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广东省广州市海珠区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·海珠期末）下列四个数中，属于无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．，是有理数，故该选项不符合题意；
B．是有理数，故该选项不符合题意；
C．是无理数，故该选项符合题意；
D．是有理数，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．（2024七下·海珠期末）下列选项中的图形，可以通过下图平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A．相对于所给图形的形状、大小都没有改变，但方向改变，不可以通过图1平移得到；
B．相对于所给图形的形状、大小都没有改变，但方向改变，不可以通过图1平移得到；
C．相对于所给图形的形状、大小都没有改变，但方向改变，不可以通过图1平移得到；
D．相对于所给图形的形状、大小、方向都没有改变，可以通过图1平移得到．
故答案为：D．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
3．（2024七下·海珠期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用第二象限点坐标的特征可得，从而得解.
4．（2024七下·海珠期末）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．对某校八年级（3）班同学身高情况的调查
B．了解江阴市的空气污染指数
C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
D．对我国初中学生视力状况的调查
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、对某校八年级（3）班同学身高情况的调查，人数较少，便于测量，应当采用全面调查，故选项符合题意；
B、了解江阴市的空气污染指数，由于范围较广，应当采用抽样调查，故选项不符合题意；
C、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，由于具有破坏性，应当采用抽样调查，故选项不符合题意；
D、对我国初中学生视力状况的调查，由于人数较多，应当采用抽样调查，故选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据全面调查与抽样调查的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024七下·海珠期末）已知是方程的一个解，那么a的值为（　　）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
6．（2024七下·海珠期末）如图，是的平分线，，若，则的度数为（　　）
A．17.5° B．35° C．55° D．70°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，故B正确．
故选：B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义即可求出答案.
7．（2024七下·海珠期末）如图，在数轴上表示的点可能是（　　）
A．P B．Q C．M D．N
【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴在数字4和5之间，
故答案为：D．
【分析】利用估算无理数大小的方法分析求出，从而得解.
8．（2024七下·海珠期末）已知实数a，b，且，则下列不等式中，一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．当时，不成立，故该选项不符合题意；
B．无法判断与的大小，故该选项不符合题意；
C．∵，∴，∴，正确，故该选项符合题意；
D．当是，，故原不等式不成立，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
9．（2024七下·海珠期末）我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两：若每人分九两，则还差八两”．若设共有名客人，两银子，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
10．（2024七下·海珠期末）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分③；④等于．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①② D．①②③④
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴平分；故②正确；
∵的余角比大，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
设，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误，
故答案为：A．
【分析】利用平行线的性质证出，从而可判断出①是否正确；再利用等量代换可证出，从而可得平分，再判断出②是否正确；再利用角的运算和等量代换求出，从而可判断出③是否正确；再结合，可得，再求出，从而可判断出④是否正确，从而得解.
11．（2024七下·海珠期末）已知点的坐标为，则点到轴距离为　 　．
【答案】1
【知识点】点的坐标；点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，
∴点到轴距离为，
故答案为：1．
【分析】利用点坐标的定义分析求出点P到y轴的距离即可.
12．（2024七下·海珠期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠BOD=，则∠CON的度数为　 　．
【答案】55°
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠BOD=，
∴∠AOC=∠BOD=，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠COM=∠AOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠CON=90°-∠COM=55°.
【分析】根据对顶角可得∠AOC=∠BOD=，再根据角平分线定义可得∠COM=∠AOC=35°，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．（2024七下·海珠期末）一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为　 　．
【答案】
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：一个正数的两个平方根分别是与，
∴，
解得：
故答案为：．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，即可求解．
14．（2024七下·海珠期末）已知AB∥x轴，A点的坐标为（3，2），并且AB＝5，则B的坐标为　 　.
【答案】（﹣2，2）或（8，2）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：已知AB∥x轴，点B的纵坐标与点A的纵坐标相同，都是2；
在直线AB上，过点A向左5单位得（﹣2，2），过点A向右5单位得（8，2）.
∴满足条件的点有两个：（﹣2，2），（8，2）.
