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北京市第五十五中学2024-2025学年度第二学期
高一年级数学期中调研试卷
本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的项，把答案填涂在答题纸上）
1. （ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，，则实数（ ）
A. 2 B. C. D.
3. 在中角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，，则（ ）
A B. C. D.
4. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 3
5. 已知正方体棱长为2，则这个正方体外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
A. 若，，，则 B. 若，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
7. 已知向量，满足，，，则向量，的夹角为（ ）
A. B.
C. D.
8. 设，为两个不同的平面，为两条不同的直线，且，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 如图，中，点D是线段中点，E是线段的靠近A的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知正方形的边长为，，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分，把答案填写在答题纸上）
11. 已知，则______．
12. 在所有棱长均为2的正四棱锥中，顶点P到底面的距离为______．
13. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则使得有两组解的a的一个值可以为______．
14. 已知角的顶点在原点，始边在x轴非负半轴，终边与单位圆交于点，
（1）______；
（2）若将角终边绕原点逆时针旋转后与单位圆交于点Q，则点Q的横坐标为______．
15. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：
①平面截正方体所得的截面图形是五边形；
②直线到平面的距离是；
③存点，使得；
④面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是__________．
三、解答题（共6小题，共5分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）
16. 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调增区间；
（3）求函数在区间上的最大值和最小值．
17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，．
（1）求角A的值；
（2）求的值；
（3）若D是中点，求的长．
18. 如图，在正四棱柱中，，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求点A到平面的距离．
19. 函数部分图象如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）若，，求的值．
（3）将函数的图象先向右平移个单位再将所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，若关于x的方程在上有两个不等实根．求：实数m的取值范围和的值．
20. 在中，．
（1）求；
（2）若的面积为，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求a．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
21. 如图，在四棱锥中，平面平面，底面为正方形，点E，F分别为，的中点，设平面平面．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）若，，请判断平面与平面是否垂直？若垂直，请证明：若不垂直，说明理由．
B
B
A
C
C
D
C
D
A
A
2
8（任何一个值均可）
14. ①. ②.
15.①③④
16.(1)
所以的最小正周期为.
(2)由，
得，
所以函数的单调递增区间为.
(3)因为，
所以，
所以，
所以，
所以当，即时，取的最小值，
当，即时，取的最大值2.
17.(1)因为，所以，
所以，
根据正弦定理，即，
解得，
又因为，所以.
(2)
(3)
因为，，所以，
若D中点，则根据余弦定理得
，
所以.
18.（1）因为所以是平行四边形，所以
平面，且平面，所以平面；
（2）因为是正方形，所以得，
因为平面，平面，所以，
又平面，所以平面；
（3）设点A到平面的距离为，
因为，所以，
，
所以，
故点到平面的距离为；
19.（1）由函数的部分图象可知，，
所以，所以，
又，所以，解得，
由可得，
所以.
（2）因，则，
因，则，则，得，
则.
（3）将向右平移个单位得到，
再将所有点的横坐标缩短为原来的，得到，
由，得，又，
结合图象可知，若方程在上有两个不等实根，
则，则实数的取值范围为.
再根据图象的对称性可得，，
则，
则.
20.（1）在中，因为，
由余弦定理，得．
因为，所以．
（2）选择条件①：
因为，所以，．
由题意得，所以．
因为，，
所以
．
由正弦定理，得，
又，解得，所以．
选择条件②：
由题意得，所以．
因为，且，所以．
又，所以，
又，解得或．
选择条件③：不符合题意，因为中，，不可能．
21.（1）因为底面为正方形，
所以，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因平面，
所以.
（2）取的中点，连接，，
因为点分别为的中点，
所以，且，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
又因为平面，平面平面
所以.
（3）假设当平面平面时，
因为，平面平面，
所以平面，
又因为平面，
所以，三角形为以为斜边的直角三角形，
此时，与题干矛盾，
所以平面与平面不垂直.

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