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初三数学作业
2025.05
本试卷分试卷和答题卡两部分，所有答案一律写在答题卡上．考试时间为120分钟，满分为150分．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分. 在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑．）
1．下列四个实数中，最小的数是……………………………………………………………………………（ ▲ ）
A．－5 B．－ C．1 D．－π
2．函数y＝ EQ \F(x－3,)的自变量x的取值范围是……………………………………………………………… （ ▲ ）
A．x≠2 B．x＞2 C．x≥2 D．x＞2且x≠3
3．在体操比赛评分时，要去掉一个最高分和一个最低分，这样做的目的是…………………………… （ ▲ ）
A．使平均数不受极端值的影响 B．使众数不受极端值的影响
C．使中位数不受极端值的影响 D．使方差不受极端值的影响
4．cos30°＋的值等于……………………………………………………………………………………（ ▲ ）
A．1 B．2 C． EQ \F(＋1,2) D． EQ \F(2＋1,2)
5．下列命题中，是真命题的是……………………………………………………………………………（ ▲ ）
A．平分弦的直径垂直于弦 B．相等圆周角所对的弧相等
C．任意三个点确定一个圆 D．圆内接平行四边形必为矩形
6．“我市为处理污水，需要铺设一条长为4000米的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际
施工时每天比原计划多铺设10米，结果提前20天完成任务．”若设实际每天铺设管道的长度为x米，则根据题意可列出的方程为……………………………………………………………………………（ ▲ ）
A．－＝20 B．－＝20
C．－＝20 D．－＝20
7．某人沿着坡度为1∶的山坡前进了500m，则这个人所在的位置升高了…………………………（ ▲ ）
A．500m B．250m C．250m D． EQ \F(500,3) m
8．已知实数a，b满足a－b＝－1，－1＜a＋b＜0，则在下列判断中，正确的是……………………（ ▲ ）
A．0＜a＜ B．－1＜a＜－ C．1＜b＜ D．－2＜b＜－
9．我们知道，两个一次函数的图像有一个交点，交点坐标就是相对应的二元一次方程的解，反之我们还
可以通过图像法求得二元一次方程组的解．比如：一次函数y＝x＋1与反比例y＝的图象交点横坐标
可由方程x＋1＝求得，那么请你推断：方程m2＋2＝－中m的范围比较合理的是……………（ ▲ ）
A．－2＜m＜－1 B．－1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．1＜m＜2
10．如图，AB为⊙O的直径，AB＝2，C为的中点，连接OC，点D在射线AC上，连接BD，取BD的中点E，过E作EF⊥BD交OC于F，连接CE．下列结论：①DF⊥BF；②EC＝EF；③∠OFB＝∠ADB；④DC＋CF为定值2．其中正确结论的个数为…………………………………………（ ▲ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，其中第18题第1个空1分，第2个空2分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．因式分解：ax2－a＝ ▲ ．
12．“纳米技术”也称毫微技术，是研究结构尺寸在1纳米至100纳米范围内材料的性质和应用的一种技术.已知：1纳米＝10- 9米，则32.95纳米用科学记数法表示为 ▲ 米．
13．已知圆锥的侧面积为20π，底面半径为4，则圆锥的高是 ▲ ．
14．已知是二元一次方程ax＋by＝5的一个解，则a2＋4ab＋4b2的值是 ▲ ．
15．若一个多边形的内角和与外角和的比为7∶2，则这个多边形是 ▲ 边形．
16．如图，在平面直角坐标系中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，AC＝6，顶点A在x轴的正半轴上，AB⊥x 轴，若双曲线y＝（k≠0）交边AC于中点D，交边AB于点E．AE＝AB，则k值为 ▲ ．
17．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E为CD的中点，将△BCE沿BE翻折得到△BC'E，连接EC'
交AB于点F，则的值为 ▲ ．
18．定义：在平面直角坐标系中，点P在直线y＝2x－1上．我们约定点Q（n，m）是点P（m，n）的反对称点．
（1）若点P的反对称点为本身，则P点坐标为 ▲ ；
（2）若抛物线y＝2x2＋ax＋1上不存在点P的反对称点，则a的取值范围是 ▲ ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算过程）
19．（本题满分8分）先化简，再求值：(－1)÷，其中a＝－1．
20．（本题满分8分）解不等式组 eq \b\lc\{(\a\vs5\al(－5x＋2＜－3(x－2), x－1＜x＋))，并求它的正整数解．
21．（本题满分10分）如图，点E在□ABCD的对角线AC上，当AC平分∠BCD，且∠E＝∠ABC时．
求证：（1）四边形ABCD是菱形；
（2）△ACD∽△BAE．
22．（本题满分10分）2025无锡马拉松于3月23日下午圆满收官．这场主打在樱花盛开的季节奔跑在最美樱花赛道上的赛事，给予了参赛者“人在画中跑”的独特体验．本届赛事共设置A．马拉松，B．半程马拉松和C．欢乐跑三个项目．请解答下列问题：
（1）若甲随机选择一个项目参赛，则选择的是“欢乐跑”的概率为 ▲ ；
（2）甲、乙两人从这三个项目中各选择一个项目参赛，请用列表或画树状图的方法求甲、乙两人恰好选择同一项目的概率．
23．（本题满分10分）电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为420km．该汽车租赁公司有A，B、C三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：
【整理数据】
（1）小明共调查了 ▲ 辆A型纯电动汽车，并直接补全上述的条形统计图；
（2）在A型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“390km”对应的圆心角为 ▲ °；
【分析数据】
（3）由表填空：m＝ ▲ ，n＝ ▲ ；
型号 平均里程（km） 中位数（km） 众数（km）
A 400 400 410
B 432 m 440
C 453 450 n
【判断决策】
（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．
