资源简介

合肥市第八中学2025届高三下学期最后一卷数学试卷
一、选择题
1．复数( )
A.8 B. C. D.
2．的展开式中的系数为( )
A.56 B. C.70 D.
3．记为等差数列的前n项和，已知，，则数列的公差为( )
A. B.1 C.2 D.3
4．已知这10个数据的平均数为，方差为1.98，则这11个数据的方差为( )
A.1.8 B.0.8 C.1.98 D.0.98
5．已知菱形的边长为2，，E，F分别是边，的中点，则( )
A. B. C. D.
6．放射性物质是指那些能自然地向外界辐射能量，发出射线的物质.在一个给定的单位时间内，放射性物质的质量会按某个衰减率衰减.一般是用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称为半衰期.考古学中常利用生物标本中的碳14元素稳定持续衰减的现象测定遗址的年代.已知碳14的半衰期为5730年.现在实验室测定某遗址内动物标本中碳14含量为正常大气中碳14含量的，则该遗址大约距今( )（）
A.1146年 B.1375年 C.1910年 D.2292年
7．已知函数的图象经过点和点，直线经过点，且直线l交线段于点D，记的周长为，的周长为，若，则( )
A.2 B.4 C. D.
8．椭圆，圆与椭圆E相交于，，，四点，圆与椭圆E相交于，，，四点.若矩形与矩形的面积相等，则( )
A.12 B.8 C.6 D.4
二、多项选择题
9．在三棱锥中，M，N分别为，的中点，且，，，则( )
A. B.平面
C.平面平面 D.直线与所成的角为
10．已知函数，其导函数为，则( )
A.函数的图象关于原点对称
B.函数在区间上单调递增
C.函数的最小正周期为
D.若，且，则
11．数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为，第二、三行中的最大数分别为，，第二、三行中的最小数分别为，，则( )
A.排列总数为720个 B.的概率为
C.满足的排列有120个 D.的概率为
三、填空题
12．已知集合，集合，若，则实数________.
13．树人中学举办校运动会，甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者被随机地分配到篮球、羽毛球、乒乓球三个不同的体育场馆服务，每个场馆至少有一名志愿者.已知有三位志愿者被分配到篮球馆服务，则甲没有被分配到篮球馆的概率为________.
14．高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，，.若，则实数a的取值范围是________.
四、解答题
15．已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数有两个极值点，，求实数m的取值范围，并证明.
16．已知圆心在y轴上移动的圆经过点，且与x轴、y轴分别交于，两个不同的动点.
（1）求动点的轨迹E的方程；
（2）直线l与曲线E交于P，Q两点，点，直线与的斜率分别为，，且，求证：直线l过定点.
17．在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，的平分线交于点D，，.
（1）证明：；
（2）求的最小值.
18．如图，已知两个正三棱锥与均内接于半径为3的球O.
（1）若
（i）证明：平面；
（ii）求点P到平面的距离；
（2）若二面角的余弦值为，，求直线与平面所成角的正弦值.
19．设，，对的一个排列，如果当时，有，则称是排列的一个逆序，排列的所有逆序的个数称为其逆序数.例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序，，则排列231的逆序数为2.
（1）求排列的逆序数（用n表示）；
（2）求的所有排列的逆序数之和（用n表示）；
（3）记为的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数，求的表达式（用n表示）.
参考公式：
参考答案
1．答案：C
解析：.
2．答案：B
解析：设的通项公式为，
令，解得，
所以展开式中的系数是.
3．答案：D
解析：设数列的公差为d，
则，，
解得，.
4．答案：A
解析：这10个数据的方差为，
则，这11个数据的平均数仍为，
方差为.
5．答案：A
解析：由E，F分别是边，的中点，
得，，
则，
所以.
6．答案：C
解析：不妨设动物标本中碳14含量初始值是1个单位，
则经过t年动物标本中碳14含量为，
令，则年.
7．答案：D
解析：由知的图象关于直线对称，故.
当时，单调递增；当时，单调递减.
设，，，
设直线与交点为M，
8．答案：B