故答案填：（﹣2，2）或（8，2）.
【分析】由AB∥x轴，AB=5，可知就是将点A向右或向左平移5个单位得到点B，利用左减右加，就可得到点B的坐标。
15．（2024七下·海珠期末）如图，将△沿方向平移个单位，得到，若四边形的周长是，则的周长为　 　．
【答案】10
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移可知，，，，
由四边形的周长是得，
，
所以，
即的周长为．
故答案为：．
【分析】利用图形平移的特征可得，，，再利用四边形的周长公式及等量代换求出，从而可得的周长为．
16．（2024七下·海珠期末）已知非负数，，满足，设．则的最大值与最小值的和为　 　．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设，
则，，，
，，均为非负实数，
，
解得：，
∴，
，
即．
的最大值是，最小值是，
的最大值与最小值的和为，
故答案为：．
【分析】利用设k法求出，，，再结合可得，再结合，求出，可得M的最大值是，最小值是，最后求解即可.
17．（2024七下·海珠期末）（1）计算：；
（2）求的值：．
【答案】解：（1）
（2）
∴，
∴或
【知识点】实数的绝对值；利用开平方求未知数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用二次根式、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用平方根的计算方法分析求解即可.
18．（2024七下·海珠期末）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）
由②①得：，
解得：，
把代入②可得出，
解得：，
∴方程组的解为：．
（2）
解①式得：，
解②式得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
19．（2024七下·海珠期末）如图，在平面直角坐标系中，A(-1，5)，B(-1，0)， C(-4，3)．
（1）若把三角形ABC向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到三角形，请画出平移后的图形并写出的坐标．
（2）求三角形ABC的面积；
【答案】（1）解 ：如图所示，即为所求，点的坐标为（1，1）．
．
（2）解：∵（－1，5），（－1，0），（－4，3）
∴，
∴。
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）首先根据平移的方向和单位长度分别作出A，B，C的对应点，然后顺次连接即可得出平移后的图形及点C'的坐标；
（2）根据点的坐标首先求得线段AB的长度，再根据点C的坐标得出边AB上的高，利用三角形面积公式求解即可。
20．（2024七下·海珠期末）羊城书香浓郁，某校为进一步提升学生阅读水平，组织学生参加阅读大赛．从中抽取部分学生阅读大赛的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据下列尚未完成的统计图表，解答问题．
组别 分数段 频数 百分比
一 50.5~60.5 16 8%
二 60.5~70.5 30 15%
三 70.5~80.5 50 25%
四 80.5~90.5 a 40%
五 90.5~100.5 24 12%
（1）本次抽样调查的样本容量为______，表中______，并补全频数分布直方图；
（2）若把各组的分数段所占的百分比绘制成扇形统计图，则第三组对应的扇形圆心角的度数是______；
（3）该校一共组织2000名学生参加阅读大赛，若抽取的样本具有较好的代表性，且成绩超过80分为优秀，请估计该校学生中阅读能力优秀的约有多少人？
【答案】（1）200，80，
补全直方图如下：
（2）90°
（3）解：2000×（40%+12%）=1040（人），
答：估计该校学生中阅读能力优秀的约有1040人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：样本容量为16÷0.08=200，则a=200×40%=80，（2）第三组对应的扇形圆心角的度数是360°×25%=90°，
故答案为：90°；
【分析】（1）由第一组的人数及其所占百分比可得样本容量，样本容量乘以第四组对应的频率即可求出a的值，据此即可补全图形；
（2）用360°乘以第三组对应频率即可；
（3）用总人数乘以样本中第四、五组的频率和即可．
21．（2024七下·海珠期末）已知：如图，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：
；
（2）解：由（1）得，
又
又
．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【分析】（1）由，根据平行线的判定与性质，得到，再由，得到，进而证得；
（2）由（1）知，得到，求得，根据，求得，证得，结合，即可得到答案.
