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2024-2025 学年山东省济宁市曲阜夫子学校高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 3 + 4i = 5i，则 =( )
A. 4 3 i B. 3 4 i C. 4 + 3 3 45 5 5 5 5 5 i D. 5 + 5 i
2 1.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 3， = 60°，若 cos2 = 2，则 =( )
A. 1 B. 3 C. 2 D. 2 2
3 cos( + ) = 2.已知 3，cos( ) =
1
3，则 tan tan =( )
A. 3 B. 13 C.
1
4 D.
1
5
4.已知圆锥的母线长为 2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径为( )
A. 2 B. 1 C. 2 D. 3
5.如图，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是棱 1， 1 1的中点，平面 1 与平
面 1 将该正方体截成三个多面体，其中 ， 分别在棱 ， 1上，则多面体 1 1的表面
积为( )
A. 14 B. 15 C. 16 D. 11 + 2 5
6.如图，矩形 中， = 2， = 2 3， 与 相交于点 ，过点 作 ⊥ ，垂足为 ，则
= ( )．
A. 3 B. 3 C. 6 D. 9
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7 ∈ π , 0 (1+sin )(1+cos ).已知 2 ， (1 sin )(1 cos ) = 4 2 1，则 sin2 =( )
A. 1+4 28 B.
1+4 2 C. 1+4 216 16 D.
1 4 2
8
8.定义： × 为向量 与 的外积，且 × = sin ，其中 为向量 与向量 的夹角，已知在 中，
若 + = 6， + = 12，则 × 的最大值为( )
A. 6 B. 8 C. 12 D. 24
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数 21， 2是关于 的方程 + 4 = 0 | | < 4, ∈ 的两根，则( )
A. 1 2 = 4 B. 1 = 2
C. 1 = 2 = 2 D. 1 + 2 = 1 + 2
10.在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = 3， sin( + ) = cos 2，则( )
A. = π6 B. 外接圆的面积为π
C. 3 3面积的最大值为 4 D. 周长的最大值为 2 3
11.已知平面向量 = (2, 3)， = (2,1)，则( )
A. 2 ⊥ B. 与 可作为一组基底向量
C. 65 2 1与 夹角的余弦值为 D. 在 65 方向上的投影向量的坐标为 3 , 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 π 3 π π.sin 12 = 3 , ∈ 0, 2 ，则 cos + 6 = ．
13.在三棱锥 中， = = = 3, , , 两两垂直，且该三棱锥外接球的表面积为 ．
14.在锐角三角形 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 2 = 2 + ，若 cos( ) + cos
存在最大值，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 1 = + 2i

， 2 = 2 i，且 1 是纯虚数，其中 为实数， 是虚数单位．2
(1)求 的值；
(2)在复平面内， 为坐标原点，向量 ， 对应的复数分别是 1 2， + (2 )i，若 = 5，求实数
的值．
16.(本小题 15 分)
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在直角梯形 中，已知 // ，∠ = 90°， = 2 = 2 = 2，点 是 边上的中点，点 是
边上一个动点．
(1)若 = 1 ，求 2 的值；
(2)求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
定义向量 = ( , )的“伴随函数”为 ( ) = sin + cos ，函数 ( ) = sin + cos 的“伴随向量”为
= ( , )．
(1)写出向量 = (1, 1)的伴随函数 ( )，并直接写出 ( )的最大值 ；
(2)求函数 ( ) = sin2 + 2sin cos 3cos2 2 2 2 2+ 1 的伴随向量
的模．
18.(本小题 17 分)
π
如图， 是圆台下底面圆的内接四边形， = = 4， 为底面圆周上一动点，∠ = 3， 为圆台
的母线， = 5，圆台上底面的半径为 1．
(1)求该圆台的表面积；
(2)求四棱锥 的体积的最大值．
19.(本小题 17 分)
已知村庄 在村庄 的东北方向，且村庄 、 之间的距离是 3 3 3 km，村庄 在村庄 的北偏西 75°方向，
