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2024~2025学年第二学期高二年级五月份阶段性学业水平调研
数学试题
总分：150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知随机变量，设随机变量，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 若“”是“”的必要条件，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
5. 的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（ ）
A. B. C. D.
6. 将一根长为3的铁丝截成9段，使其组成一个正三棱柱的框架（铁丝长等于正三棱柱所有棱的长度之和），则该正三棱柱的体积最大为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知全集，集合，，是全集的三个子集，定义：表示集合中元素的个数，若，，则所有的有序子集列有（ ）
A. 360个 B. 640个 C. 960个 D. 1920个
8. （ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项正确的是（ ）
A. 若正实数满足，则的最小值为10
B. 函数的值域是
C. 若正实数满足，则的最大值为
D. 若正实数满足，则的最小值为
10. 已知函数是的导函数，则（ ）
A. “”是“为奇函数”的充要条件
B. “”是“为增函数”的充要条件
C. 若不等式的解集为且，则的极小值为
D. 若是方程的两个不同的根，且，则或
11. 已知函数，则下列说法正确的有（）
A. 若函数关于直线对称，则
B. 当时，函数在上单调递减
C. 当时，函数在有1个极值点
D. 函数最多有3个零点
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某一随机变量X的分布列如下表，且，则______.
X 0 1 2 3
P 0.1 m 0.2 n
13. 若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最小值为________.
14. 若函数有两个零点，则实数取值范围为_______.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 为激发学生注重学科核心素养培养，某校数学教研组开展数学基本技能比赛，比赛采用自主报名参赛方式，全校共有200名学生自主报名参赛，统计参赛成绩，参赛学生所得分数的分组区间为，，，得到如下的频数统计表：
分数区间 性别
男生/名 15 45 60
女生/名 25 25 30
（1）若学生得分不低于90分，则认为基本技能优秀，得分低于90分，则认为基本技能良好，依据小概率值的独立性检验，分析该校学生的基本技能与性别是否有关？
（2）为进一步调研男生和女生在基本技能上的差异，在参加数学基本技能比赛的200名学生中，按性别比例分层抽样的方式随机抽取5名学生进行问卷调研，然后再从这5名学生中随机抽取3名学生进行座谈调研，记取出的3人中女生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：
α 0.10 0.05 0.010
2.706 3.841 6635
，.
16. 已知的展开式中，第5项与第3项的系数之比为．
（1）求的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）若，求的值．
17. 某学校校庆时统计连续天进入学校参加活动校友数（单位：千人）如下：
日期 月日 月日 月日 月日 月日
第天
参观人数
（1）由上表数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明（保留小数点后两位）；（若，则认为与的线性相关性很强），并求出关于的线性回归方程；
（2）校庆期间学校开放号门、号门和号门供校友出入，校友从号门、号门和号门进入学校的概率分别为、、，且出学校与进学校选择相同门的概率为，选择与入校不同两门的概率各为.假设校友从号门、号门、号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁名校友于月日回母校参加活动，设为人中从号门出学校的人数，求的分布列、期望及方差.
附：参考数据：，，，，.
参考公式：回归直线方程，其中，.
相关系数.
18. 已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）设全集，，.
（i）求实数的值；
（ii）记集合，求中元素个数.
19. 定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知.
（1）若，，求的值及的固着点；
（2）若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值；
（3）若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：.
2024~2025学年第二学期高二年级五月份阶段性学业水平调研
数学试题
总分：150分
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】B
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】A
【6题答案】
【答案】C
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】D
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】AC
【10题答案】
【答案】ACD
【11题答案】
【答案】ABD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】8
【13题答案】
【答案】2
【14题答案】
【答案】
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）认为该校学生的基本技能与性别有关联
（2）分布列见解析，
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
（3）1
【17题答案】
【答案】（1），说明见解析，
（2）分布列见解析，，.
【18题答案】
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）.
【19题答案】
【答案】（1），固着点
（2）
（3），证明见解析

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