资源简介

第一节 随机抽样与统计图表
1.了解获取数据的基本途径.
2.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本,了解分层随机抽样.
3.能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表,体会使用统计图表的重要性.
教材再回首
1.总体、个体、样本
调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为　　　,组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为　　　,在抽样调查中,从总体中抽取的那部分个体称为　　　,样本中包含的个体数称为　　　　,简称样本量.
2.简单随机抽样
(1)简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样(除非特殊声明,本章所指的简单随机抽样是指不放回简单随机抽样).
(2)简单随机样本:通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(3)简单随机抽样的常用方法:　　　　和随机数法.
3.分层随机抽样
(1)定义
一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行　　　　抽样,再把所有子总体中抽取的样本　　　　作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.
(2)特点
①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体;②分成的各层互不重叠;③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例,即,其中n为样本容量,N为总体容量;④分层随机抽样使样本具有较强的代表性,而且在各层抽样时,又可灵活地选用不同的随机抽样方法.
4.统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等.
(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
求极差 即一组数据中最大值与最小值的差
决定组距 与组数 组数k=,若k∈Z,则组数为k,若k Z,则组数为不少于k的最小整数
将数据 分组 各组均为左闭右开区间,最后一组是闭区间
列频率 分布表 一般分四列:分组、频数累计、频数、频率,最后一行是合计,其中频数合计应是样本量,频率合计应是1
画频率 分布直 方图 在频率分布直方图中,纵轴表示,数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积来表示,各小长方形的面积的总和等于1
典题细发掘
1.(人A必修②P224T1改编)为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩,从中抽取了200名学生的成绩进行调查分析,在这个问题中,被抽取的200名学生成绩是 (　　)
A.总体 B.个体
C.样本 D.样本量
2.(北师大必修①P182T1改编)在某市初三年级举行的一次体育考试中(满分100分),所有考生成绩均在[50,100]内,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成五组,甲、乙两班考生的成绩占比如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.成绩在[70,80)内的考生中,甲班人数多于乙班人数
B.甲班成绩在[80,90)内人数最多
C.乙班成绩在[70,80)内人数最多
D.甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小
3.(苏教必修②P233T2改编)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,产品数量之比依次为2∶3∶5,现用分层随机抽样的方法抽出一个样本容量为80的样本,那么其中A种型号产品有　　　　件.
4.(人A必修②P198T1改编)如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图,则月均用水量为[2,2.5)范围内的居民数为　　　　.
题点一　简单随机抽样
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[例1]
(1)总体由编号01,02,…,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为 (　　)
第1行　78　16　62　32　08　02　62　42　62　52　53　69　97　28　01　98
第2行　32　04　92　34　49　35　82　00　36　23　48　69　69　38　74　81
A.19 B.25
C.26 D.27
(2)为了弘扬文化自信,某中学随机抽取了320个学生,调查其是否阅读过四大名著《三国演义》《西游记》《水浒传》及《红楼梦》.经统计,其中阅读过《三国演义》或《西游记》的有220人,阅读过《三国演义》的有180人,同时阅读过《三国演义》和《西游记》两本书的有120人.用样本估计总体,则该中学阅读过《西游记》的学生人数与该中学学生总人数之比的估计值为　　　　.
|思维建模|
(1)简单随机抽样需满足:被抽取的样本总体的个体数有限;逐个抽取;等可能抽取.
(2)简单随机抽样一般有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)和随机数法(适用于总体中个体数较多的情况).
[即时训练]
1.下列抽样方法中,属于简单随机抽样的是 (　　)
A.某社团为调查本校学生的环保知识水平,向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷,隔5分钟后回收
B.某次科普讲座之前,主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问
C.一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查
D.销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后,从中抽取5个工号牌
2.用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中,抽取一个样本量为2的样本,某一个个体a“第一次被抽到的概率”“第二次被抽到的概率”“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是　　　　、　　　　、　　　　.
题点二　分层随机抽样
　　　　　　 　　　　　　　　　　
[例2]
(1)(2025·南通模拟)某学校高二年级选择“物化生”,“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240,90和120.现采用分层随机抽样的方法选出30位同学进行一项调查研究,则“史地政”组合中选出的同学人数为 (　　)
A.8 B.12
C.16 D.6
(2)(2024·重庆三模)重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2 400人,除成渝外的西部地区2 000人,中部地区1 400人,东部地区1 800人,港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯,拟选取40人作样本调研,为保证调研结果的代表性,则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为 (　　)
A. B.
C. D.
|思维建模|　分层随机抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量,按该层所占总体的比例计算.
(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之求解;根据分层随机抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.
(3)分层随机抽样的计算应根据抽样比例构造方程求解,其中“抽样比例==”.
(4)分层随机抽样时,每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取 ni=n·(i=1,2,…,k)个个体(其中i是层数,n是抽取的样本容量,Ni是第i层中个体的个数,N是总体容量).
