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2024-2025 学年广东省深圳外国语学校高中园高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 1 = 1 + i， 2 = 3 2i，则 1 + 2 =( )
A. 4 + i B. 2 3i C. 4 i D. 2 + 3i
2.如图所示，用符号语言可表达为( )
A. ∩ = ， ， ∩ = B. ∩ = ， ∈ ， ∩ =
C. ∩ = ， ， ， D. ∩ = ， ∈ ， ∈ ， ∈
3.若 1, 2 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是( )

A. 1 2, 2 1 B. 1+ 2, 1 + 3 2
C. 2 2 3
1
1, 6 1 4 2 D. 2 1 2, 1 2 2
4.如图，矩形 ′ ′ ′ ′是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形 的直观图，其中 ′ ′ =
4, ′ ′ = 1，那么 的面积为( )
A. 4 B. 4 2 C. 8 D. 8 2
5.已知 = (2,1), = (3,5)，则 在 上的投影向量为( )
A. 1 2 4 2 85 , 5 B. 5 , 5 C. 5 ,
4 12 6
5 . D. 5 , 5
6.如图，在 中， 为 的三等分点且靠近 点， 为 的中点，设 = ， = ，则向量 =( )
A. 12 +
1 B. 5 + 1 C. 14 6 3 3
5
6
D. 1 1 6 + 3
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7.已知向量 = (1, 1), = ( 1,3)，若 与 + 的夹角为锐角，则实数 的取值范围为( )
A. > 1 B. > 1 ≠ 1 C. < 1 D. < 12 2且 2 2且 ≠ 0
8.已知非零向量 与
满足 + = 0，且 = 2 2， + = 6 2，点 是
的边 上的动点，则 的最小值为( )
A. 1 B. 1 C. 1 D. 74 5 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 、 、 是三个向量，则下列结论中正确的是( )
A. = B. ( + ) = +
C. ( ) = ( ) D.若 = ，则 =
10.已知 , 是两个不重合的平面， , 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是( )
A.若 // , ⊥ ，则 ⊥ B.若 ⊥ , ∩ = , ⊥ ，则 ⊥
C.若 ⊥ , ⊥ ，则 // D.若 ⊥ , ⊥ , ⊥ ，则 ⊥
11 = 1+i.已知复数 1 i，以下结论正确的是( )
A. 2025是纯虚数
B. + i = 2
C. = 1
D.在复平面内，复数 + i 对应的点位于第三象限
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (1,2), = (3, )，且 // ，则 = ．
13.复数 满足| | = 1，则 2 i 的最大值为 ．
14.如图，正三棱柱 1 1 1的底面边长是 2，侧棱长是 2 3, 为 1 1的中点， 是侧面 1 1内的
动点，且 //平面 1，则点 的轨迹的长度为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知复数 满足(1 i) = 2 + 4 i，( ∈ , i 是虚数单位)．
(1)若 是纯虚数，求 的值；
(2)若 在复平面上对应的点在第二象限，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
如图，四面体 1 1的四个顶点均为长方体 1 1 1 1的顶点．
(1)若四面体 1 1各棱长均为 2，求该四面体的表面积和体积；
(2)若 1 = 3， = 2， 1 = 5，求四面体 1 1外接球的表面积．
17.(本小题 15 分)
2
如图所示，在四棱锥 中，在底面 中， = 3 ， 在棱 上且 = 2 ．
(1)求证： //平面 ；
(2)线段 上是否存在点 ，使得平面 // 平面 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由．
18.(本小题 17 分)
已知向量 = (0,2)， = (1, )，且 π与 的夹角为4．
(1)求 ， + 2 ；
(2)当实数 取何值时，向量 4 + 与 + 方向相反
(3)若 与 + 的夹角为锐角，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
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在锐角 中，内角 , , 所对的边分别为 , , ，且满足 sin sin sin + sin = sin sin sin ．
(1)求角 ；
2 2(2) + 求 2 的取值范围；
(3)当 = 1 时，角 的平分线交 于 ，求 长度的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(3,6)
13. 5 + 1/1 + 5
14.2
15.【详解】(1)由(1 i) = 2 + 4 i = 2+4 i (2+4 i)(1+i)，得 1 i = (1 i)(1+i) = 1 2 + (1 + 2 )i，
1 2 = 0 1