24．（本题满分10分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠BAC的平分线交BC于点D；作△ACD的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AC＝5，BC＝12，⊙O交AB于点E，求tan∠ECD的值．
（如需画草图，请使用图2）
25．（本题满分10分）如图，AC是⊙O的直径，点B在⊙O上，BD平分∠ABC交⊙O于点D，DE是⊙O的切线，交BC的延长线于点E．
（1）求证：DE//AC；
（2）若AB＝8，BC＝4，求BE的长．
26．（本题满分10分）某烘焙店销售一款蛋糕，经市场调查发现，这种蛋糕的的周销量y（个）是售价x（元/个）的一次函数．现已知售价，周销量，周销售利润的部分数据如下表所示：
售价（元/个） … 15 16 17 …
周销量（个） … 500 480 b …
周销售利润（元） … 2500 a c …
（1）a＝ ▲ ，b＝ ▲ ，c＝ ▲ ；
（2）当周销售利润最大，求蛋糕的售价；【周销售利润＝(售价－成本)×销售量】
（3）由于受俄乌危机，导致原材料的价格大幅上升，从下周开始，蛋糕成本价每个上涨m元（m＞0），
同时为了留住客源，蛋糕售价将不超过20元/件．若周销量与售价的函数关系不变，且下周总利润
最高为3200元，求m的值．
27．（本题满分10分）如图，矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且AE＝1，BF＝2．将矩
形沿直线EF翻折，使点A落在A' 处，点B落在B' 处．
（1）如图1，当点B' 恰好与点D重合时，
①求该矩形的面积；
②求证：点A'、E、B三点在同一条直线上；
（2）如图2，若AB＝3，当直线A'B'与线段CD有交点时，求边AD的取值范围．
28．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2＋4ax＋3的图象分别交x轴于A、B两点且AB＝2（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线l经过点（0，－2）且平行于x轴，P 为直线l上的动点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）过点P作平行于y轴的直线交抛物线于点D，点E与点D关于抛物线的对称轴对称，连接 PE、DE，
①若sin∠DEP＝ EQ \F(2,5)时，求点E的横坐标；
②是否存在某一位置的点 P，使得∠DPE最大？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（第10题） （第16题） （第17题）
折线统计图
B型纯电动汽车满电续航里程统计情况
A型纯电动汽车满电续航里程统计情况
扇形统计图
条形统计图
C型纯电动汽车满电续航里程统计情况
雷达图
（图1） （图2）
（图1）
（图2）
初三数学
初三数学 第8页（共8页）初三数学作业
参考答案及评分说明
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3分，共 30 分.）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B A B D C B B A C
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分，其中第 18 题第 1 个空 1 分，第 2 个空 2 分.）
11． a x 1 x 1 12．3.295×10-8 13．3 14．25
9 3 1 3 515．九 16． 17． 18．(1)( 1, 1 ) (2) a
2 8 2 2
三、解答题（本大题共 10 小题，共 96 分. 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算过程）
2a 1 a 2
19．原式= a 1 ………………………………………………………………………………（2分）a a
a 1 a

a a 1 2 ……………………………………………………………………………………（4分）
1
，……………………………………………………………………………………………（6分）
a 1
1 2
当 a 2 1时，原式 ．…………………………………………………………（8分）2 1 1 2
－5x＋2＜－3(x－2) ①
20．解： 2x－1 1 1＜ x＋
3 6 6 ②
解不等式①得，x 2 …………………………………………………………………………（2分）
7
解不等式②得，x …………………………………………………………………………（4分）
3
2 x 7∴不等式组的解集为： ………………………………………………………………（6分）
3
∴不等式组的正整数解为：1，2． ………………………………………………………………（8分）
初三数学参考答案 第 1 页 共 4 页
21.证明：（1）∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，∴∠DCA＝∠BAC，
又∵AC平分∠BCD， ∴∠BCA＝∠DCA＝∠BAC， ∴BC＝AB，
∴四边形 ABCD是菱形； ……………………………………………………………（5分）
(2)由（1）知∠DCA＝∠BAC，
∵四边形 ABCD是菱形， ∴∠ABC＝∠D，
又∵∠E＝∠ABC， ∴∠E＝∠D，∴△ACD∽△BAE．………………………………（10分）
22 1．解：（1） ………………………………………………………………………………………（3分）
3
（2）列表表示如下：
A B C
A (A,A) (A,B) (A,C)
B (B,A) (B,B) (B,C)
C (C,A) (C,B) (C,C)
……………………………………………………（7分）
∴共有 9种等可能结果，甲、乙两人恰好选择同一项目的情况有 3种， ……………（9分）
1
∴P(甲、乙两人恰好选择同一项目) = ． ………………………（10分）
3
23．解：（1）20； 补全条形统计图如下： …………（2分）
条形统计图
（2）72； ……………………………………………………………………………（4分）
（3）430，450； ……………………………………………………………………………（8分）
（4）预计总行程约为 420km，而 A型号的平均数、中位数和众数均低于 420，不符合要求；B、C
型号符合要求，但 B型号的租金比 C型号的租金优惠，所以选择 B型号的纯电动汽车较为合
适． ……………………………………………………………………………（10分）
初三数学参考答案 第 2 页 共 4 页
24.