[即时训练]
3.[多选]某学校为了解学生视力健康状况,降低学生近视率,增强学生爱眼护眼意识,对三个年级的学生视力健康状况进行调研,已知高一、高二、高三的学生人数之比为4∶3∶3,现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 n的样本,样本中高一年级学生人数为200人,则 (　　)
A.该校三个年级总的学生数为5 000人
B.样本容量n为500
C.该校高二年级总的学生数有1 500人
D.样本中高二年级学生数为150人
4.(2025·上海开学考试)某校老年、中年和青年教师的人数如表所示,采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有32人,则该样本的老年教师人数为　　　　.
类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计
人数 36 72 64 172
题点三　统计图表
　　　　　　　　　　　　　　　　
考法(一)　折线图、条形图与扇形图
[例3]
(1)[多选]某中学组织三个年级的学生进行禁毒知识竞赛.经统计,得到成绩排在前200名学生分布的扇形图(图1)和其中的高一学生排名分布的频率条形图(图2).则下列命题正确的是 (　　)
A.成绩排在前200名的200人中,高二人数比高三人数多10
B.成绩排在第1~50名的50人中,高一人数比高二人数多
C.成绩排在第51~150名的100人中,高三人数占比可能超过
D.成绩排在第51~100名的50人中,高二人数肯定多于23
(2)(2025·盐城模拟)[多选]下面两图分别是2018年至2023年我国新能源汽车年产量和占比(占我国汽车年总产量的比例)情况,则下列说法正确的是 (　　)
A.2018~2023年我国新能源汽车年产量逐年增加
B.2018~2023年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆
C.2023年我国汽车年总产量超过2 700万辆
D.2020年我国汽车年总产量低于2019年我国汽车年总产量
|思维建模|　折线图、条形图、扇形图的关注点
(1)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据,因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.
(2)条形图的长度表示各类别频数的多少,宽度是固定的类别,与频率分布直方图不同.
(3)扇形图能清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.
考法(二)　频率分布直方图
[例4]　(2025·包头模拟)某公司为了解用户对其产品的满意度,从使用该产品的用户中随机调查了100个用户,根据用户对产品的满意度评分,得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.根据此频率分布直方图,下面结论不正确的是 (　　)
A.对该公司产品满意度评分低于60分的用户比例估计为35%
B.对该公司产品满意度评分不低于70分的用户比例估计为40%
C.估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值不超过60分
D.估计该公司有一半以上的用户,对产品的满意度评分介于50分至80分之间
|思维建模|　频率分布直方图的数据特点
(1)频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果,不要误以为纵轴上的数据是各组的频率,不要和条形图混淆.
(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1,这是解题的关键,常利用频率分布直方图估计总体分布.
[即时训练]
5.[多选]下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图,根据统计图,下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是 (　　)
A.超过的大学生更爱使用购物类APP
B.超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要
C.使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是23%
D.APP使用目的中6个占比数字的40%分位数是34.3%
6.[多选]某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况,抽出了一个容量为n的样本,其频率分布直方图如图,其中支出在[50,60]元的学生有60人,则下列说法正确的是 (　　)
A.样本中支出在[50,60]元的频率为0.03
B.采用分层随机抽样从这n人中抽出10人,则在[30,50)中共需抽出6人
C.n的值为200
D.该校学生一周生活方面支出的中位数大约是44元
　第一节　随机抽样与统计图表
课前·“四基”落实
[教材再回首]
1.总体　个体　样本　样本容量
2.(3)抽签法
3.(1)简单随机　合在一起
[典题细发掘]
1.选C　由题意可得200名学生成绩是样本.
2.选B　由题图知,每一组中的成绩占比都是以各自班级的总人数为基数的,所以每一组中的甲班、乙班人数不能从所占的百分比来判断,故A错误;由题图可知甲班成绩主要集中在[80,90)内,乙班成绩主要集中在[60,70)内,故B正确,C错误;由题图可知甲班成绩的极差和乙班成绩的极差的大小无法确定,故D错误.
3.解析:因为A,B,C三种不同型号的产品的数量之比依次为2∶3∶5,所以样本中A种型号产品有80×=16件.
答案:16
4.解析:由频率分布直方图可知,月均用水量为[2,2.5)范围内的居民所占频率为0.5×0.5=0.25,所以月均用水量为[2,2.5)范围内的居民数为100×0.25=25.
答案:25
课堂·题点精研
题点一
[例1]　(1)B　(2)
(1)由随机数法可知,样本的前5个个体的编号分别为23,20,26,24,25,因此,选出的第5个个体的编号为25.
(2)由题意,知该学校仅阅读过《三国演义》的有180-120=60人,所以阅读过《西游记》的人数为220-60=160人,则该中学阅读过《西游记》的学生人数与该中学学生总人数之比的估计值为=.
[即时训练]
1.选D　对于A,人数较多,且图书馆的学生不能代表本校全体学生,故A错误;对于B,按照相同间隔抽取的方法,是系统抽样,不是简单随机抽样,故B错误;对于C,抽取的产品不具有代表性,故C错误;对于D,符合简单随机抽样的定义,故D项正确.
2.解析:从6个个体中抽1个个体,每个个体被抽到的概率均为,与抽取的次数无关,第二次被抽到的概率仍为.但由于在整个抽样过程中是从6个个体中抽2个样本,故个体a被抽到的概率为.
