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福建省福州第一中学2024-2025学年 八年级下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在实数范围内有意义，则的取值范围为（??）
A． B． C． D．
2．下列运算正确的是（????）
A． B． C． D．
3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且，则菱形ABCD的周长为（????）
A．6 B．8 C．12 D．16
4．对于一次函数，下列说法正确的是（????）
A．y随x的增大而增大
B．图象可由直线向下平移1个单位得到
C．点，都在直线1上，则
D．图象经过第二、三、四象限
5．如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（???）
A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等
6．古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷花镜里香．”如图，平静的水面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原位置，则水的深度为（???）
A． B． C． D．
7．某班有男生20人，女生18人．在一次测验中，男生的平均分为分，女生的平均分为分，那么这个班级全体学生这次测验的平均分为（???）
A．分 B．分 C．分 D．分
8．若一次函数的图象经过第一、二、四象限，则一次函数的图象可能为（???）
A． B．
C． D．
9．如图，在平直角坐标系中，平行四边形的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为，若直线将平行四边形分割成面积相等的两部分，则k的值是（　　）
A．1 B．3 C． D．无法确定
10．如图，矩形中，，，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿，向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则的最大值为（????）
??
A． B． C．2 D．1
二、填空题
11．如图，在直角三角形中，，则 ．
12．甲乙两名男同学练习投掷实心球，每人投了10次，平均成绩均为7.5米，方差分别为，，成绩比较稳定的是 ．（填“甲”或“乙”）
13．已知一个对角线长分别为和的菱形，顺次连接它的四边中点得到的四边形的面积是 ．
14．已知y与x+1成正比例，且x=1时，y=2.则x=-1时，y的值是 .
15．如图，在等腰中，，，分别是，的中点，连接，，，与相交于点．若，，则四边形的周长为 ．
16．如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，按此方法作下去，则点的坐标是 ．
??
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．下面是证明平行四边形判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的两种思路，选择其中一种，完成证明．
已知：如图，四边形中，，，求证：四边形是平行四边形．
思路一：条件中已有，只需证明即可．
证明：如图，连接．
思路二：条件中已有，只需证明即可．
证明：如图，连接．
19．如图所示，根据图中信息．
(1)求直线、的解析式及点的坐标；
(2)根据图象，直接写出时的取值范围；
(3)连接，求．
20．为弘扬航天精神，传播航天知识，某校举行了航天知识竞赛，从七、八年级参赛学生中各随机抽取10名，他们的成绩如下：
七、八年级抽取的学生成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
方差
七年级