且村庄 、 之间的距离是 6 ，先要在村庄 的北偏东 30°方向建立一个农贸市场 ，使农贸市场 到村庄
的距离是到村庄 的距离的 7倍．
(1)判断村庄 在村庄 的什么方向上？并说明理由．
(2)求农贸市场 到村庄 、 的距离之和．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2 3 66
13.9π
14. 12 , + ∞ ．
15.(1)复数 1 = + 2i， = 2 i， ∈ ，
1 = +2i = 2 2+ +4则 2 i 5 5 i．
2 2
= 0
因为 1 是纯虚数，所以
5
+4 ，解得 = 1．
5 ≠ 0
(2)由(1)得 1 = 1 + 2i， 1 2 = 1+ 2i 2 i = 4 + 3i．
由题意得，点 ， ， 的坐标分别为(0,0)，(4,3)，( , 2 )，
所以 = (4,3)， = ( , 2 )，因为 = = 5，
所以 (4 )2 + (1 + )2 = 5，解得 = 1 或 = 4．
16.(1)依题意， = 1 ， = + = + 1 ， = = 1 2 2 2 ，
而 是 边的中点， = 1 ，则 = + = 1 + 1 = 1 ( 2 2 2 2 )，
因此
2 2
= ( + 1 2 )
1 ( ) = 1 ( 1 + 1 2 2 2 2 )，又 = 2 = 2 = 2，
∠ = 90°，
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所以 = 12 × (
1
2 × 2
2 12 + 0) = 12．
(2)由(1)知：令 = = ，0 ≤ ≤ 1，则 = 2 =
1 2 ，
= + = + 1 = + 1 ( 1 ) = 1+2 2 2 2 4
12
，
则有 = ( 1 1+2 1 2 ) ( 4 2 ) = 4(
1 )( 2 +12 4 ) +
1
2 = (
1 2 1
4 ) 16，
当 = 1 4时，(
) 1min = ，当 = 1 时，( 16 )max =
1
2，
1 1
所以 的取值范围是[ 16 , 2 ]．
17.(1)向量 = (1, 1)的伴随函数为 ( ) = sin cos ，
( ) = sin cos = 2sin π π π4 ，当 4 = 2 + 2 π, ∈ Z，
3π
即 = 4 + 2 π, ∈ Z 时， ( )取得最大值，最大值 = 2；
1 cos 3+ 3cos
(2) ( ) = sin2 2 + 2sin2 cos2 3cos
2
2+ 1 = 2 + sin 2 + 1
= sin 2cos ，
故伴随向量 = (1, 2)，故 = 1 + 4 = 5．
18.(1)
因为∠ = π ∠ = 2π3，所以 3 ，
在 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 × × cos∠ = 48，
得 = 4 3，
4 3
由正弦定理可知外接圆直径 2 = sin∠ = 3 = 8，
2
所以下底面半径 = 4，上底面半径 = 1，
圆台侧面积 侧 = π( + ) = 25π，
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上 = π
2 = π
下 = π
2 = 16π，
所以圆台表面积 表 = 25π + π + 16π = 42π．
(2) = 1在四边形 中， 2 × × sin∠ = 4 3，
在 中，由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
得 2 = 2 + 2 ≥ ，
所以 ≤ 48，当且仅当 = = 4 3时“=”成立，
1
所以 的面积 = 2 sin∠ ≤ 12 3，
底面 面积的最大值为 16 3，
在轴截面直角梯形 1中，由勾股定理可得 = 52 (4 1)2 = 4，
1 64 3
所以四棱锥 的体积的最大值为3 = 3 ．
19.(1)由题意可得 = 3 3 3， = 6，∠ = 75° + 45° = 120°，
在 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
则 2
2
= 3 3 1 + 62 2 × 6 × 3 3 1 × 12 = 54，故 = 3 6，
即村庄 ， 之间的距离为 3 6干米，

在 中，由正弦定理可得sin∠ = sin∠ ，
sin∠ = sin∠ 6× 3 2则 = 6 6 = 2 ，从而∠ = 45°，
故村庄 在村庄 的正西方向；
(2)因为农贸市场 在村庄 的北偏东 30°的方向，所以∠ = 120°．
在 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
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2
因为 = 7 ，所以 7 2 = 3 6 + 2 + 3 6 ，
3 6
解得 = 2 或 6(舍去)，则 =
3 42
2 ，
3 6 3 42
故 + = 2 + 2 ，
即农贸市场 到村庄 3 6 3 42的距离之和为 2 + 2 千米．
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