答案:　　
易错提醒:不理解简单随机抽样中每个个体入样是等可能的,即简单随机抽样中每个个体被抽到的机会一样,与先后无关.
题点二
[例2]　(1)A　(2)C
(1)由题意,可知30×=8,故“史地政”组合中选出的同学人数为8.
(2)为保证调研结果的代表性,设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取n人,则=,解得n=12,即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为.
[即时训练]
3.选BD　设样本中高二、高三的学生人数分别为a,b,则200∶a∶b=4∶3∶3,则a=b=150,所以样本容量n=200+150+150=500,故B、D正确;无法确定该校三个年级总的学生数和该校高二年级总的学生数,故A、C错误.
4.解析:在抽取的样本中,青年教师有32人,而抽样的比例为=,设该样本的老年教师人数为x,则有=,∴x=18.
答案:18
题点三
[例3]　(1)AC　(2)BCD
(1)成绩排在前200名的200人中,高二人数比高三人数多200×(30%-25%)=10,故A正确;成绩排在第 1~50名的50人中,高一人数为200×45%×20%=18,高二和高三的总人数为50-18=32,高二的具体人数不知道,故B错误;成绩排在第51~150名的100人中,高一人数为200×45%×(0.3+0.4)=63,高二和高三的总人数为100-63=37,所以高三人数占比有可能超过,故C正确;成绩排在第51~100名的50人中,高一学生人数为200×45%×0.3=27,高二人数最多有50-27=23,故D错误.
(2)题图1中2020年我国新能源汽车年产量低于2019年我国新能源汽车年产量,故A错误;极差为705.8-79.4=626.4(万辆),故B正确;2023年我国汽车年总产量为705.8÷25.6%≈2 757(万辆),故C正确;2020年我国汽车年总产量为124.2÷4.8%≈2 588(万辆),2019年我国汽车年总产量为127÷4.5%≈2 822(万辆),2 588<2 822,故D正确.
[例4]　选C　对该公司产品满意度评分低于60分的用户比例估计为(0.015+0.020)×10×100%=35%,故A正确;对该公司产品满意度评分不低于70分的用户比例估计为(0.020+0.010+0.010)×10×100%=40%,故B正确;估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值为=45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.2+85×0.1+95×0.1=67>60,故C错误;对产品的满意度评分介于50分至80分之间的用户比例为(0.020+0.025+0.020)×10×100%=65%,估计该公司有一半以上的用户,对产品的满意度评分介于50分至80分之间,故D正确.故选C.
[即时训练]
5.选AC　根据题图知,大学生使用购物类APP占比为25.7%,所以A正确;根据题图知,大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为34.3%+14.0%=48.3%,所以B错误;根据题图知,使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是25.7%-2.7%=23%,所以C正确;根据题图知,APP使用目的中6个占比数字从小排到大分别为0.6%,8.4%,14.0%,16.3%,26.4%,34.3%,又6×40%=2.4,所以40%分位数是14.0%,故D错误.
6.选BCD　样本中支出在[50,60]元的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×10=0.3,故A错误;样本中支出在[30,50)的频率为(0.024+0.036)×10=0.6,所以采用分层随机抽样从这n人中抽出10人,则在[30,50)中共需抽出的人数为10×0.6=6,故B正确;n==200,故C正确;前两个矩形的面积之和为(0.01+0.024)×10=0.34,前三个矩形的面积之和为0.34+0.036×10=0.7,设样本中支出的中位数为x,则40第九章
统　计
第一节
随机抽样与统计图表
明确目标
1.了解获取数据的基本途径.
2.会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样.
3.能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性.
目录
01.课前·“四基”落实
02.课堂·题点精研
03.课时跟踪检测
课前·“四基”落实
01
教材再回首
1.总体、个体、样本
调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为_____，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应指标)称为_____，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为_____，样本中包含的个体数称为__________，简称样本量.
总体
个体
样本
样本容量
2.简单随机抽样
(1)简单随机抽样分为放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样(除非特殊声明，本章所指的简单随机抽样是指不放回简单随机抽样).
(2)简单随机样本：通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
(3)简单随机抽样的常用方法：_________和随机数法.
抽签法
3.分层随机抽样
(1)定义
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行__________抽样，再把所有子总体中抽取的样本__________作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
简单随机
合在一起
(2)特点
①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体；②分成的各层互不重叠；③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量；④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法.
4.统计图表
(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图、频率分布直方图等.
(2)频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义
求极差 即一组数据中最大值与最小值的差
决定组距与组数 组数k=，若k∈Z，则组数为k，若k Z，则组数为不少于k的最小整数
将数据分组 各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间
列频率分布表 一般分四列：分组、频数累计、频数、频率，最后一行是合计，其中频数合计应是样本量，频率合计应是1
画频率分布直方图 在频率分布直方图中，纵轴表示，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积来表示，各小长方形的面积的总和等于1
典题细发掘
1.(人A必修②P224T1改编)为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行调查分析，在这个问题中，被抽取的200名学生成绩是 (　　)
A.总体 B.个体
C.样本 D.样本量
解析：由题意可得200名学生成绩是样本.