若 是纯虚数，则有 1 + 2 ≠ 0，所以 = 2．
(2)复数 在复平面内对应的点为(1 2 ,1 + 2 )，
1 2 < 0 1由 在复平面上对应的点在第二象限，得 1 + 2 > 0，解得 > 2，
所以实数 1的取值范围为 > 2．
16.【详解】(1)若四面体 1 1各棱长均为 2，
则长方体 1 1 1 1为棱长为 1 的正方体，且四面体 1 1为正四面体，
所以 1 1 1 = 4 × 2 × 2 × 2 × sin60° = 4 ×
1
2 × 2 × 2 ×
3
2 = 2 3，
3 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 4 1 = 1 4 × 3 × 2 × 1 × 1 × 1 = 3；
(2)由于四面体 1 1的四个顶点均为长方体 1 1 1 1的顶点，
所以四面体 1 1外接球与长方体的外接球是同一个球，
设此四面体所在长方体的棱长分别为 = ， 1 = ， = ，
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2 + 2 = 3 2 = 1
则 2 + 2 = 4，解得 2 = 2 ,
2 + 2 = 5 2 = 3
设长方体 1 1 1 1外接球的半径为 ，则(2 )2 = 2 + 2 + 2 = 6，则 2 =
3
2，
所以外接球的表面积为 4π 2 = 6π．
17.【详解】(1)因为 = 2 3 ，所以 // ，所以 // ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)
2
存在，且当点 为 上靠近 点三等分点时，即 = 3时，平面 //平面 ．
下面给出证明：
2
因为 = 23 ，所以 // ， = 3 ，
2
又因为点 为 上靠近 点三等分点，所以 = 3 ，
所以 // , = ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，
又因为 面 ， 面 ，
所以 //面 ，
1因为 在棱 上且 = 2 ，即 = 3 ，
又因为 = 13 ，
所以 △ ，
所以 // ，
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又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又因为 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
所以平面 //平面 ．
18. π【详解】(1)因为向量 = (0,2)， = (1, )，且 与 的夹角为4，
π 2 2
所以 cos 4 = = = = ，解得 = 1， 2 1+ 2 1+ 2 2
所以 = (1,1)，
所以 + 2 = (0,2) + 2(1,1) = (2,4)，
所以 + 2 = 22 + 42 = 20 = 2 5；
(2)因为向量 4 + 与 + 方向相反，
所以存在 < 0，使 4 + = ( + )，
4 = 因为 与 不共线，所以 = ,
= 2 = 2
解得 = 2 (舍去)，或 = 2 ,
所以 = 2；
(3)因为 = (0,2)， = (1,1)，
所以 = (0,2) (1,1) = ( , 2 )， + = (1,3)，
因为 与 + 的夹角为锐角，
所以 + > 0，且 与 + 的不共线，
由 + > 0，得 + 3(2 ) > 0 3，解得 < 2，
由 与 + 的不共线，得 2 ≠ 3 ，得 ≠ 1，
所以 < 32且 ≠ 1，
即实数 的取值范围为( ∞, 1) ∪ ( 1, 32 )．
19.【详解】(1)因为 sin sin sin + sin = sin sin sin ，
由正弦定理，可得( )( + ) = ( )，整理得 2 + 2 2 = ，
2+ 2 2 1
又由余弦定理，可得 cos = 2 = 2，
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又因为 ∈ (0, π) π，所以 = 3．
2 2 2 2
(2) + sin +sin 4由正弦定理，可得 2 = sin2 = 3 sin
2 + sin2 2π3
4 1 cos2 1 cos
4π 2
= + 3 = 4+ 2 π3 2 2 3 3 sin 2 6 ，
因为 π π π为锐角三角形，且 = 3，可得6 < < 2，
π π 5π 1 π 1 2 π 2
则 2 6 ∈ ( 6 , 6 )，可得2 < sin 2 6 ≤ 1，则3 < 3 sin 2 6 ≤ 3，
4 2 2
所以3 +
2 π 5
3 sin 2 6 ∈ 3 , 2
+ 5
，即 2 ∈ 3 , 2 ,
2+ 2 5
所以 2 的取值范围 3 , 2 ．
(3)设 长度为 ，
由 = +
1 1 1
，可得2 sin∠ = 2 sin∠ + 2 sin∠ ，
= π sin∠ = π因为 3，可得 6 , sin∠ =
π
6，
3
所以 3 = + ，可得 = + ，
2+ 2 2 1
又由余弦定理得 2 2 22 = cos = 2，所以 + = ，
则( + )2 = 2 + 3 = 1 + 3 ，
设 = + = sin sin + sin =
2
3 3 sin + sin
2
3π
π
= 2sin + 6 ∈ 3, 2 ,
22 2 1
= ( + ) 1 = 1 = 3
3×
= 3 = 3 1 3由 3 3 ，可得 + 3 ≤ 2 ，
所以 3长度的最大值为 2 ．
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