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2024-2025 学年广东省深圳市第七高级中学高一下学期期中质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足 2 i = i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的虚部为( )
A. 2 2 1 25 B. 5 i C. 5 D. 5
2.已知 = 5, = 4，若 = 10，则 与 的夹角为( )
A. π B. 5π π 2π3 6 C. 3 D. 3
3.已知 = (3,4), = ( , 1), ⊥ ，则 =( )
A. 50 B. 5 2 C. 2 D. 3 2
4.已知 = 2，且 = 2，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. 1 1 2 B. 2 C. D.

5.已知向量 1， 2是平面上两个不共线的单位向量，且 = 1+ 2 2， = 3 1 + 2 2， = 3 1 6 2，
则( )
A. 、 、 三点共线 B. 、 、 三点共线 C. 、 、 三点共线 D. 、 、 三点共线
6.在 中，sin2 tan = sin2 tan ，则 是
A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形
7.已知矩形 的长 = 4，宽 = 3.点 在线段 上运动(不与 两点重合)，则 的取值范围
是( )
A. ( 16,9) B. ( 9,16) C. [0,9) D. ( 16,0]
8 = cos212° sin212° = 2tan12°.设 ， 1 tan212°， =
1 cos48°
2 ，则有( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. + ≤ +
B.若 , 满足 > ，且 与 同向，则 >
C.若 = ，则 =
D.若 是等边三角形，则 , = 2π3
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10 π.有下列四种变换方式，能将 = sin 的图象变为 = sin 2 + 4 的图象的是( )
A. 1 π横坐标变为原来的2 (纵坐标不变)，再向左平移4个单位长度
B. 1 π横坐标变为原来的2 (纵坐标不变)，再向左平移8个单位长度
C. π 1向左平移4个单位长度，再将横坐标变为原来的2 (纵坐标不变)
D. π 1向左平移8个单位长度，再将横坐标变为原来的2 (纵坐标不变)
11.《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九
个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角
形三边 ， ， ，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并
大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”
1 2+ 2 2 2
若把以上这段文字写成公式，即 = 2 24 2 .现有 满足 sin : sin : sin = 2: 3: 7，且
的面积 = 6 3，请运用上述公式判断下列结论正确的是( )
A. 的周长为 10 + 2 7 B. 三个内角 ， ， 满足 2 = +
C. 4 21外接圆的直径为 3 D. 的中线 的长为 3 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 2 i.复数 = 1+2i的共轭复数为 ，则 = ．
13.已知点 (0,0)，向量 = (2,3), = (6, 3)，点 是线段 上靠近 点的三等分点，求点 的坐标 ．
14.圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了
估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 ，高约为 36 ，在它们之间的地面
上的点 ( , , 三点共线)处测得建筑物顶 、教堂顶 的仰角分别是 45°和 60°，在建筑物顶 处测得教堂
顶 的仰角为 15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度 约为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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已知复数 = 2 + 2 + ( 1)i ∈ R ．
(1)若 为纯虚数，求实数 的值；
(2)若 1在复平面内对应的点在直线 = 3 上，求| |．
16.(本小题 15 分)
1
如图，在菱形 中， = 2
, = 2 ．
(1)若 = + ，求 3 + 2 的值；
(2)若| | = 6，∠ = 60°，求 ．
17.(本小题 15 分)
, , 分别为 内角 , , 的对边，已知 5 cos = cos + cos ．
(1)求 cos ；
(2)若 = 13， = 5，求 的面积．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 3sin cos + 3cos2 32．