√
2.(北师大必修①P182T1改编)在某市初三年级举行的一次体育考试中(满分100分)，所有考生成绩均在[50，100]内，按照[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]分成五组，甲、乙两班考生的成绩占比如图所示，则下列说法正确的是 (　　)
A.成绩在[70，80)内的考生中，甲班人数多于乙班人数
B.甲班成绩在[80，90)内人数最多
C.乙班成绩在[70，80)内人数最多
D.甲班成绩的极差比乙班成绩的极差小
解析：由题图知，每一组中的成绩占比都是以各自班级的总人数为基数的，所以每一组中的甲班、乙班人数不能从所占的百分比来判断，故A错误；由题图可知甲班成绩主要集中在[80，90)内，乙班成绩主要集中在[60，70)内，故B正确，C错误；由题图可知甲班成绩的极差和乙班成绩的极差的大小无法确定，故D错误.
√
3.(苏教必修②P233T2改编)某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5，现用分层随机抽样的方法抽出一个样本容量为80的样本，那么其中A种型号产品有______件.
解析：因为A，B，C三种不同型号的产品的数量之比依次为2∶3∶5，所以样本中A种型号产品有80×=16件.
16
4.(人A必修②P198T1改编)如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为[2，2.5)范围内的居民数为_____.
25
解析：由频率分布直方图可知，月均用水量为[2，2.5)范围内的居民所占频率为0.5×0.5=0.25，所以月均用水量为[2，2.5)范围内的居民数为100×0.25=25.
课堂·题点精研
02
[例1]
(1)总体由编号01，02，…，29，30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)
第1行　78　16　62　32　08　02　62　42　62　52　53　69　97　28　01　98
第2行　32　04　92　34　49　35　82　00　36　23　48　69　69　38　74　81
题点一　简单随机抽样
A.19 B.25
C.26 D.27
解析：由随机数法可知，样本的前5个个体的编号分别为23，20，26，24，25，因此，选出的第5个个体的编号为25.
√
(2)为了弘扬文化自信，某中学随机抽取了320个学生，调查其是否阅读过四大名著《三国演义》《西游记》《水浒传》及《红楼梦》.经统计，其中阅读过《三国演义》或《西游记》的有220人，阅读过《三国演义》的有180人，同时阅读过《三国演义》和《西游记》两本书的有120人.用样本估计总体，则该中学阅读过《西游记》的学生人数与该中学学生总人数之比的估计值为_______.
解析：由题意，知该学校仅阅读过《三国演义》的有180-120=60人，
所以阅读过《西游记》的人数为220-60=160人，则该中学阅读过《西游记》的学生人数与该中学学生总人数之比的估计值为=.
(1)简单随机抽样需满足：被抽取的样本总体的个体数有限；逐个抽取；等可能抽取.
(2)简单随机抽样一般有抽签法(适用于总体中个体数较少的情况)和随机数法(适用于总体中个体数较多的情况).
思维建模
1.下列抽样方法中，属于简单随机抽样的是 (　　)
A.某社团为调查本校学生的环保知识水平，向在图书馆某楼层自习的所有学生发放问卷，隔5分钟后回收
B.某次科普讲座之前，主持人抽取座位尾号为1的听众进行提问
C.一车间主任从堆放的100件产品中抽取了摆放在最上面的10件产品进行检查
D.销售部经理将一个放有部门所有员工工号牌的箱子均匀摇晃后，从中抽取5个工号牌
即时训练
√
解析：对于A，人数较多，且图书馆的学生不能代表本校全体学生，故A错误；对于B，按照相同间隔抽取的方法，是系统抽样，不是简单随机抽样，故B错误；对于C，抽取的产品不具有代表性，故C错误；对于D，符合简单随机抽样的定义，故D项正确.
2.用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中，抽取一个样本量为2的样本，某一个个体a“第一次被抽到的概率”“第二次被抽到的概率”“在整个抽样过程中被抽到的概率”分别是___、___、___.
解析：从6个个体中抽1个个体，每个个体被抽到的概率均为，与抽取的次数无关，第二次被抽到的概率仍为.但由于在整个抽样过程中是从6个个体中抽2个样本，故个体a被抽到的概率为.
　　
不理解简单随机抽样中每个个体入样是等可能的，即简单随机抽样中，每个个体被抽到的机会一样，与先后无关.
易错提醒
[例2] (1)(2025·南通模拟)某学校高二年级选择“物化生”，“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240，90和120.现采用分层随机抽样的方法选出30位同学进行一项调查研究，则“史地政”组合中选出的同学人数为(　　)
A.8 B.12
C.16 D.6
解析：由题意，可知30×=8，故“史地政”组合中选出的同学人数为8.