（1）证明：
；
（2）解：由（1）得，
又
又
．
22．（2024七下·海珠期末）某中学计划购进甲，乙两种规格的书柜放置新购进的图书，计划购买甲、乙两种书柜共10个，已知甲种书柜单价为180元，乙种书柜单价240元．
（1）若购买这两种书柜的金额为2220元，求甲种书柜、乙种书柜各买多少个？
（2）若购买甲种书柜的金额不超过购买乙种书柜的总金额，求最多可购买多少个甲种书柜？
【答案】（1）解：设甲种书柜买x个，乙种书柜买y个，
根据题意有：，
解得：，
故甲种书柜买3个，乙种书柜买7个．
（2）解：设甲种书柜买a个，则乙种书柜买个，
由题意得：，
解得：，
∴最多可购买5个甲种书柜．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种书柜买x个，乙种书柜买y个，根据“ 计划购买甲、乙两种书柜共10个 ”和“ 购买这两种书柜的金额为2220元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设甲种书柜买a个，则乙种书柜买个，根据“ 购买甲种书柜的金额不超过购买乙种书柜的总金额 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设甲种书柜买x个，乙种书柜买y个，
根据题意有：，
解得：，
故甲种书柜买3个，乙种书柜买7个．
（2）设甲种书柜买a个，则乙种书柜买个，
由题意得：，
解得：，
∴最多可购买5个甲种书柜．
23．（2024七下·海珠期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，满足．
（1）若，求三角形的面积；
（2）若三角形的面积于，求的值．
【答案】（1）解：把代入，
可得：，
整理得，
由得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，，，
如图所示：
∴.
（2）解：，
由得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
把代入得，，
联立得，，
解得；
联立得，，
解得；
∴的值为或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将a=2代入方程组，再求出b、c的值，可得点A、B、C的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）先求出AB的长，再求出，可得，再求出或，最后分别列出方程组求解即可.
（1）解：把代入得，，
整理得，，
得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，，，
∴；
（2）解：，
得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
把代入得，，
联立得，，
解得；
联立得，，
解得；
∴的值为或．
24．（2024七下·海珠期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点在线段上运动（点不与、两点重合，题中所有的角均为大于且小于的角）
（1）直接写出点的坐标．
（2）射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使，求与之间的数量关系．
（3）连接，，平分，是的三等分线，且，请判断能否为定值？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）解：∵轴，轴，
∴，
∴四边形为长方形，
∴，
当点分别在线段上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即；
当点在的延长线上，点在线段上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在线段上，点在的延长上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
即；
综上，与之间的数 关系为：当点分别在线段上时，；当点在的延长线上，点在线段上时，；点在线段上，点在的延长上时，；
（3）解：能为定值，
理由如下：∵平分，是的三等分线，
∴，，
过点作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可得，
∴
，
，
，
∴当，即时，为定值．
【知识点】坐标与图形性质；角的运算；平行公理及推论；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵轴，轴，
∴点的坐标为，
故答案为：（6，8）.
【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、c的值，从而可得点B的坐标；
（2）分类讨论：①当点分别在线段上时，②当点在的延长线上，点在线段上时，③当点在线段上，点在的延长上时，再分别画出图形并利用角的运算和等量代换分析求解即可；
（3）过点作，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，从而可得，即时，为定值．
（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵轴，轴，
∴点的坐标为；
（2）解：∵轴，轴，
∴，
∴四边形为长方形，
∴，
当点分别在线段上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即；
当点在的延长线上，点在线段上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在线段上，点在的延长上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
即；
综上，与之间的数 关系为：当点分别在线段上时，；当点在的延长线上，点在线段上时，；点在线段上，点在的延长上时，；
（3）解：能为定值，理由如下：
∵平分，是的三等分线，
∴，，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可得，
∴
，
，
，
∴当，即时，为定值．
【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，四边形内角和，平行线的性质，角平分线和三等分线的定义，平行公理的推论，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
25．（2024七下·海珠期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”．
（1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号）
，，；
（2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值．
（3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）解：解方程组得，
∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，
∴是不等式组的解，
把代入不等式组，
可得，，
解不等式组得：，
∵为整数，
∴或.