93

八年级
92

100
43
八年级抽取的学生成绩扇形统计图
已知七年级10名学生的成绩是：96，86，96，86，99，96，90，100，90，81
若成绩得分用表示，八年级10名学生的成绩分成四组；；．其中 C组的数据是：．根据以上信息，解答下列问题．
(1)计算七年级10名学生成绩的平均数；
(2)直接写出的值，并对两个年级的成绩做出评价；
(3)若该校八年级共400人参加了此次航天知识竞赛，估计此次活动成绩优秀 的学生人数．
21．学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．列表如下：
...
...
...
...
(1)填空：表中_____、_____；
(2)在图中描点并画出该函数的图象；
(3)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当时，的值随的值增大而增大；
②当时，；
③该函数存在最小值，最小值为；
④该函数图象关于直线对称．
其中正确的是_____．（请写出所有正确命题的序号）
(4)当时，的取值范围是_____．
22．已知正方形ABCD，E，F为平面内两点．
（探究建模）
（1）如图1，当点E在边AB上时，，且B，C，F三点共线，求证：；
（类比应用）
（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，，，且E，C，F三点共线．猜想并证明线段AE，CE，DE之间的数量关系；
23．2025年哈尔滨市第九届亚洲冬季运动会的吉祥物是一对可爱的东北虎，它们的名字是滨滨和妮妮．某商场准备购进滨滨和妮妮两种毛绒玩具，每个滨滨比妮妮进价多65元，用28000元购进滨滨的数量与用15000元购进妮妮的数量相同，请解决下列问题：
(1)滨滨与妮妮每个进价各是多少元？
(2)若每个滨滨的售价为198元，每个妮妮的售价为100元，商场决定同时购进滨滨、妮妮500个，且全部售出，请求出所获利润（单位：元）与滨滨的数量（单位：个）的函数关系式，若商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，如何购买能获得最大利润？最大利润是多少元？
(3)在（2）的条件下，商场用获得的最大利润的全部用于福利院的慈善，其中购买文具花费255元，其余部分全部再次购进滨滨和妮妮送给福利院，请求出捐赠的滨滨和妮妮的个数．
24．阅读与理解：
我们曾做过“折纸与证明”的数学活动．折纸，即构造轴对称，常能为我们提供解决问题的思路和方法，例如，在中，（如图），怎样证明呢?分析：把沿的角平分线翻折，因为，所以点落在上的点处；即，据以上操作，易证明，所以，又因为，所以．
【感悟与应用】
（）如图（），在中，，，平分，试判断和之间的数量关系，并说明理由；
（）如图（），在四边形中，平分，，，，求的长．
【拓展提高】
（）如图（），在四边形中，，，，若，，，求四边形的边的长．
25．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形．
(1)求点的坐标；
(2)若为直线上一点，点横坐标为，面积为，求与的关系式；
(3)过点作轴，垂足为是直线上的动点，是直线上的动点．试探究能否是以为直角边的等腰直角三角形（不与重合）？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由．
福建省福州第一中学2024-2025学年 八年级下学期期中考试数学试题参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
D
C
B
C
D
A
A
D
1．B
【详解】解：二次根式中的被开方数是非负数，
，
，
故选：B．
2．D
【详解】A.，故A选项错误；
B.是不能合并的，故B选项错误；
C.是不能合并的，故C选项错误；
D.，故D选项正确．
故选：D．
3．D
【详解】四边形ABCD是菱形
E为AB的中点且
菱形ABCD的周长
故选：D．
4．C
【详解】解：A、，的值随值的增大而减小，原说法错误，不符合题意；
B、一次函数可由直线向上平移1个单位得到，原说法错误，不符合题意；
C、的值随值的增大而减小，，，则该说法正确，符合题意；
D、，，一次函数的图象经过第一、二、四象限，原说法错误，不符合题意；
故选：D ．
5．B
【详解】解：根据作法得到，
则两组对边分别相等，
那么，四边形为平行四边形，
故选：B．
6．C
【详解】解：根据题意，荷花的高，且水平距离为，
由勾股定理，，
，
．
故选：C．
7．D
【详解】解：由题意得：这个班的全体同学的平均分．
故选：D．
8．A
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，，
∴一次函数图象经过一、二、三象限．
故选：A．
9．A
【详解】解：连接，交于一点，
∵平行四边形的顶点A在x轴上，顶点B的坐标为，
∴即，
∵直线将平行四边形分割成面积相等的两部分，
∴过，
∴，解得，
故选A；
10．D
【详解】解：连接，交于点，取中点，连接，如图所示：
??
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴在中，，
∴，
∵，
，
在与中，
，
，
，，共线，
，是中点，
∴在中，，
的轨迹为以为圆心，为半径即为直径的圆弧．
∴的最大值为的长，即．
故选：D．
11．8
【详解】∵，
∴．
故答案为：8
12．乙
【详解】解：∵，，
∴＞，
∴成绩比较稳定的是乙；
故答案为：乙．
13．/48平方厘米
【详解】解：、、、分别为各边中点，
，，
，，
，
，
四边形是矩形，
，，
矩形的面积，
故答案为：．
14．0
【详解】解：∵y与x+1成正比例，
∴设y=k（x+1），
∵x=1时，y=2，
∴2=k×2，即k=1，
所以y=x+1．
则当x=-1时，y=-1+1=0．
故答案为0．
15．
【详解】解：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
，分别是，的中点，
，，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
同理：是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
四边形的周长．
故答案为：．
16．
【详解】解：分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，，如图所示：