√
题点二　分层随机抽样
(2)(2024·重庆三模)重庆某高校去年招收学生来自成渝地区2 400人，除成渝外的西部地区2 000人，中部地区1 400人，东部地区1 800人，港澳台地区400人.学校为了解学生的饮食习惯，拟选取40人作样本调研，为保证调研结果的代表性，则从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为 (　　)
A. B.
C. D.
√
解析：为保证调研结果的代表性，设从该校去年招收的成渝地区学生中抽取n人，则=，解得n=12，即从该校去年招收的成渝地区学生中不同的抽样结果种数为.
分层随机抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量，按该层所占总体的比例计算.
(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之求解；根据分层随机抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算.
(3)分层随机抽样的计算应根据抽样比例构造方程求解，其中“抽样比例==”.
思维建模
(4)分层随机抽样时，每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni=n·(i=1，2，…，k)个个体(其中i是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量).
3.[多选]某学校为了解学生视力健康状况，降低学生近视率，增强学生爱眼护眼意识，对三个年级的学生视力健康状况进行调研，已知高一、高二、高三的学生人数之比为4∶3∶3，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为 n的样本，样本中高一年级学生人数为200人，则 (　　)
A.该校三个年级总的学生数为5 000人
B.样本容量n为500
C.该校高二年级总的学生数有1 500人
D.样本中高二年级学生数为150人
即时训练
√
√
解析：设样本中高二、高三的学生人数分别为a，b，则200∶a
∶b=4∶3∶3，则a=b=150，所以样本容量n=200+150+150=500，故B、D正确；无法确定该校三个年级总的学生数和该校高二年级总的学生数，故A、C错误.
4.(2025·上海开学考试)某校老年、中年和青年教师的人数如表(右栏)所示，采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有32人，则该样本的老年教师人数为___.
类别 老年教师 中年教师 青年教师 合计
人数 36 72 64 172
18
解析：在抽取的样本中，青年教师有32人，而抽样的比例为=，设该样本的老年教师人数为x，则有=，∴x=18.
考法(一)　折线图、条形图与扇形图
[例3] (1)[多选]某中学组织三个年级的学生进行禁毒知识竞赛.经统计，得到成绩排在前200名学生分布的扇形图(图1)和其中的高一学生排名分布的频率条形图(图2).则下列命题正确的是(　　)
题点三　统计图表
A.成绩排在前200名的200人中，高二人数比高三人数多10
B.成绩排在第1~50名的50人中，高一人数比高二人数多
C.成绩排在第51~150名的100人中，高三人数占比可能超过
D.成绩排在第51~100名的50人中，高二人数肯定多于23
√
√
解析：成绩排在前200名的200人中，高二人数比高三人数多200×(30%-25%)=10，故A正确；成绩排在第1~50名的50人中，高一人数为200×45%×20%=18，高二和高三的总人数为50-18=32，高二的具体人数不知道，故B错误；成绩排在第51~150名的100人中，高一人数为200×45%×(0.3+0.4)=63，高二和高三的总人数为100-63=37，所以高三人数占比有可能超过，故C正确；成绩排在第51~100名的50人中，高一学生人数为200×45%×0.3=27，高二人数最多有50-27=23，故D错误.
(2)(2025·盐城模拟)[多选]下面两图分别是2018年至2023年我国新能源汽车年产量和占比(占我国汽车年总产量的比例)情况，则下列说法正确的是 (　　)
A.2018~2023年我国新能源汽车年产量逐年增加
B.2018~2023年我国新能源汽车年产量的极差为626.4万辆
C.2023年我国汽车年总产量超过2 700万辆
D.2020年我国汽车年总产量低于2019年我国汽车年总产量
解析：题图1中2020年我国新能源汽车年产量低于2019年我国新能源汽车年产量，故A错误；极差为705.8-79.4=626.4(万辆)，故B正确；2023年我国汽车年总产量为705.8÷25.6%≈2 757(万辆)，故C正确；2020年我国汽车年总产量为124.2÷4.8%≈2 588(万辆)，2019年我国汽车年总产量为127÷4.5%≈2 822(万辆)，2 588<2 822，故D正确.
√
√
√
折线图、条形图、扇形图的关注点
(1)折线图可以显示随时间(根据常用比例放置)而变化的连续数据，因此非常适用于显示在相等时间间隔下数据的趋势.
(2)条形图的长度表示各类别频数的多少，宽度是固定的类别，与频率分布直方图不同.
(3)扇形图能清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系.
思维建模
考法(二)　频率分布直方图
[例4]　(2025·包头模拟)某公司为了解用户对其产品的满意度，从使用该产品的用户中随机调查了100个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到如图所示的用户满意度评分的频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论不正确的是 (　　)
A.对该公司产品满意度评分低于60分的用户比例估计为35%
B.对该公司产品满意度评分不低于70分的用户比例估计为40%
C.估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值不超过60分
D.估计该公司有一半以上的用户，对产品的满意度评分介于50分至80分之间
√
解析：对该公司产品满意度评分低于60分的用户比例估计为(0.015+0.020)×10×100%=35%，故A正确；对该公司产品满意度评分不低于70分的用户比例估计为(0.020+0.010+0.010)×10×100%
=40%，故B正确；估计该公司用户对产品的满意度评分的平均值为=45×0.15+55×0.2+65×0.25+75×0.2+85×0.1+95×0.1=67>60，故C错误；对产品的满意度评分介于50分至80分之间的用户比例为(0.020+0.025+0.020)×10×100%=65%，估计该公司有一半以上的用户，对产品的满意度评分介于50分至80分之间，故D正确.故选C.
