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2024-2025 学年内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( 2, 1)， = ( 1, 1)，则 cos , =( )
A. 3 55 B.
3 5
5 C.
3 10
10 D.
3 10
10
2.角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点 .已知 tan > sin > cos .则点 可能位于如图所
示单位圆的哪一段圆弧上( )

A. B. C. D.
3.下列命题中，真命题为( )
A. tan = 3的解集为 = π π3 , ∈ Z
B. sin = 1 cos = 3同时满足 2， 2 的角有且只有一个
C.若点 ( , 2 )( ≠ 0)为角 终边上一点，则 sin = 2 55
D. 5如果角 满足 3π < < 2π，那么角 是第二象限的角
4.已知 ∈ (0, π)，且 3cos2 8cos = 5，则 sin =( )
A. 5 B. 23 3 C.
1 D. 53 9
5 π.已知 ( ) = sin + 2 ， ( ) = cos
π
2 ，则下列命题中正确的是( )
A.函数 = ( ) ( )的最小正周期为 2π
B.函数 = ( ) ( )是偶函数
C.函数 = ( ) + ( )的最小值为 2
D.函数 = ( ) + ( ) 3π π的一个单调递增区间是 4 , 4
6.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，
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设扇形的面积为 1，圆面中剩余部分的面积为 2，当 1与 2的比值为
5 1时，扇面看上去形状较为美观，
2
那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )
A. (3 5) B. ( 5 1) C. ( 5 + 1) D. ( 5 2)
7.在 中，若 sin sin = cos2 2，则 是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
8.在 中， = 3, = 4, ∠ = 90°． 为 所在平面内的动点，且 = 1，则 的取值范围
是( )
A. [ 5,3] B. [ 3,5] C. [ 6,4] D. [ 4,6]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .已知函数 ( ) = tan + 3 ，则下列关于 ( )的判断正确的是( )
A. 在区间 6 , 上单调递增 B.最小正周期是
C. 图象关于直线 = 6成轴对称 D.图象关于点 6 , 0 成中心对称
10.已知向量 = ( 2, 1)， = (cos , sin )(0 )，则下列命题正确的是( )
A.若 ⊥ ，则 tan = 2
B. 1 2 若 在 上的投影向量长度为 2，则向量 与
的夹角为 3
C.存在 ，使得| + | = | | + | |
D. 的最大值为 3
11.把函数 ( ) = 3sin + cos (0 < < 3) 5π的图象向左平移12个单位长度，得到的函数图象关于原点对
称，则下列说法正确的是( )
A. ( )的最小正周期为π
B. ( ) π的图象关于直线 = 6对称
C. ( ) ( π , π在 12 4 )上单调递增
D.若 ( ) π 2π在区间[ 12 , )上存在极大值点和极小值点，则实数 的取值范围为( 3 , + ∞)
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 1 π 3π.已知 sin2 = 3，若4 < < 4，则 tan = ．
13.已知向量 , 2π的夹角为 3，且 = 1, +
⊥ ，则 = ．
14.已知 > 0，函数 ( ) = sin + 4 在 2 , 上单调递减，则 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = (1,1)， = (0, 2)．
(1)若 与 + 2 共线，求 的值．
(2)若 3 与 3 + 的夹角为90 ，求 的值．
(3)求向量 在向量 上投影的数量．
16.(本小题 15 分)
π 1 π sin π cos 2π cos
3
2π tan π (1)已知 sin 2 = log27 9，且 ∈ π, 2 ，求 5 的值．cos 2π cos 3π sin( )
(2)计算：2sinπ 3tan π6 + 5cos
3
2 π + 10cos0．
17.(本小题 15 分)

已知将向量 = ( 5,12)绕原点 旋转120 到 ′的位置，
(1)求点 ′的坐标．
(2)求三角形 ′面积．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = cos( + ) > 0, > 0, π2 < < 0 的部分图象如图所示．
(1)求 ( )的解析式；
(2)求 ( ) π在 2 , 0 上的值域；
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(3)若函数 ( ) = 2 ( ) 3 在(0, )上恰有三个零点，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = cos 2 3sin cos + sin2 ．
(1)求函数 ( )的单调递增区间和最小正周期；
(2)填写由函数 = 2sin 的图象变换得到 ( )的图像的过程；先将 = 2sin 图象上的所有点________，得到
= 2sin π π6 的图象；再把所得的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标________，得到 = 2sin 2 6
的图象．
(3) π若当 ∈ 0, 2 时，关于 的不等式 ( ) ≥ ________，求实数 的取值范围．
请选择①和②中的一个条件，其中，①有解；②恒成立．补全问题(3)，并求实数 的范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3 2 2
13.2
14. 1 , 52 4 ．
15.解：(1)因为 = (1,1)， = (0, 2)，
所以 = ( , + 2)， + 2 = (1, 3)，
+ 2 3 = + 2 = 1因为 与 共线，所以 ，解得 2；
(2)因为 3 = (3,3 + 2 )，3 + = (3,1)，
又 3 与 3 + 的夹角为90 ，
则 3 3 + = 3 × 3 + 3 + 2 = 0，解得 = 6；
(3)因为 = (1,1)， = (0, 2)，
所以 = 2， = 2，