(1)求函数 ( )的最小正周期
(2) π π若 ∈ 6 , 3 ，求函数 ( )的值域；
(3)若 ( ) = 2 且 ∈ 0, π π6 ，求 12 的值．
19.(本小题 17 分)
定义函数 ( ) = sin + cos 的“源向量”为 = ( , )，非零向量 = ( , )的“伴随函数”为
( ) = sin + cos ，其中 为坐标原点．
(1)若向量 的“伴随函数”为 ( ) = 2sin + π ，求与 6 向量方向相同的单位向量；
(2)在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若函数 ( )的“源向量”为 = (0,1)，且已知 =
8, ( ) = 35；
(ⅰ)求 周长的最大值；
(ⅱ)求 + 的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.i
13.( 103 , 1)
14.54
2
15.解：(1)若 为纯虚数，则 + 2 = 0，解得 = 2．
1 ≠ 0
(2) 1由题意可得 1 = 23 + 2 ，
解得 = 1，
所以 = 0，所以| | = 0．
16.解：(1)因为在菱形 中， = 1 , 2 = 2 ．
故 = + = 1 2 2 3 ，
故 = 2 13 , = 2，所以 3 + 2 = 1．
(2)显然 = + ，
所以 = ( + ) ( 1 2 2 3 )
2 2
= 23
+ 1 2
16
①，
因为菱形 ，且| | = 6，∠ = 60°，
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故| | = 6， , = 60°．
所以 = 6 × 6 × cos60° = 18．
故①式= 2 × 62 + 13 2 × 6
2 16 × 18 = 9．
故 = 9．
17.解：(1)因为 5 cos = cos + cos ，
所以 5sin cos = sin cos + sin cos ，
即 5sin cos = sin( + ) = sin ，
又 sin ≠ 0 5，所以 cos = 5 ．
(2)由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos ，
即 13 = 5 + 2 2 5 × 55 ，解得 = 4 或 = 2(舍去)．
5
因为 cos = 5 ， ∈ 0, π ，
所以 sin = 1 sin2 = 2 55 ，
1
所以 的面积 = 2 sin =
1
2 × 5 × 4 ×
2 5
5 = 4．
18.解：(1)由题意可得： ( ) = 3 3sin cos + 3cos2 3 3 3 1+cos2 32 = 2 sin2 + 3 × 2 2
= 3 32 sin2 +
3
2 cos2 = 3sin 2 +
π
6 ，
所以函数 ( )的最小正周期为π．
(2) π π π π 5π因为 6 ≤ ≤ 3，则 6 ≤ 2 + 6 ≤ 6，
可得 12 ≤ sin 2 +
π ≤ 1 36 ，即 2 ≤ ( ) ≤ 3，
3
所以函数 ( )的值域为 2 , 3 ．
(3) 0 ≤ ≤ π π ≤ 2 + π ≤ π因为 6，则6 6 2，
且 ( ) = 3sin 2 + π6 = 2
π 2
，即 sin 2 + 6 = 3，
可得 cos 2 + π6 = 1 sin
2 2 + π6 =
5
3 ，
π π π π π π
所以 sin2 = sin 2 + 6 6 = sin 2 + 6 cos 6 cos 2 + 6 sin 6
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= 2 33 × 2
5 × 1 2 3 53 2 = 6 ，
所以 π12 = 3sin2 =
2 3 5
2 ．
19.解：(1)因为 ( ) = 2sin + π6 = 2sin cos
π
6 + 2cos sin
π
6 = 3sin + cos
所以 = 3, 1
所以与
3,1
向量方向相同的单位向量为 = 2 =
3 , 1
2 2
(2)(ⅰ)由于函数 ( )的“源向量”为 = (0,1)，所以 ( ) = cos ，
3 3 4
又因为 ( ) = 5，所以 cos = 5，又因为 ∈ (0, π)，所以 sin = 5
在 中， = 8，由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 cos
即 64 = 2 + 2 65 = ( + )
2 165
16 4
又由基本不等式得： 2 25 = ( + ) 64 ≤ 5 ( + )
1
所以5 ( + )
2 ≤ 64，即( + )2 ≤ 320
所以 + ≤ 320 = 8 5，当且仅当 = = 4 5时取等号．
所以 + + ≤ 8 5 + 8，
所以周长的最大值为 8 5 + 8
(ⅱ) +
2 2 = + + 2 = 2 + 2 + 65 ，
6 6 12
又 64 = 2 + 2 5 ，所以
2 + 2 + 5 = 64 + 5 ，
所以 + = 64 + 12 35 = 2 16 + 5 ，
因为 64 = 2 + 2 65 ≥
4
5 ，所以 ≤ 80，当且仅当 = = 4 5时取等号，
所以 + = 64 + 65 ≤ 16，
即 + 的最大值为 16．
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