频率分布直方图的数据特点
(1)频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率，不要和条形图混淆.
(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，常利用频率分布直方图估计总体分布.
思维建模
5.[多选]下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是 (　　)
即时训练
A.超过的大学生更爱使用购物类APP
B.超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要
C.使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是23%
D.APP使用目的中6个占比数字的40%分位数是34.3%
解析：根据题图知，大学生使用购物类APP占比为25.7%，所以A正确；根据题图知，大学生使用APP是为了学习与生活需要的占比为34.3%+14.0%=48.3%，所以B错误；根据题图知，使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是25.7%-2.7%=23%，所以C正确；根据题图知，APP使用目的中6个占比数字从小排到大分别为0.6%，8.4%，14.0%，16.3%，26.4%，34.3%，又6×40%=2.4，所以40%分位数是14.0%，故D错误.
√
√
6.[多选]某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图，其中支出在[50，60]元的学生有60人，则下列说法正确的是 (　　)
A.样本中支出在[50，60]元的频率为0.03
B.采用分层随机抽样从这n人中抽出10人，则在[30，50)中共需抽出6人
C.n的值为200
D.该校学生一周生活方面支出的中位数大约是44元
√
√
√
解析：样本中支出在[50，60]元的频率为1-(0.01+0.024+0.036)×
10=0.3，故A错误；样本中支出在[30，50)的频率为(0.024+0.036)×10
=0.6，所以采用分层随机抽样从这n人中抽出10人，则在[30，50)中共需抽出的人数为10×0.6=6，故B正确；n==200，故C正确；前两个矩形的面积之和为(0.01+0.024)×10=0.34，前三个矩形的面积之和为0.34+0.036×10=0.7，设样本中支出的中位数为x，则40课时跟踪检测
03
一、单选题
1.下列情况中，适合用全面调查的是(　　)
A.检查某人血液中的血脂含量
B.调查某地区的空气质量状况
C.乘客上飞机前的安检
D.调查某市市民对垃圾分类处理的意识
解析：乘客上飞机前的安检适合用全面调查，只有确认每一名乘客所携带的物品都安全才能保证航班安全.
√
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
2.现要完成下列2项抽样调查：①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；②东方中学共有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是 (　　)
A.①抽签法，②分层随机抽样
B.①随机数法，②分层随机抽样
C.①随机数法，②抽签法
D.①抽签法，②随机数法
解析：①总体较少，宜用抽签法；②各层间差异明显，宜用分层随机抽样.故选A.
√
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
3.(2025·邢台期末)某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1 200，1 000，800，按年级进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为30的样本，调查全校学生的睡眠时间.高一年级抽取的学生的平均睡眠时间为8.5小时，高二年级抽取的学生的平均睡眠时间为7.8小时，三个年级抽取的学生的总平均睡眠时间为8小时，则高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为 (　　)
A.7.2小时　 B.7.3小时　
C.7.5小时　 D.7.6小时
√
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
解析：由题意，得抽样比例为=，则高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为1 200×=12，1 000×
=10，800×=8，设高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为x小时，则8x+10×7.8+12×8.5=30×8，解得x=7.5.故选C.
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
4.(2025·哈尔滨开学考试)某校为了了解学生的体能情况，于6月中旬在全校进行体能测试，统计得到所有学生的体能测试成绩均在[70，100]内.现将所有学生的体能测试成绩按[70，80)，[80，90)，[90，100]分成三组，绘制成如图所示的频率分布直方图.
若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样
的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者，
则体能测试成绩在[70，80)内的被抽取的学生
人数为 (　　)
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
A.4 B.6
C.8 D.10
解析：根据题意得，体能测试成绩在[70，80)内的被抽取的学生人数为20×=4.故选A.
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
√
5.某养猪场定购了一批仔猪，从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位：斤)，经数据处理得到如图所示的频率分布直方图，其中体重最轻的14头仔猪的体重的频数分布表如表所示.为了将这批仔猪分栏喂养，需计算频率分布直方图中的一些数据，其中a+b的值为 (　　)
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
体重 22 24 26 27 28 29 31
频数 1 1 2 3 3 2 2
A.0.144 B.0.152
C.0.76 D.0.076
解析：由题意得c+d=×=0.024，且[2(c+d)+a+b]×5=1，所以2×0.024+a+b=0.2，所以a+b=0.152.故选B.
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
√
二、多选题
6.为了了解参加运动会的1 500名运动员的年龄情况，从中抽取了150名运动员的年龄进行调查，则下列说法正确的是(　　)
A.1 500名运动员的年龄是总体
B.抽取到的150名运动员是样本
C.这个抽样方法可以采取随机数法抽样
D.每个运动员被抽到的机会相等
√
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
√
解析：1 500名运动员的年龄是总体，故A正确；抽取到的150名运动员的年龄是样本，故B错误；随机数法常常用于总体的个体数较少时，当总体中的个体数较多时，编号复杂，将总体“搅拌均匀”也比较困难，用随机数法产生的代表性不合理，故C错误；在简单的随机抽样时，每个运动员被抽到的机会是相等的，故D正确.