解析：不妨设点，在第一象限，
由矩形与矩形的面积相等，
得，即，
又，在椭圆E上，
则，即，
解得，从而，
所以.
9．答案：AB
解析：如图所示，设的外接圆圆心为O，
由知平面，，且，
可得，面，则，故A正确；
易知，则平面，故B正确；
面，故C错误；
，所以直线与的夹角等于，
又，，，，故D错误.
10．答案：ACD
解析：函数的定义域为，
因为，
所以函数为奇函数，故A正确；
因为，当时，；当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
的最小正周期为，故C正确；
若且，则，又，，
则函数在上无零点，且，
使得，故，D正确.
11．答案：ABD
解析：1，2，3，4，5，6的任意排列方法总数为个，所以A正确；
从1，2，3，4中随机选出2个数放在第二行，其余任意排列，共有种不同的方法，则，所以B正确；
若，则，先从1，2，3，4，5中随机选出2个数放在第三行并排序，共有种不同的方法，再将剩下3个数中最大的数放第二行中的一个，并将剩余两个数进行排列，共有种不同的方法，
则满足的排列有个，所以C错误；
若，当时，则第三行为4，5，6，此时满足共有种不同的情况；
当时，则，第二行为1，2，此时满足共有种不同的情况.
所以，所以D正确.
故选：ABD.
12．答案：
解析：，即，若，则，不符合；
若，则，经检验符合题意.
13．答案：
解析：设“有三位志愿者被分配到篮球馆服务”为事件A，
“甲没有被分配到篮球馆”为事件B，
则，，.
14．答案：
解析：，所以，又，
则，
，
从而，解得.
15．答案：（1）；
（2），证明见解析
解析：（1）当时，，，
则，，所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2），.
当即时，恒成立，故此时无极值点.
当即时，令，得，.
由知，则当时，；
当时，；当时，，
故，是函数的两个极值点，从而实数m的取值范围是.
由，即，即，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，从而，所以.
16．答案：（1）；
（2）证明见解析
解析：（1）法一：中点，
由得，化简得，
又B，C不重合，因此，所以轨迹E的方程为.
法二：由已知，得线段是动圆的直径，故，
于是，又，，则，
又B，C不重合，因此，所以轨迹E的方程为.
（2）显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为，
，，联立得，
则，，，
，同理，
由，
得，即，
即直线l的方程为，因此直线l过定点.
17．答案：（1）证明见解析；
（2）
解析：（1）设，
在中，，在中，.
则，
在中，由正弦定理得，，
，故.
（2）在中，由正弦定理得，，则，
同理在中，，，
由（1），
则，
故，
当且仅当即，时等号成立.
所以的最小值为
18．答案：（1）（i）证明见解析；（ii）；
（2）
解析：（1）（i）如图所示，设的外接圆圆心为，
显然平面，平面，
则P，，Q三点共线，连接并延长交于点D，
连接，可得P，A，Q，D四点共面.
由，知，在直角中，，，
，，，
可得则，平面，则平面.
（ii）由（i）可得，P与A到平面的距离相等，
，，
故，，则面，
故点A到平面的距离为，
即点P到平面的距离为.
（2）由于，，则为二面角的平面角，
设，，设，，
则，，
则在中，，则，
由，故，
显然，，因为，则
如图，分别以，为x轴，z轴，在平面中作，
，，，，
则，，，
设平面的法向量，则即，
令，则，设与平面所成的角为，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
19．答案：（1）；
（2）；
（3）
解析：（1）排列的逆序数为.
（2）对于，考虑逆序，它在所有排列中出现的次数为，共有个，故1，2，…，n所有排列的逆序数之和为.
（3）对1，2，…，n进行排列，逆序数为0的排列只有一个：，所以；逆序数为1的排列只能是将排列中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以.
为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，
将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后三个位置.
因此.
又，从而当时，
.
同理为计算，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，
将添加进原排列，在新排列中的位置只能是最后四个位置.
因此
.
又，从而当时，
，
所以.

展开更多......

收起↑