（3）解：由方程得，，解不等式组得，
∵所有整数“梦想解”的和为，
∴，
解得，
又∵方程和关于的不等式组有“梦想解”，
∴，
解得，
∴的取值范围不存在．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：把代入不等式得，左边，
∴不是不等式的解；
把代入不等式得，左边，
∴不是不等式的解；
把代入不等式得，左边，
∴是不等式的解；
故答案为：.
【分析】（1）将x=-1分别代入每个不等式，再利用“梦想解”的定义逐项分析判断即可；
（2）先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再利用“梦想解”的定义列出不等式组求解即可；
（3）先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再利用“梦想解”的定义列出不等式组求解即可.
（1）解：把代入不等式得，左边，
∴不是不等式的解；
把代入不等式得，左边，
∴不是不等式的解；
把代入不等式得，左边，
∴是不等式的解；
故答案为：；
（2）解：解方程组得，
∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，
∴是不等式组的解，
把代入不等式组得，，
解不等式组得，
∵为整数，
∴或；
（3）解：由方程得，，
解不等式组得，
∵所有整数“梦想解”的和为，
∴，
解得，
又∵方程和关于的不等式组有“梦想解”，
∴，
解得，
∴的取值范围不存在．
1 / 1广东省广州市海珠区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·海珠期末）下列四个数中，属于无理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·海珠期末）下列选项中的图形，可以通过下图平移得到的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·海珠期末）在平面直角坐标系中，点在第二象限，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·海珠期末）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．对某校八年级（3）班同学身高情况的调查
B．了解江阴市的空气污染指数
C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命
D．对我国初中学生视力状况的调查
5．（2024七下·海珠期末）已知是方程的一个解，那么a的值为（　　）
A． B． C．1 D．3
6．（2024七下·海珠期末）如图，是的平分线，，若，则的度数为（　　）
A．17.5° B．35° C．55° D．70°
7．（2024七下·海珠期末）如图，在数轴上表示的点可能是（　　）
A．P B．Q C．M D．N
8．（2024七下·海珠期末）已知实数a，b，且，则下列不等式中，一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024七下·海珠期末）我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两：若每人分九两，则还差八两”．若设共有名客人，两银子，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024七下·海珠期末）如图，在线段的延长线上，，，，连交于，的余角比大，为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：①；②平分③；④等于．其中正确的结论是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①② D．①②③④
11．（2024七下·海珠期末）已知点的坐标为，则点到轴距离为　 　．
12．（2024七下·海珠期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠BOD=，则∠CON的度数为　 　．
13．（2024七下·海珠期末）一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为　 　．
14．（2024七下·海珠期末）已知AB∥x轴，A点的坐标为（3，2），并且AB＝5，则B的坐标为　 　.
15．（2024七下·海珠期末）如图，将△沿方向平移个单位，得到，若四边形的周长是，则的周长为　 　．
16．（2024七下·海珠期末）已知非负数，，满足，设．则的最大值与最小值的和为　 　．
17．（2024七下·海珠期末）（1）计算：；
（2）求的值：．
18．（2024七下·海珠期末）（1）解方程组：；
（2）解不等式组：．
19．（2024七下·海珠期末）如图，在平面直角坐标系中，A(-1，5)，B(-1，0)， C(-4，3)．
（1）若把三角形ABC向下平移2个单位，再向右平移5个单位得到三角形，请画出平移后的图形并写出的坐标．
（2）求三角形ABC的面积；
20．（2024七下·海珠期末）羊城书香浓郁，某校为进一步提升学生阅读水平，组织学生参加阅读大赛．从中抽取部分学生阅读大赛的成绩（得分取正整数，满分为100分）进行统计分析，请根据下列尚未完成的统计图表，解答问题．
组别 分数段 频数 百分比
一 50.5~60.5 16 8%
二 60.5~70.5 30 15%
三 70.5~80.5 50 25%
四 80.5~90.5 a 40%
五 90.5~100.5 24 12%
（1）本次抽样调查的样本容量为______，表中______，并补全频数分布直方图；
（2）若把各组的分数段所占的百分比绘制成扇形统计图，则第三组对应的扇形圆心角的度数是______；
（3）该校一共组织2000名学生参加阅读大赛，若抽取的样本具有较好的代表性，且成绩超过80分为优秀，请估计该校学生中阅读能力优秀的约有多少人？
21．（2024七下·海珠期末）已知：如图，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