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
7.(2025·武汉模拟)某市2024年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后年经济收入构成比例，得到如下扇形图，则下列结论正确的是 (　　)
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
A.招商引资后，工资净收入较前一年增加
B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍
C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
√
√
解析：设招商引资前经济收入为M，而招商引资后经济收入为2M，则招商引资前工资净收入为M×60%=0.6M，而招商引资后工资净收入为2M×37%
=0.74M，所以工资净收入增加了，故A正确；招商引资前转移净收入为M×4%
=0.04M，招商引资后转移净收入为2M×5%=0.1M，所以招商引资后，转移净收入是前一年的2.5倍，故B错误；招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为0.1M+0.56M=0.66M<×2M=0.8M，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；招商引资前经营净收入为M×
30%=0.3M，招商引资后经营净收入为2M×30%=0.6M，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
8.某市为了解该地小微企业年收入的变化情况，对该地小微企业推行的年税收减免政策减免前和减免后的年收入进行了抽样调查.将数据整理，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是 (　　)
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
A.推行减免政策后，该市小微企业的年收入都有了明显的提高
B.推行减免政策后，该市小微企业的平均年收入有了明显的提高
C.推行减免政策后，该市小微企业的年收入更加均衡
D.推行减免政策后，该市小微企业的年收入没有变化
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
√
√
解析：年收入在[65，70]万元的，减免前的频率为0.011×5=0.055，减免后的频率为0.008×5=0.040，故A错误；减免前占比最多的年收入为[45，50)万元，其次是[40，45)万元，减免后占比最多的为[50，55)万元，其次是[55，60)万元，所以平均年收入也明显提高，故B正确；减免前年收入在[25，30)万元的占比为0.055，而减免后年收入最少的[25，30)万元没有了，变成[35，40)万元，减免前[65，70]万元的占比为0.055，而减免后年收入最多的[65，70]万元的占比为0.040，即减少了，所以年收入更加均衡，故C正确；从题图上知年收入有所变化，如收入在[65，70]万元的减少了，而收入在[25，30)万元的减免后没有了，所以收入提高了，故D错误.
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
三、填空题
9.一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如表所示(单位：辆)：
按类型用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆，则z的值为_____.
解析：设该厂这个月共生产轿车n辆，由题意得=，所以n=2 000，则z=2 000-100-300-150-450-600=400.
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
400
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
10.在样本频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形面积等于其他8个小长方形的面积和的，且样本容量为140，则中间一组的频数为_____.
解析：设中间一个小长方形的面积为x，其他8个小长方形的面积和为x，根据频率分布直方图各小长方形的面积之和为1，得x+x=1，则x=，即中间一组的频率为，所以中间一组的频数为140×=40.
1
5
6
7
8
9
10
2
3
4
40课时跟踪检测(六十九)　随机抽样与统计图表
一、单选题
1.下列情况中,适合用全面调查的是 (　　)
A.检查某人血液中的血脂含量 B.调查某地区的空气质量状况
C.乘客上飞机前的安检 D.调查某市市民对垃圾分类处理的意识
2.现要完成下列2项抽样调查:①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查;②东方中学共有160名教职工,其中教师120名,行政人员16名,后勤人员24名.为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见,拟抽取一个容量为20的样本.较为合理的抽样方法是 (　　)
A.①抽签法,②分层随机抽样
B.①随机数法,②分层随机抽样
C.①随机数法,②抽签法
D.①抽签法,②随机数法
3.(2025·邢台期末)某校高一、高二、高三年级的学生人数分别为1 200,1 000,800,按年级进行分层,用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为30的样本,调查全校学生的睡眠时间.高一年级抽取的学生的平均睡眠时间为8.5小时,高二年级抽取的学生的平均睡眠时间为7.8小时,三个年级抽取的学生的总平均睡眠时间为8小时,则高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为 (　　)
A.7.2小时 B.7.3小时