所以向量 在向量 上投影的数量为 = 1．
16. 1 2 2 π解：(1)因为log 227 9 = log333 = 3 log33 = 3，又 sin 2 = cos ，
sin π又 2 = log
1 2
27 9，所以 cos = 3，
∈ π, π又 2 ，所以 sin = 1 cos
2 = 5 sin 53 ，则 tan = cos = 2 ，
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sin π cos 2π cos 32π tan π 所以
cos 52π cos 3π sin( )
= sin cos sin tan 5sin cos sin = tan = 2 ；
π 3
(2)2sinπ 3tan 6 + 5cos2π + 10cos0
= 0 3 × 33 + 0 + 10 = 10 3．
17.解：(1)因为 = ( 5,12)，所以 = ( 5)2 + 122 = 13，
设∠ = ，则 sin = 1213，cos =
5
13，
设 ′( 1, 1)，
若绕原点 逆时针旋转120 ，
则 1 = 13cos( + 120°) = 13 cos cos120° sin sin120°
= 13 513 ×
1 12 3 5
2 13 × 2 = 2 6 3，
1 = 13sin( + 120°) = 13 sin cos120° + cos sin120°
= 13 12 × 1 + 5 × 3 = 6 5 313 2 13 2 2 ，
′ 5所以 2 6 3, 6
5 3
2 ；
若绕原点 顺时针旋转120 ，
则 1 = 13cos( 120°) = 13 cos cos120° + sin sin120°
= 13 513 ×
1
2 +
12 3 5
13 × 2 = 2 + 6 3，
1 = 13sin( 120°) = 13 sin cos120° cos sin120°
= 13 1213 ×
1
2
5 3 5 3
13 × 2 = 6+ 2 ，
5
所以 ′ 2+ 6 3, 6 +
5 3
2 ；
综上可得 ′ 52 6 3, 6
5 3
或 ′ 52 2+ 6 3, 6 +
5 3
2 ．
(2) 因为 = 13， ′ = 13，∠ ′ = 120°，
= 1 所以 ′ ′ 2 sin∠
′ = 12 × 13 × 13 ×
3 169 3
2 = 4 ．
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18. (1) ( ) = 3 = 4 × 7π π解： 由函数 的图象，可得 ， 12 3 = π，
2π
则 = π = 2，所以 ( ) = 3cos(2 + )．
7π , 3 2 × 7π将点 12 代入函数解析式可得 12 + = π + 2 π, ( ∈ Z)，
= π+ 2 π( ∈ Z) π π解得 6 ，因为 2 < < 0，所以 = 6，
所以 ( ) = 3cos 2 π6 ；
(2) π 7π π π π 3因为 ∈ 2 , 0 ，所以 6 ≤ 2 6 ≤ 6，所以 1 ≤ cos 2 6 ≤ 2 ，
所以 ( ) = 3cos 2 π 3 36 ∈ 3, 2 ，
即 ( )在 π2 , 0 上的值域为 3,
3 3
2 ；
(3)由(1)知 ( ) = 3cos 2 π6 ，则 ( ) = 2 ( ) 3 = 6cos 2
π
6 3，
由函数 ( ) = 2 ( ) 3 在(0, )上恰有 3 个零点，
即 6cos 2 π π 16 3 = 0 在(0, )上恰有 3 个解，即 cos 2 6 = 2在(0, )上恰有 3 个解，
因为 ∈ (0, )，所以 2 π π π6 ∈ 6 , 2 6 ，
7π < 2 π ≤ 11π 5π < ≤ 23π ∈ 5π则 3 6 3 ，解得 4 12 ，故 4 ,
23π
12 ．
19.解：(1)因为 ( ) = cos 2 3sin cos + sin2
= 2 3sin cos cos2 + sin2
= 3sin2 cos2 = 2 3 sin2 1 cos2 = 2sin 2 π2 2 6 ，
所以函数 ( )的最小正周期 = π；
由 π+ 2 π ≤ 2 π π π π2 6 ≤ 2 + 2 π, ∈ Z，得 6 + π ≤ ≤ 3 + π, ∈ Z，
所以函数 ( ) π π的单调增区间为 6 + π, 3 + π , ∈ Z．
(2)先将 = 2sin π图象上的所有点向右平移6个单位长度，得到 = 2sin
π
6 的图象；
= 2sin π 1再把 6 的图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2，得到 ( ) = 2sin 2
π
6 的图
象．
(3)若选择①，不等式 ( ) ≥ 有解，即 ≤ ( )max，
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∈ 0, π π由 2 ，得 6 ≤ 2
π
6 ≤
5π
6 ，
2 π π π π则当 6 = 2，即 = 3时， ( )取得最大值，且最大值为 3 = 2，
所以 ≤ 2．
若选择②，不等式 ( ) ≥ 恒成立，即 ≤ ( )min．
∈ 0, π π π 5π由 2 ，得 6 ≤ 2 6 ≤ 6 ，
π π
则当 2 6 = 6，即 = 0 时， ( )取得最小值，且最小值为 (0) = 1．
所以 ≤ 1．
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