22．（2024七下·海珠期末）某中学计划购进甲，乙两种规格的书柜放置新购进的图书，计划购买甲、乙两种书柜共10个，已知甲种书柜单价为180元，乙种书柜单价240元．
（1）若购买这两种书柜的金额为2220元，求甲种书柜、乙种书柜各买多少个？
（2）若购买甲种书柜的金额不超过购买乙种书柜的总金额，求最多可购买多少个甲种书柜？
23．（2024七下·海珠期末）在平面直角坐标系中，已知点，，，满足．
（1）若，求三角形的面积；
（2）若三角形的面积于，求的值．
24．（2024七下·海珠期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为，轴，垂足为，已知，，其中，满足关系式，点在线段上运动（点不与、两点重合，题中所有的角均为大于且小于的角）
（1）直接写出点的坐标．
（2）射线上一点，射线上一点（不与重合），连接，，使，求与之间的数量关系．
（3）连接，，平分，是的三等分线，且，请判断能否为定值？若能，请求出的值；若不能，请说明理由．
25．（2024七下·海珠期末）定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”．
例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”．
（1）是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号）
，，；
（2）若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值．
（3）若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．，是有理数，故该选项不符合题意；
B．是有理数，故该选项不符合题意；
C．是无理数，故该选项符合题意；
D．是有理数，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】D
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：A．相对于所给图形的形状、大小都没有改变，但方向改变，不可以通过图1平移得到；
B．相对于所给图形的形状、大小都没有改变，但方向改变，不可以通过图1平移得到；
C．相对于所给图形的形状、大小都没有改变，但方向改变，不可以通过图1平移得到；
D．相对于所给图形的形状、大小、方向都没有改变，可以通过图1平移得到．
故答案为：D．
【分析】利用平移的特征（平移是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动 ）逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用第二象限点坐标的特征可得，从而得解.
4．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、对某校八年级（3）班同学身高情况的调查，人数较少，便于测量，应当采用全面调查，故选项符合题意；
B、了解江阴市的空气污染指数，由于范围较广，应当采用抽样调查，故选项不符合题意；
C、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命，由于具有破坏性，应当采用抽样调查，故选项不符合题意；
D、对我国初中学生视力状况的调查，由于人数较多，应当采用抽样调查，故选项不符合题意；
故选：A．
【分析】根据全面调查与抽样调查的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵是的平分线，
∴，故B正确．
故选：B．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据角平分线定义即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】无理数在数轴上表示；无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴在数字4和5之间，
故答案为：D．
【分析】利用估算无理数大小的方法分析求出，从而得解.
8．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A．当时，不成立，故该选项不符合题意；
B．无法判断与的大小，故该选项不符合题意；
C．∵，∴，∴，正确，故该选项符合题意；
D．当是，，故原不等式不成立，故该选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
9．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
10．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∵，
∴，
∴平分；故②正确；
∵的余角比大，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
设，，
∴，
∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，故④错误，
故答案为：A．
【分析】利用平行线的性质证出，从而可判断出①是否正确；再利用等量代换可证出，从而可得平分，再判断出②是否正确；再利用角的运算和等量代换求出，从而可判断出③是否正确；再结合，可得，再求出，从而可判断出④是否正确，从而得解.
11．【答案】1
【知识点】点的坐标；点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵点的坐标为，
∴点到轴距离为，
故答案为：1．
【分析】利用点坐标的定义分析求出点P到y轴的距离即可.
12．【答案】55°
【知识点】角的运算；对顶角及其性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠BOD=，
∴∠AOC=∠BOD=，
∵射线OM平分∠AOC，
∴∠COM=∠AOC=35°，
∵ON⊥OM，
∴∠CON=90°-∠COM=55°.