C.7.5小时 D.7.6小时
4.(2025·哈尔滨开学考试)某校为了了解学生的体能情况,于6月中旬在全校进行体能测试,统计得到所有学生的体能测试成绩均在[70,100]内.现将所有学生的体能测试成绩按[70,80),[80,90),[90,100]分成三组,绘制成如图所示的频率分布直方图.若根据体能测试成绩采用按比例分层随机抽样的方法抽取20名学生作为某项活动的志愿者,则体能测试成绩在[70,80)内的被抽取的学生人数为 (　　)
A.4 B.6
C.8 D.10
5.某养猪场定购了一批仔猪,从中随机抽查了100头仔猪的体重(单位:斤),经数据处理得到如图所示的频率分布直方图,其中体重最轻的14头仔猪的体重的频数分布表如表所示.为了将这批仔猪分栏喂养,需计算频率分布直方图中的一些数据,其中a+b的值为 (　　)
体重 22 24 26 27 28 29 31
频数 1 1 2 3 3 2 2
A.0.144 B.0.152
C.0.76 D.0.076
二、多选题
6.为了了解参加运动会的1 500名运动员的年龄情况,从中抽取了150名运动员的年龄进行调查,则下列说法正确的是 (　　)
A.1 500名运动员的年龄是总体
B.抽取到的150名运动员是样本
C.这个抽样方法可以采取随机数法抽样
D.每个运动员被抽到的机会相等
7.(2025·武汉模拟)某市2024年经过招商引资后,经济收入较前一年增加了一倍,实现翻番,为更好地了解该市的经济收入的变化情况,统计了该市招商引资前后年经济收入构成比例,得到如下扇形图,则下列结论正确的是 (　　)
A.招商引资后,工资净收入较前一年增加
B.招商引资后,转移净收入是前一年的1.25倍
C.招商引资后,转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的
D.招商引资后,经营净收入较前一年增加了一倍
8.某市为了解该地小微企业年收入的变化情况,对该地小微企业推行的年税收减免政策减免前和减免后的年收入进行了抽样调查.将数据整理,得到如图所示的频率分布直方图,则下列结论正确的是 (　　)
A.推行减免政策后,该市小微企业的年收入都有了明显的提高
B.推行减免政策后,该市小微企业的平均年收入有了明显的提高
C.推行减免政策后,该市小微企业的年收入更加均衡
D.推行减免政策后,该市小微企业的年收入没有变化
三、填空题
9.一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示(单位:辆):
轿车A 轿车B 轿车C
舒适型 100 150 z
标准型 300 450 600
按类型用分层随机抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆,则z的值为　　　　　.
10.在样本频率分布直方图中,共有9个小长方形,若中间一个小长方形面积等于其他8个小长方形的面积和的,且样本容量为140,则中间一组的频数为　　　　.
课时跟踪检测(六十九)
1.选C　乘客上飞机前的安检适合用全面调查,只有确认每一名乘客所携带的物品都安全才能保证航班安全.
2.选A　①总体较少,宜用抽签法;②各层间差异明显,宜用分层随机抽样.故选A.
3.选C　由题意,得抽样比例为=,则高一、高二、高三年级抽取的学生人数分别为1 200×=12,1 000×=10,800×=8,设高三年级抽取的学生的平均睡眠时间为x小时,则8x+10×7.8+12×8.5=30×8,解得x=7.5.故选C.
4.选A　根据题意得,体能测试成绩在[70,80)内的被抽取的学生人数为20×=4.故选A.
5.选B　由题意得c+d=×=0.024,且[2(c+d)+a+b]×5=1,所以2×0.024+a+b=0.2,所以a+b=0.152.故选B.
6.选AD　1 500名运动员的年龄是总体,故A正确;抽取到的150名运动员的年龄是样本,故B错误;随机数法常常用于总体的个体数较少时,当总体中的个体数较多时,编号复杂,将总体“搅拌均匀”也比较困难,用随机数法产生的代表性不合理,故C错误;在简单的随机抽样时,每个运动员被抽到的机会是相等的,故D正确.
7.选AD　设招商引资前经济收入为M,而招商引资后经济收入为2M,则招商引资前工资净收入为M×60%=0.6M,而招商引资后工资净收入为2M×37%=0.74M,所以工资净收入增加了,故A正确;招商引资前转移净收入为M×4%=0.04M,招商引资后转移净收入为2M×5%=0.1M,所以招商引资后,转移净收入是前一年的2.5倍,故B错误;招商引资后,转移净收入与财产净收入的总和为0.1M+0.56M=0.66M<×2M=0.8M,所以招商引资后,转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的,故C错误;招商引资前经营净收入为M×30%=0.3M,招商引资后经营净收入为2M×30%=0.6M,所以招商引资后,经营净收入较前一年增加了一倍,故D正确.
8.选BC　年收入在[65,70]万元的,减免前的频率为0.011×5=0.055,减免后的频率为0.008×5=0.040,故A错误;减免前占比最多的年收入为[45,50)万元,其次是[40,45)万元,减免后占比最多的为[50,55)万元,其次是[55,60)万元,所以平均年收入也明显提高,故B正确;减免前年收入在[25,30)万元的占比为0.055,而减免后年收入最少的[25,30)万元没有了,变成[35,40)万元,减免前[65,70]万元的占比为0.055,而减免后年收入最多的[65,70]万元的占比为0.040,即减少了,所以年收入更加均衡,故C正确;从题图上知年收入有所变化,如收入在[65,70]万元的减少了,而收入在[25,30)万元的减免后没有了,所以收入提高了,故D错误.
9.解析:设该厂这个月共生产轿车n辆,由题意得=,所以n=2 000,则z=2 000-100-300-150-450-600=400.
答案:400
10.解析:设中间一个小长方形的面积为x,其他8个小长方形的面积和为x,根据频率分布直方图各小长方形的面积之和为1,得x+x=1,则x=,即中间一组的频率为,所以中间一组的频数为140×=40.
答案:40

展开更多......

收起↑