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广东省河源市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列与杭州亚运会有关的图案中，中心对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．若将点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（﹣1，﹣1） C．（﹣2，0） D．（﹣2，﹣1）
3．如果，那么下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．若将分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（　　）
A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的
C．缩小为原来的 D．不改变
5．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是(　　)
A．(a+3)(a﹣3)＝a2﹣9 B．x2+x﹣5＝x(x+1)﹣5
C．x2+1＝x(x+) D．x2+4x+4＝(x+2)2
6．四边形中，，，则下列结论不一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．对角线互相平分
7．等腰三角形的一个内角为，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．或 B． C． D．或
8．若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
9．如图，直线与（且a，b为常数）的交点坐标为（3，﹣1），则关于x的不等式的解集为（ ）
A．x≥﹣1 B．x≥3 C．x≤﹣1 D．x≤3
10．如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论：①CF=AE；②OE=OF；③四边形ABCD是平行四边形；④图中共有四对全等三角形．其中正确结论的个数是
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
11．如图，将绕着点顺时针旋转，得到，若，则等于 ．
12．如图，在中，，点D，E分别为的中点，则 ．

13．多项式与的公因式是 ．
14．如图，已知∠AOB=30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC=4，则PD等于 ．

15．关于的方程有增根，则的值为 ．
16．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB于点F，交DC的延长线于点G，则DE＝ ．
三、解答题
17．分解因式：．
18．解不等式组
19．先化简，再求值：，其中．
20．在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．
（1）将△ABC沿x轴方向向左平移6个单位长度，画出平移后得到的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
（3）直接写出点B2，C2的坐标．
21．如图，在△ABC和△DCB中，∠A=∠D=90°，AC=BD，AC与BD相交于点O．
（1）求证：△ABC≌△DCB；
（2）求证：△OBC是等腰三角形．
22．暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费．乙旅行社的优惠条件是：家长学生都按八折收费．假设这两位家长带领名学生去旅游．
(1)分别写出甲、乙旅行社的收费（元）、（元）关于的函数关系式．
(2)他们应该选择哪家旅行社更合算？
23．如图，平行四边形的对角线相交于点O，E，F分别是的中点，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
24．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降，今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元的资金购进这两款汽车共15辆，且A款汽车的数量不少于6辆，有几种进货方案？
(3)按照（2）中两种汽车进价不变，如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是______万元．（不必提供求解过程，直接给出a值即可）
25．（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．易求∠DCE＝ °；
（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．CE＝10，BC＝6，求AE的长．
《广东省河源市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题》参考答案
1．D
解：A，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C. 不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D.是中心对称图形，
故选：D
2．B
解：已知点A（1，3）向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点B，
根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减的平移规律可得，
点B的横坐标为1﹣2=﹣1，纵坐标为3﹣4=﹣1，
所以B的坐标为（﹣1，﹣1）．
故选B．
3．D
A、∵，
∴，
∴A错误，不符合题意；
B、∵，
∴，
∴B错误，不符合题意；
C、∵，
∴，
∴C错误，不符合题意；
D、∵，
∴，
∴D正确，符合题意；
故选：D．
4．D
解：将分式中的x，y都扩大10倍，得
∴分式中的x，y都扩大10倍，则这个分式的值不变，
故选：D．
5．D
A、是多项式乘法，不是因式分解，错误；
B、x2+x﹣5=x（x+1）﹣5，右边不是积的形式，错误；
C、不是因式分解，错误；
D、是因式分解，右边是积的形式，正确；
故选D．
6．A
解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，对角线互相平分
∴B、C、D均正确，
而A选项，但并不一定，故该选项错误，符合题意，
故选：A．
7．A
解：分两种情况：
①当的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数；
②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角度数是或．
故选：A．
8．C
解：设这个多边形的边数为，
由题意得：，
解得：，
故这个多边形的边数是，
故选：C．
9．D
解：从图象得到，当x≤3时，的图象对应的点在函数的图象上面，
∴不等式的解集为x≤3．
故选：D．
10．B
解：∵DE=BF，
∴DF=BE．
∵在Rt△DCF和Rt△BAE中，
CD=AB，DF=BE，
∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL）．
∴FC=EA．故①正确．
∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，
∴AE∥FC．
∵FC=EA，
∴四边形CFAE是平行四边形．
∴EO=FO．故②正确．
∵Rt△DCF≌Rt△BAE，
∴∠CDF=∠ABE．
∴CD∥AB．
∵CD=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．故③正确．
由上可得：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE等．故④图中共有6对全等三角形错误．
故正确的有3个．
故选B．
11．/30度
解：∵将绕着点顺时针旋转，得到，，
∴，
故答案为：．
12．2
解：∵D、E分别为边的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：2．
13．
解：∵，，
∴多项式与的公因式是，
故答案为：．
14．2
作PE⊥OA于E，