D
（1）如图所示，AD及⊙O即为所求； ………………………………………………………………(5分)
（2）连接 DE，在 Rt△ACB中，由勾股定理可得 AB＝13，
∵AD为直径，∴∠DEA＝90°，即 DE⊥AB．
又∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD，可设 DE＝DC＝m，
∵S△ACB＝S△ACD＋S△ADB，
1
∴ BC×AC 1＝ ×AC×CD 1＋ AB×DE 1，即 ×12×5 1＝ ×5×m 1＋ ×13×m
2 2 2 2 2 2
m 10 10∴ ＝ ，即 CD＝ ．……………………………………………………………………………（7分）
3 3
︵ ︵
∵DE＝DE，∴∠ECD＝∠EAD＝∠CAD，
∵在 Rt△ACD中，tan CD 2∠DAC＝ ＝ ，
AC 3
∴tan∠ECD 2＝ ．…………………………………………………………………………………（10分）
3
25.（1）证明：连接 OD，
∵AC 是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°
∵BD平分∠ABC， ∴∠1＝45° ∴∠2＝2∠1＝90°
∵DE是⊙O的切线， ∴∠ODE＝90°
∴∠ODE+∠2＝180°
∴DE // AC ………………………………………………………………………………………（5分）
（2）过点 C作 CF DE于 F，
∵∠COD＝∠ODF＝∠CFD＝90° ， ∴四边形ODFC是矩形
在 Rt△ABC中，AB＝8, BC＝4, 由勾股得 AC＝4 5， ∴OD＝2 5
∴FC＝OD＝2 5 ，
∵DE // AC， ∴∠3=∠E， 又∵∠ABC＝∠CFE=90° ∴△CEF∽△ACB，
∴CE＝5
∴BE＝BC+CE＝9…………………………………………………………………………………（10分）
初三数学参考答案 第 3 页 共 4 页
26．（1） 2880，460，3220；………………………………………………………………………………（3分）
（2）由题意得：面包的进价为 10元/个，周销量与售价的函数表达式为：y＝－20x＋800；……（4分）
设周销售利润为 W（元），则 W＝(x－10)(－20x＋800)＝－20(x－25)2＋4500，……………（5分）
∴当 x＝25时， W有最大值 4500元，
答：当周销售量最大时，面包的售价为 25元；………………………………………………（6分）
（3）设周销售利润为 W（元），
则 W＝(x－10－m)(－20x＋800)＝－20x2＋(1000＋20m)x－800(10＋m)，……………………（8分）
x 25 1对称轴 ＝ ＋ m＞25，而由题意 x≤20，
2
∴当 x＝20时，W有最大值 400(10－m)＝3200，
∴m＝2 ．…………………………………………………………………………………………（10分）
27.（1）①由翻折可知：BF＝DF=2，A’E＝AE=1，∠BFE＝∠DFE，∠A’ ＝∠A＝90°
∵四边形 ABCD为矩形，∴AD // BC， ∴∠BFE＝∠DEF
∴∠DEF＝∠DFE，∴DE＝DF＝2，∴AD＝3 ，A’D＝ 3 ∴AB＝ 3
∴S 矩＝3 3 ………………………………………………………………………………（3分）
②连接 BE
由①知 AD // BC , DE＝BF＝2
∴四边形 BEDF为平行四边形
∴DF // BE， 又∵DF // A’ E，∴点 A’、E、B三点共线. ……………………（5分）
（2）当直线 A'B' 9过点 D时，AD＝ ……………………………………………………………（7分）
4
9
当直线 A'B'过点 C时，AD＝ ………………………………………………………………（9分）
2
9 9
∴ ≤ AD ≤ ……………………………………………………………………………（10分）
4 2
28.（1）y＝x2+4x+3…………………………………………………………………………………………（3分）
（2）E点横坐标为 -4- 3 或 -4+ 3 或 - 3 或 3 …………少一个扣一分，全错不得分（8分）
（3）P1 ( -1, 0 ), P2( -3, 0 ) …………………………………………………………………（10分）
初三数学参考答案 第 4 页 共 4 页

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