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2024-2025 学年广东省陆丰市东海新龙中学高一下学期第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = ≥ 3 ， = 2 > 16 ，则 ∩ =( )
A. B. (4, + ∞) C. [3, + ∞) D. [3,4)
2.已知平面上三点 (2,1), (4,2), (0,1)，则 的值为( )
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
3.下列函数在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A. ( ) = 3 B. ( ) = + 1 C. ( ) = e
1e D. ( ) = tan
4.若函数 ( ) = sin(2 + )( ∈ 0, π ) π图象的一条对称轴为 = 6，则 =( )
A. π B. π C. 2π6 3 3 D.
5π
6
2
5.函数 ( ) = 1 的图象为( )
A. B. C. D.
6.若关于 的不等式 2 + + > 0 的解集为 | 1 < < 2 }，则 2 + + ≤ 0 的解集为( )
A. | 1 ≤ ≤ 2 } B. | 1 ≤ ≤ 12
C. { 1 ≤ ≤ 12且 ≠ 0} D. { | ≤ 1 或 ≥
1
2 }
7.在等腰梯形 中， = 2 ． 为 的中点，则 =( )
A. 1 + 1 B. 3 1 3 12 2 4 + 2 C. 4 + 4
D. 1 + 3 2 4
8.已知函数 ( ) = sin( + )( ∈ , > 0, > 0, | | < π2 )的部分图象如图所示，则下列说法正确的是
( )
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A. + π3 为偶函数
B. ( ) π的图象向右平移6个单位长度后得到 = sin2 的图象
C. ( )图象的对称轴为 = 2π +
π
6， ∈
D. ( ) π在区间 0, 2 上的最小值为 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. = (0,0), = (1,2) B. = (0,1), = ( 2,0)
C. = (1, 2), = (1,2) D. = (2, 3), = 1 32 , 4
10.已知 = 3rad，则( )
A. sin cos > 0 B. sin tan < 0 C. cos tan < 0 D. sin cos > 0
11.若单位向量 ， 满足 + = 3，则( )
A. = 1 B. 与 π的夹角为3
C. ⊥ 2 D. 在 1上的投影向量为 2

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.sin 2040 的值为 ．
13.已知 = (0,3)， = (1,2 + 1)， = (1 , 5)，且 ， ， 三点共线，则实数 = ．
14.设函数 ( ) = 2sin( + )( > 0,0 < < π) (0) = ( 2 π π 4π， 9π) = ( 3 )，且 ( )在( 6 , 9 )上单调递减，
则 的值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 = 4， = 2，且 与 的夹角为 120°，求：
(1) 2 ；
(2)若向量 2 与 3 平行，求实数 的值．
16.(本小题 15 分)
已知向量 = (1,2)， = (2, )．
(1)若 ⊥ ( )，求 ；
(2)若向量 = ( 3, 2)， //( + )，求 与 夹角的余弦值．
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17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0, | | < π2 )的部分图象如图所示．
(1)求 ( )的解析式；
(2) 4 9 10设 ， 为锐角，sin = 5，cos( + ) = 50 ，求 ( )的值．
18.(本小题 17 分)
→ → → →
已知向量 = ( 3cos + sin , 1), = (sin , 12 )，函数 ( ) = ．
(1)求 ( )的最小正周期 ；
(2)求函数 ( )在 ∈ 0, π2 的单调增区间；
(3) π求函数 ( )在 0, 2 的值域．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = sin 2 + π3 + sin 2
π 2
3 + 2cos 1, ∈ R．
(1)求函数 ( )的最小正周期和对称轴方程;
(2)解关于 的不等式 ( ) ≥ 1;
