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数学
本试卷总分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知，则的虚部为（ ）
A. B. 1 C. D. i
2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 在中，D是AC边的中点，且点M满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
4. 某钢管车间生产无缝钢管的直径规格为45mm，现从生产的钢管中随机抽取10根，测得10根钢管的平均直径为45.3mm，方差为，若再加入1根直径为45.3mm的钢管，则这11根钢管直径的（ ）
A. 平均数变小 B. 平均数变大 C. 方差变小 D. 方差变大
5. 记等差数列的前n项和为，公差，，数列为等比数列，且，，，则（ ）
A. 2 B. C. D. 3
6. 已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知双曲线（,均为正整数）左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为C右支上一点，的周长为25，O到直线，的距离分别为，，若，则C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，平面ABC，，，若P，A，B，C四点都在球O的表面上，则球心O到平面PBC的距离为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某蔬菜批发市场统计了近5个月某种蔬菜的批发价格（单位：元/千克），如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则（ ）
月份序号 1 2 3 4 5
批发价格：元/千克 5 4.2 4 3.8 3
A. 变量与负相关
B.
C. 当时，的观测值与估计值的差为
D. 可以预测当时，批发价格不超过2.8元/千克
10. 如图（1）所示，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，，将沿BE翻折，使点A到达点P的位置，如图（2）所示，点F为PC的中点，且，则（ ）
A. 平面平面BCDE B. 直线PC与平面BCDE所成的角为30°
C. 平面PBE D.
11. 已知函数，为导函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 当时，若，则m的取值范围为
B. 若是的一条切线，则实数的值有且只有1个
C. 当时，的图象关于点对称
D. 当时，有3个零点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知，则______.
13. 《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》（国发[2024]7号）于2024年3月1日经国务院常务会议审议通过.在某次以旧换新活动中，某家庭从冰箱、洗衣机、电视、空调、电脑、热水器、家用灶具、吸油烟机8个品类中任选4个品类进行以旧换新，则电视、空调、电脑和热水器更换至少2个品类的概率为______.
14. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是C上异于长轴端点的一点，点M满足，，O为坐标原点，则C的离心率的取值范围是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求A；
（2）若D是边AB上靠近点A的三等分点，，的面积为，求的周长.
16. 如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，点M为棱PD上一点，，O为AC的中点.
（1）证明：平面平面MAC.
（2）已知，，点N在棱BC上，且，若直线PN与平面MAC所成角的正弦值为，求的值.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）若存在两个不同的，满足，证明：.
18. 已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，点M在C上且在第一象限，，的面积为2.
（1）求C的方程.
（2）A，B是C上异于M的两个动点，直线MA与MB的斜率之积为1，证明：直线AB过定点.
（3）点M关于x轴的对称点为N，分别过M，N作C的两条切线，这两条切线的交点G恰好在x轴上，，过S作C的切线，切点为R（异于点M），且与线段GN交于点T，求面积的最大值.
19. 定义：在数列中，随着的增大，的个数按照一定的规律逐渐增加，则称为“个数发散数列”.记数列的前n项和为，，，，.
（1）当，4，5时，求，并验证是否为“个数发散数列”；
（2）当时，在所有中随机抽取3个数列，记的个数为X，求X的分布列及；
（3）当，时，求.
数学
本试卷总分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
【答案】ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2）证明见解析
【18题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）8
【19题答案】
【答案】（1）答案见解析
（2）分布列见解析，
（3）

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