??直线与轴的夹角为，点的坐标为，
，，
直线经过坐标原点，且与轴的夹角为，
，
，
，
，
，
直线，
，
，
，
在中，，，由勾股定理得：，
由三角形面积公式得：的面积，
，
在中，，，由勾股定理得：，
，
点的坐标为，
直线，直线，
，，，
，
由勾股定理得：，
直线，
在中，，则，
，
由勾股定理得：，
由三角形的面积公式得：的面积，
，
在中，，，由勾股定理得：，
，
点的坐标为，同理可得：点，点，，以此类推，点的坐标为，
当时，，，
点的坐标为，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．见解析
【详解】证明：思路一：
如图，连接．
∵,
∴.
又 ∵,
∴
∴,
∴.
又∵，
∴四边形是平行四边形．
思路二：如图，连接．
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形．
19．(1)直线的解析式，直线的解析式，
(2)
(3)
【详解】（1）解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式，
∵直线经过点，
∴，
∴，
∴直线的解析式，
由，解得，
∴；
（2）解：∵，
∴时的取值范围为；
（3）解：如图，设直线与轴的交点为，
把代入，得，
∴，
∴，
∴．
20．(1)92
(2)，，七年级的成绩比八年级的成绩稳定
(3)280人
【详解】（1）解：由题意得，；
（2）解：∵七年级成绩中得分为96的人数最多，
∴七年级成绩的众数为96，即；
把八年级成绩从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为92，94，
∴八年级成绩的中位数为，即；
由于七年级成绩的方差比八年级成绩的方差小，且两个年级的平均数和中位数相同，则七年级的成绩比八年级的成绩稳定；
（3）解：人，
∴估计此次活动成绩优秀 的学生人数为280人．
21．(1)，
(2)画图见解析
(3)①③
(4)
【详解】（1）解：当时，，
∴，
当时，，
∴，
故答案为：，；
（2）解：画函数图象如下：
（3）解：由函数图象知，当时，的值随的值增大而增大，故①正确；
当时，，
解得或，故②错误；
由函数图象可知，该函数存在最小值，最小值为，故③正确；
由函数图象可知，该函数图象不关于直线对称，故④错误；
∴正确的命题是①③，
故答案为：①③；
（4）解：由函数图象可得，当时，，
故答案为：．
22．（1）见解析；（2），证明见解析
【详解】（1）∵四边形ABCD是正方形
∴DA=DC，∠DAB=∠BCD=90゜
∴∠ADE+∠EDC=90゜
∵DE⊥DF
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90゜
∴∠ADE=∠CDF
∵B、C、F三点共线
∴∠DCF=∠DAB=90゜
在△DAE和△DCF中
∴△DAE≌△DCF
∴AE=CF
（2），证明如下：
∵四边形ABCD是正方形
∴DA=DC，∠DAB=∠BCD=90゜
∴∠ADE+∠EDC=90゜
∵DE⊥DF
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90゜，∠F+∠DEF=90゜
∴∠ADE=∠CDF
∵E、C、F三点共线，AE⊥EF
∴∠AED+∠DEF=90゜
∴∠AED=∠F
在△DAE和△DCF中
∴△DAE≌△DCF
∴AE=CF，DE=DF
∴△DEF是等腰直角三角形
由勾股定理得：
∵EF=CF+CE=AE+CE
∴
23．(1)每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元；
(2)，购买滨滨的数量为350个时利润最大，最大利润24050元
(3)捐赠的滨滨10个，妮妮10个
【详解】（1）解：设滨滨每个进价为每个m元，则妮妮每个进价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴（元），
答：每个滨滨的进价140元，每个妮妮的进价为75元；
（2）解：∵商场用不低于60000元且不高于60250元的资金购进滨滨与妮妮，
∴，
解得：，
根据题意得：，
∵33>0，
∴y随x的增大而增大，
∵x为整数，
∴时，y取最大值，
最大值为（元）；
答：购进滨滨的数量为350个时利润最大，最大利润24050元；
（3）解：设捐赠的滨滨a个，捐赠妮妮n个，
根据题意得：，
，
∵a、n都为非负整数，
∴，，
答：捐赠的滨滨10个，妮妮10个．
24．（），理由见解析；（）；（）
【详解】解：（），理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
在中，∵，
∴，
∴；
（）如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
过点作于，则，
设，则，
在和中，由勾股定理得，，
解得，
∴，
∴；
（）分别沿着和折叠得到，，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理得，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
25．(1)
(2)
(3)点坐标为或或
【详解】（1）解： 为等腰直角三角形，，
，
如图，过点作轴于点，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
故点的坐标为；
（2）解：如图，过点作于，
设直线的表达式为：，
把代入可得，
解得：，
直线的表达式为，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
，
如图，过点作轴于点，
①当点在射线上时，
，点的纵坐标为，
，
，
；
②当点在延长线上时，如图：
，点的纵坐标为，
，
，
；
综上：；
（3）解：设点的坐标为，点的坐标为，
以为直角边的是等腰直角三角形，分为两种情况：
①时，
如图．过点作轴的平行线交轴于点，交于点，

同（1）问可证得，
，，
，，
，
解得或，
当时，如图1，此时；
当时，如图2，此时，；
②当时，如图，过点、向轴分别作垂线，垂足为，，
同理可证得．
，，
，，，．
，
解得：或8，
当时，与重合，舍去，
当时，；
综上，点坐标为或或．

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