∠ = 90°, = 2 = 2 = 2,点 是 边上的中点,点 是
边上一个动点.
(1)若 = 1 ,求 2 的值;
(2)求 的取值范围.
17.(本小题 15 分)
定义向量 = ( , )的“伴随函数”为 ( ) = sin + cos ,函数 ( ) = sin + cos 的“伴随向量”为
= ( , ).
(1)写出向量 = (1, 1)的伴随函数 ( ),并直接写出 ( )的最大值 ;
(2)求函数 ( ) = sin2 + 2sin cos 3cos2 2 2 2 2+ 1 的伴随向量
的模.
18.(本小题 17 分)
π
如图, 是圆台下底面圆的内接四边形, = = 4, 为底面圆周上一动点,∠ = 3, 为圆台
的母线, = 5,圆台上底面的半径为 1.
(1)求该圆台的表面积;
(2)求四棱锥 的体积的最大值.
19.(本小题 17 分)
已知村庄 在村庄 的东北方向,且村庄 、 之间的距离是 3 3 3 km,村庄 在村庄 的北偏西 75°方向,
且村庄 、 之间的距离是 6 ,先要在村庄 的北偏东 30°方向建立一个农贸市场 ,使农贸市场 到村庄
的距离是到村庄 的距离的 7倍.
(1)判断村庄 在村庄 的什么方向上?并说明理由.
(2)求农贸市场 到村庄 、 的距离之和.
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 3 66
13.9π
14. 12 , + ∞ .
15.(1)复数 1 = + 2i, = 2 i, ∈ ,
1 = +2i = 2 2+ +4则 2 i 5 5 i.
2 2
= 0
因为 1 是纯虚数,所以
5
+4 ,解得 = 1.
5 ≠ 0
(2)由(1)得 1 = 1 + 2i, 1 2 = 1+ 2i 2 i = 4 + 3i.
由题意得,点 , , 的坐标分别为(0,0),(4,3),( , 2 ),
所以 = (4,3), = ( , 2 ),因为 = = 5,
所以 (4 )2 + (1 + )2 = 5,解得 = 1 或 = 4.
16.(1)依题意, = 1 , = + = + 1 , = = 1 2 2 2 ,
而 是 边的中点, = 1 ,则 = + = 1 + 1 = 1 ( 2 2 2 2 ),
因此
2 2
= ( + 1 2 )
1 ( ) = 1 ( 1 + 1 2 2 2 2 ),又 = 2 = 2 = 2,
∠ = 90°,
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所以 = 12 × (
1
2 × 2
2 12 + 0) = 12.
(2)由(1)知:令 = = ,0 ≤ ≤ 1,则 = 2 =
1 2 ,
= + = + 1 = + 1 ( 1 ) = 1+2 2 2 2 4
12

则有 = ( 1 1+2 1 2 ) ( 4 2 ) = 4(
1 )( 2 +12 4 ) +
1
2 = (
1 2 1
4 ) 16,
当 = 1 4时,(
) 1min = ,当 = 1 时,( 16 )max =
1
2,
1 1
所以 的取值范围是[ 16 , 2 ].
17.(1)向量 = (1, 1)的伴随函数为 ( ) = sin cos ,
( ) = sin cos = 2sin π π π4 ,当 4 = 2 + 2 π, ∈ Z,

即 = 4 + 2 π, ∈ Z 时, ( )取得最大值,最大值 = 2;
1 cos 3+ 3cos
(2) ( ) = sin2 2 + 2sin2 cos2 3cos
2
2+ 1 = 2 + sin 2 + 1
= sin 2cos ,
故伴随向量 = (1, 2),故 = 1 + 4 = 5.
18.(1)
因为∠ = π ∠ = 2π3,所以 3 ,
在 中,由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 × × cos∠ = 48,
得 = 4 3,
4 3
由正弦定理可知外接圆直径 2 = sin∠ = 3 = 8,
2
所以下底面半径 = 4,上底面半径 = 1,
圆台侧面积 侧 = π( + ) = 25π,
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上 = π
2 = π
下 = π
2 = 16π,
所以圆台表面积 表 = 25π + π + 16π = 42π.
(2) = 1在四边形 中, 2 × × sin∠ = 4 3,
在 中,由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos∠ ,
得 2 = 2 + 2 ≥ ,
所以 ≤ 48,当且仅当 = = 4 3时“=”成立,
1
所以 的面积 = 2 sin∠ ≤ 12 3,
底面 面积的最大值为 16 3,
在轴截面直角梯形 1中,由勾股定理可得 = 52 (4 1)2 = 4,
1 64 3
所以四棱锥 的体积的最大值为3 = 3 .
19.(1)由题意可得 = 3 3 3, = 6,∠ = 75° + 45° = 120°,
在 中,由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ,
则 2
2
= 3 3 1 + 62 2 × 6 × 3 3 1 × 12 = 54,故 = 3 6,
即村庄 , 之间的距离为 3 6干米,

在 中,由正弦定理可得sin∠ = sin∠ ,
sin∠ = sin∠ 6× 3 2则 = 6 6 = 2 ,从而∠ = 45°,
故村庄 在村庄 的正西方向;
(2)因为农贸市场 在村庄 的北偏东 30°的方向,所以∠ = 120°.
在 中,由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ,
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2
因为 = 7 ,所以 7 2 = 3 6 + 2 + 3 6 ,
3 6
解得 = 2 或 6(舍去),则 =
3 42
2 ,
3 6 3 42
故 + = 2 + 2 ,
即农贸市场 到村庄 3 6 3 42的距离之和为 2 + 2 千米.
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