【分析】根据对顶角可得∠AOC=∠BOD=，再根据角平分线定义可得∠COM=∠AOC=35°，再根据角之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平方根的性质
【解析】【解答】解：一个正数的两个平方根分别是与，
∴，
解得：
故答案为：．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，即可求解．
14．【答案】（﹣2，2）或（8，2）
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解：已知AB∥x轴，点B的纵坐标与点A的纵坐标相同，都是2；
在直线AB上，过点A向左5单位得（﹣2，2），过点A向右5单位得（8，2）.
∴满足条件的点有两个：（﹣2，2），（8，2）.
故答案填：（﹣2，2）或（8，2）.
【分析】由AB∥x轴，AB=5，可知就是将点A向右或向左平移5个单位得到点B，利用左减右加，就可得到点B的坐标。
15．【答案】10
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移可知，，，，
由四边形的周长是得，
，
所以，
即的周长为．
故答案为：．
【分析】利用图形平移的特征可得，，，再利用四边形的周长公式及等量代换求出，从而可得的周长为．
16．【答案】
【知识点】整式的加减运算；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：设，
则，，，
，，均为非负实数，
，
解得：，
∴，
，
即．
的最大值是，最小值是，
的最大值与最小值的和为，
故答案为：．
【分析】利用设k法求出，，，再结合可得，再结合，求出，可得M的最大值是，最小值是，最后求解即可.
17．【答案】解：（1）
（2）
∴，
∴或
【知识点】实数的绝对值；利用开平方求未知数；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先利用二次根式、立方根和绝对值的性质化简，再计算即可；
（2）利用平方根的计算方法分析求解即可.
18．【答案】解：（1）
由②①得：，
解得：，
把代入②可得出，
解得：，
∴方程组的解为：．
（2）
解①式得：，
解②式得：，
∴不等式组的解集为：．
【知识点】解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）利用加减消元法的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用一元一次不等式组的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求解即可.
19．【答案】（1）解 ：如图所示，即为所求，点的坐标为（1，1）．
．
（2）解：∵（－1，5），（－1，0），（－4，3）
∴，
∴。
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）首先根据平移的方向和单位长度分别作出A，B，C的对应点，然后顺次连接即可得出平移后的图形及点C'的坐标；
（2）根据点的坐标首先求得线段AB的长度，再根据点C的坐标得出边AB上的高，利用三角形面积公式求解即可。
20．【答案】（1）200，80，
补全直方图如下：
（2）90°
（3）解：2000×（40%+12%）=1040（人），
答：估计该校学生中阅读能力优秀的约有1040人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：样本容量为16÷0.08=200，则a=200×40%=80，（2）第三组对应的扇形圆心角的度数是360°×25%=90°，
故答案为：90°；
【分析】（1）由第一组的人数及其所占百分比可得样本容量，样本容量乘以第四组对应的频率即可求出a的值，据此即可补全图形；
（2）用360°乘以第三组对应频率即可；
（3）用总人数乘以样本中第四、五组的频率和即可．
21．【答案】（1）证明：
；
（2）解：由（1）得，
又
又
．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【分析】（1）由，根据平行线的判定与性质，得到，再由，得到，进而证得；
（2）由（1）知，得到，求得，根据，求得，证得，结合，即可得到答案.
（1）证明：
；
（2）解：由（1）得，
又
又
．
22．【答案】（1）解：设甲种书柜买x个，乙种书柜买y个，
根据题意有：，
解得：，
故甲种书柜买3个，乙种书柜买7个．
（2）解：设甲种书柜买a个，则乙种书柜买个，
由题意得：，
解得：，
∴最多可购买5个甲种书柜．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种书柜买x个，乙种书柜买y个，根据“ 计划购买甲、乙两种书柜共10个 ”和“ 购买这两种书柜的金额为2220元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设甲种书柜买a个，则乙种书柜买个，根据“ 购买甲种书柜的金额不超过购买乙种书柜的总金额 ”列出不等式，再求解即可.