(3)将函数 ( ) 3π的图象向右平移 8 个单位长度后得到 ( )的图象，求函数 = ( ) + 2cos 在 0,
π
2 上的值域．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 32
13. 1 或 3
14.3
2 2
15.【详解】(1) 2 = 4 2 2 × 2 + = 64 4 × 4 × 2 × cos120° + 4 = 84，
所以 2 = 84 = 2 21．
(2)由于向量 2 与 3 平行，
所以存在实数 ，使得 2 = 3 = 3 ，
2 =
所以 = 3 ，解得 =± 6．
16.【详解】(1)因为 ⊥ ( )，
所以 = 0，
所以 = 0，又 = (1,2)， = (2, )，
所以 1 + 4 (2 + 2 ) = 0，
3
所以 = 2，
3
所以 = 2, 2 ，
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2
所以 = 22 + 3 52 = 2，
即 = 52；
(2)因为 = (1,2)， = (2, )， = ( 3, 2)，
所以 + = ( 1, 2)，又 //( + )，
所以 1 × ( 2) = ( 1) × 2，
所以 = 0，所以 = (2,0)，
所以 = 2， = 5， = 2，
设 与 夹角为 ，
所以 cos = 2 55×2 = 5 ，
所以 与 5夹角的余弦值为 5 ．
17.【详解】(1) 2π π 3π由图可得 = | | = 2 × 4 + 4 ，且 > 0，解得 = 1，
3π
由 4 = sin
3π
4 + = 0，| | <
π π
2，解得 = 4，
由 (0) = sin π4 = 1， > 0，解得 = 2，
故 ( ) = 2sin + π4 ；
(2)因为 ， 为锐角，cos( + ) < 0，所以 + 为钝角，
sin = 4因为 5，cos( + ) =
9 10
50 ，
所以 sin( + ) = 13 1050 ，cos =
3
5，
sin = sin( + ) = sin( + )cos cos( + )sin
= 13 10 × 3 + 9 10 × 4 = 3 1050 5 50 5 10 ，
cos = 10则 10 ，
π
所以 ( ) = 2sin + 4 = sin + cos =
2 10
5 ．
18. → →【详解】(1)依题意，函数 ( ) = = sin 3cos + sin + 12 = 3sin cos + sin
2 + 12
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= 32 sin2
1
2 cos2 + 1 = sin 2
π
6 + 1，
2π
故最小正周期 = 2 = π．
(2) ∈ 0, π π π 5π因为 2 ，则 6 ≤ 2 6 ≤ 6 ，
结合正弦函数图象，令 π6 ≤ 2
π π π
6 ≤ 2，得 0 ≤ ≤ 3，
所以 ( ) π的单调增区间为 0, 3 ．
(3) π π 5π由(2)知，2 6 ∈ 6 , 6 ，
π 1
结合正弦函数图象得，sin 2 6 ∈ 2 , 1 ，
π 1
则 sin 2 6 + 1 ∈ 2 , 2 ，
所以 ( )在 ∈ 0, π 12 的值域为 2 , 2 ．
19.【详解】(1) ( ) = sin 2 + π3 + sin 2
π
3 + 2cos
2 1
π π π π
= sin2 cos 3 + cos2 sin 3 + sin2 cos 3 cos2 sin 3 + cos2
= sin2 + cos2 = 2sin 2 + π4 ，
函数 ( ) 2π的最小正周期 = = π．
2 + π π π π令 4 = 2 + π, ∈ Z，解得 = 8 + 2 , ∈ Z，
所以 ( )的对称轴方程为 = π8 +
π
2 , ∈ Z．
(2) ( ) ≥ 1 即 2sin 2 + π4 ≥ 1, sin 2 +
π 2
4 ≥ 2 ，
π π 3π π
所以4 + 2 π ≤ 2 + 4 ≤ 4 + 2 π, ∈ Z，解得 ∈ π, 4 + π , ∈ Z．
(3) 3π π π由题知 ( ) = 2sin 2 8 + 4 = 2sin 2 2 = 2cos2 ，
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则 = 2cos2 + 2cos = 2 2cos2 1 + 2cos
= 2 2cos2 + 2cos + 2，
令 = cos ，因为 ∈ 0, π2 ，所以 ∈ [0,1]
2
则 = 2 2 2 + 2 + 2 = 2 2 2 + 5 24 4 ，
2
因为二次函数开口向下，且对称轴为 = 4 ，所以
当 = 2 5 24 时， max = 4 ;当 = 1 时， min = 2 2．
5 2
综上可知所求值域为[2 2, 4 ]．
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