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重庆市万州第三中学等多校联考2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题
一、单选题
1．已知向量满足，则（ ）
A． B．1 C． D．2
2．复数的实部与虚部之和为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在复平面内，复数对应的向量分别为，则（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，是一个平面图形的直观图，其中是直角三角形，，则原图形的面积是（ ）
A．4 B． C．8 D．
5．已知是关于的方程的一个根，则（ ）
A． B． C．1 D．9
6．已知向量，若向量的夹角是锐角，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．记的内角的对边分别为，已知为锐角，且，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
8．设正四棱台上、下底面的边长分别为，高为，若，则正四棱台的体积为（ ）
A． B． C．140 D．142
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若的内角满足，则一定是钝角三角形
B．绕直角三角形一条边所在直线旋转一周所形成的几何体是圆锥
C．若是纯虚数，则
D．若向量，则向量在向量上的投影向量是
10．“赵爽弦图”是中国古代数学的经典成果，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如图，某人仿照“赵爽弦图”，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中分别是线段上靠近的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
11．奔驰定理：已知是内一点，的面积分别为，则.设是内一点，的三个内角分别为，若，且为的垂心，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知向量满足，则 .
13．已知复数，复数满足在复平面内对应的点的集合为图形，则图形的面积为 .
14．已知某圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则该圆锥的外接球的表面积为 .
四、解答题
15．已知复数.
(1)若是实数，求的值；
(2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围；
(3)若，求的值.
16．如图所示的几何体的上部是一个正四棱锥，下部是一个正方体，其中正四棱锥的高为是等边三角形，.
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体的体积.
17．在锐角中，角的对边分别为，已知.
(1)求角；
(2)若的面积为，求的取值范围.
18．如图，在正方形中，是线段的中点，在线段上（不包含端点），线段，相交于点.

(1)若是线段的中点，证明：.
(2)若，求的值.
(3)若，求的值.
19．在中，角的对边分别是，且.
(1)证明：是等腰三角形.
(2)若（异于两点）在线段上，且点靠近点，求的取值范围.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C B D C B A ACD AC
题号 11
答案 AC
12．1
13．
14．
15．（1），
因为是实数，所以，解得.
（2）因为，所以
解得，即的取值范围为.
（3）因为，所以，
化简得，
解得或.
16．（1）设是的中点，连接.
因为是边长为6的正三角形，
所以，且，
所以该几何体的表面积.
（2）连接，设交点为，连接，则是四棱锥的高，
则，所以.
又正方体的体积为，
所以该几何体的体积.
17．（1）因为，
所以，
整理得，
所以.
因为，所以.
（2）因为的面积，
所以.
又，所以，则.
又因为所以，
所以，
故，即的取值范围是.
18．（1）证明：因为分别是线段的中点，所以，
则，
所以
由正方形的性质可知，则
即，故.
（2）设，则.
由（1）可知，则.
因为，所以，
解得，则.
（3）设，则.
因为，所以.
因为是线段的中点，所以，所以.
因为三点共线，所以，解得，
则，故.
19．（1）证明：因为，
所以，
所以，
所以.
因为，所以，
所以，所以，即是等腰三角形.
（2）因为，所以，即，
解得舍去.
因为，所以.
由（1）可知，所以.
设，则.
在中，由正弦定理可得，
则.
在中，由正弦定理可得，
则.
因为，所以.
因为，所以，所以，
所以，即的取值范围为.

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