（1）解：设甲种书柜买x个，乙种书柜买y个，
根据题意有：，
解得：，
故甲种书柜买3个，乙种书柜买7个．
（2）设甲种书柜买a个，则乙种书柜买个，
由题意得：，
解得：，
∴最多可购买5个甲种书柜．
23．【答案】（1）解：把代入，
可得：，
整理得，
由得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，，，
如图所示：
∴.
（2）解：，
由得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
把代入得，，
联立得，，
解得；
联立得，，
解得；
∴的值为或．
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）将a=2代入方程组，再求出b、c的值，可得点A、B、C的坐标，再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）先求出AB的长，再求出，可得，再求出或，最后分别列出方程组求解即可.
（1）解：把代入得，，
整理得，，
得，，
∴，
把代入得，，
∴，
∴，，，
∴；
（2）解：，
得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴或，
把代入得，，
联立得，，
解得；
联立得，，
解得；
∴的值为或．
24．【答案】（1）；
（2）解：∵轴，轴，
∴，
∴四边形为长方形，
∴，
当点分别在线段上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即；
当点在的延长线上，点在线段上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在线段上，点在的延长上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
即；
综上，与之间的数 关系为：当点分别在线段上时，；当点在的延长线上，点在线段上时，；点在线段上，点在的延长上时，；
（3）解：能为定值，
理由如下：∵平分，是的三等分线，
∴，，
过点作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可得，
∴
，
，
，
∴当，即时，为定值．
【知识点】坐标与图形性质；角的运算；平行公理及推论；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵轴，轴，
∴点的坐标为，
故答案为：（6，8）.
【分析】（1）先利用非负数之和为0的性质求出a、c的值，从而可得点B的坐标；
（2）分类讨论：①当点分别在线段上时，②当点在的延长线上，点在线段上时，③当点在线段上，点在的延长上时，再分别画出图形并利用角的运算和等量代换分析求解即可；
（3）过点作，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得，从而可得，即时，为定值．
（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∵轴，轴，
∴点的坐标为；
（2）解：∵轴，轴，
∴，
∴四边形为长方形，
∴，
当点分别在线段上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即；
当点在的延长线上，点在线段上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
当点在线段上，点在的延长上时，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∴，
即；
综上，与之间的数 关系为：当点分别在线段上时，；当点在的延长线上，点在线段上时，；点在线段上，点在的延长上时，；
（3）解：能为定值，理由如下：
∵平分，是的三等分线，
∴，，
过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
同理可得，
∴
，
，
，
∴当，即时，为定值．
【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形，四边形内角和，平行线的性质，角平分线和三等分线的定义，平行公理的推论，运用分类讨论思想解答是解题的关键．
25．【答案】（1）；
（2）解：解方程组得，
∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，
∴是不等式组的解，
把代入不等式组，
可得，，
解不等式组得：，
∵为整数，
∴或.
（3）解：由方程得，，解不等式组得，
∵所有整数“梦想解”的和为，
∴，
解得，
又∵方程和关于的不等式组有“梦想解”，
∴，
解得，
∴的取值范围不存在．
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：把代入不等式得，左边，
∴不是不等式的解；
把代入不等式得，左边，
∴不是不等式的解；
把代入不等式得，左边，
∴是不等式的解；
故答案为：.
【分析】（1）将x=-1分别代入每个不等式，再利用“梦想解”的定义逐项分析判断即可；
（2）先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再利用“梦想解”的定义列出不等式组求解即可；
（3）先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再利用“梦想解”的定义列出不等式组求解即可.
（1）解：把代入不等式得，左边，
∴不是不等式的解；
把代入不等式得，左边，
∴不是不等式的解；
把代入不等式得，左边，
∴是不等式的解；
故答案为：；
（2）解：解方程组得，
∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，
∴是不等式组的解，
把代入不等式组得，，
解不等式组得，
∵为整数，
∴或；
（3）解：由方程得，，
解不等式组得，
∵所有整数“梦想解”的和为，
∴，
解得，
又∵方程和关于的不等式组有“梦想解”，
∴，
解得，
∴的取值范围不存在．
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