∵CP∥OB，
∴∠OPC=∠POD，
∵P是∠AOB平分线上一点，
∴∠POA=∠POD=15°，
∴∠ACP=∠OPC+∠POA=30°，
∴PE=PC=2，
∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，
∴PD=PE=2，
故答案为：2．
15．
解：去分母得，，
合并同类项得，，
∵有增根，
∴该方程无解，即，
解得：，
∴．
故答案为：．
16．．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，
∴∠GCE＝∠B＝60°，
∵E是BC的中点，
∴CE＝BE＝2，
∵EF⊥AB，
∴EF⊥DG，
∴∠G＝90°，
∴CG＝CE＝1，
∴EG＝CG＝，DG＝CD＋CG＝3＋1＝4，
∴DE＝；
故答案为．
17．
解：原式．
18．
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为．
19．，
解：
；
当时，原式．
20．（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△AB2C2即为所求，
（3）由（2）可知点B2（4，﹣2），C2（1，﹣3）．
21．（1）证明见解析；（2）证明见解析．
证明：（1）在与中
（2），
∴，
∴OB=OC，即是等腰三角形．
22．(1)，；
(2)当时，选择甲旅行社更合算；当时，两家旅行社收费相同；当时，选择乙旅行社更合算．
（1）解：由题意可得，，
；
（2）解：当时，即，
解得；
当时，即，
解得；
当时，即，
解得；
∴当时，选择甲旅行社更合算；当时，两家旅行社收费相同；当时，选择乙旅行社更合算．
23．(1)见解析
(2)
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E，F分别是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
24．(1)今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
(2)共有5种进货方案，详见解析；
(3)0.5
（1）解：设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．
根据题意，得：，
解得：m＝9，
经检验，m＝9是原方程的解且符合题意，
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；
（2）设购进A款汽车x辆．
根据题意，得：7.5x＋6（15 x）≤105，
解得：x≤10，
又∵x≥6，
∴6≤x≤10，
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案，
方案1．购进A款汽车6辆，购进B款汽车9辆．
方案2．购进A款汽车7辆，购进B款汽车8辆．
方案3．购进A款汽车8辆，购进B款汽车7辆．
方案4．购进A款汽车9辆，购进B款汽车6辆．
方案5．购进A款汽车10辆，购进B款汽车5辆；
（3）设总获利为W万元，购进A款汽车x辆，
根据题意，得：W＝（9 7.5）x＋（8 6 a）（15 x）＝（a 0.5）x＋30 15a，
∵使（2）中所有的方案获利相同，
∴a 0.5＝0，
解得：a＝0.5，
故答案为：0.5．
25．（1）120°；（2），理由见解析；（3）
（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠B=∠ACB=∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE=60°，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=120°，
故答案为：120；
（2）DE2=CD2+BD2；理由如下：
在Rt△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠ACB=45°，
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
∵AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，
根据勾股定理得，DE2=CD2+CE2=CD2+BD2；
（3）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，
即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD与△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，
∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，
∴∠BCE＝∠ECD＝90°
∵BC＝6，CE＝10，
∴BD＝CE＝10，
∴CD＝BD﹣BC=10﹣6＝4，
∴Rt△DCE中，DE＝
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE＝

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