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2024-2025 学年广东省广州市第七中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量 = ( 3, 1)， = ( 3, ).若 与 共线，则实数 =( )
A. 1 B. 1 C. 3 D. 3
2 5i.在复数范围内，复数 = 1 2i的共轭复数的模是( )
A. 2 5 B. 5 C. 2 5 D. 55 5
3.已知 , , 为球 的球面上的三个点，⊙ 1为 的外接圆，若⊙ 1的面积为 4π， = = = 1，
则球 的表面积为( )
A. 64π B. 48π C. 36π D. 32π
4. 中，角 , , 的对边分别为 , , ，且满足 2 cos = 2 + ，则角 的值为
A. 30 B. 60 C. 120 D. 150
5.设向量 , 满足 + = 10， = 6，则 =
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
6 π.已知正三棱台的下底面边长为 2 3，侧棱长为 2，侧棱与底面所成的角为3，则该三棱台的体积为( )
A. 174 B.
13
3 C.
14 21
3 D. 4
7.如图，三棱锥 中， 是等边三角形，且 = = ，点 在棱 上，点 在棱 上，并使

=

= ，其中 0 < ，设 为异面直线 与 所成的角， 为异面直线 与 所成的角，则 + 的值
为( )
A. π π6 B. 4 C.
π
2 D.与 有关的变量
8.如图， 是圆台上底面的圆心， ， 是圆台下底面圆周上的两个动点， 是圆台的一条母线，记圆台的
上、下底面圆的半径分别为 ， .若 = = 2 ， //平面 ，且 的最小值为 6，则该圆台的体积为
( )
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A. 7 33 π B. 15π C. 21π D. 18 3π
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 是复数，其在复平面内对应的点为 ，下列说法正确的是( )
A. 为纯虚数
B.若| | = 2 1 1，则 = 2
C.若 + i = 1，则 的轨迹是以(0, 1)为圆心，半径为 1 的圆
D.若 i = 0，则 i + = 0
10.如图是一个正方体的表面展开图，则在原正方体中，( )
A.直线 与 垂直 B.直线 与 平行
C.直线 与 异面 D.直线 与 成 60°角
11.如图，已知棱长为 2 的正方体 ′ ′ ′ ′中， , 分别是棱 ′ ′， ′的中点， 为棱 上
一点，动点 在线段 ′ 上，动点 在正方形 ′ ′内及其边界上，且 = .记点 的轨迹为曲线Ω，
则( )
A.曲线Ω的长度为 3π
B.存在 , ，使得 //平面 ′
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C. ′ = ′
D. π当 ′ 与Ω只有一个公共点时，∠ ′ = 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图为某折扇展开后的平面示意图，已知 = 3， = 1，∠ = 120 ，则 = ．
13.如图，斜三棱柱 1 1 1中，底面是边长为 1 的正三角形，侧棱长为 2，∠ 1 = ∠ 1 = 45°，
则该斜三棱柱的侧面积是 ．
14.在 中，有以下四个说法：
①若 为锐角三角形，则 sin < cos ；
②若 > ，则 cos2 < cos2 ；
③存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的两倍；
④存在三边为连续自然数的三角形，使得最大角是最小角的三倍；
其中正确的说法有 (把你认为正确的序号都填在横线上)．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 , , ， = 3 54，sin = 5
(1)求 sin 的值；
(2)若 = 5，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
在底面为平行四边形的四棱锥 中， ， 分别为棱 ， 的中点．
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(1)求证： //平面 ；
(2)设平面 ∩平面 = ，求证： /\ !/平面 ．
17.(本小题 15 分)
如图，在 中， = 2， = 4.点 在边 上，且 = ．
(1) = 12， =
2
3，求
；
(2) = 15， 恰为 边上的高，求角 ；
(3) = 3，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
记 的内角 , , 的对边分别为 , , + = sin sin∠ ，如图，已知 sin sin∠ , = 2，点 在边 上， = 7．
(1)求 sin∠ ；
(2)若 sin∠ = 2sin ，求线段 的长．
19.(本小题 17 分)
离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为
1 = 1 2π ∠ 1 2 + ∠ 2 3 + + ∠ 1 + ∠ 1 ，其中 ( = 1,2, , , ≥ 3)为多面体 的所
有与点 相邻的顶点，且平面 1 2，平面 2 3，…，平面 1 和平面 1为多面体 的所有以 为
公共点的面．已知三棱锥 如图所示．
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(1)求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若 ⊥平面 ， ⊥ ， = = 4 3，三棱锥 在顶点 处的离散曲率为8，求点 到平面
的距离；
(3)在(2) 30的前提下，又知点 在棱 上，直线 与平面 所成角的余弦值为 6 ，求 的长度．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.2 + 2 2/2 2 + 2
14.②③
15. 3 【详解】(1)因为 = 4，则 ∈ 0, 4 ，所以 cos = 1 sin
2 = 2 5 5 ，由已知得 = 4 ，
所以 sin = sin 4 = sin

4 cos cos
2
4 sin = 2 cos sin =
2 2 5 5 = 102 5 5 10 .
(2) sin 10 1 1由正弦定理得sin = sin ， = sin = 5 ，又 = 5，则 = 10，所以 的面积 = 2 sin = 2 ×
10 × 5 × 10 510 = 2．
16.【详解】(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 ， 分别为 ， 的中点，所以 /\ !/ 1，且 = 2 ，
又因为 为 1的中点，所以 = 2 ，
在平行四边形 中，有 /\ !/ , = ，则 /\ !/ , = ，
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所以四边形 为平行四边形，所以 /\ !/ ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 /\ !/平面 ；
(2)在平行四边形 中，有 /\ !/ ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 /\ !/平面 ，
又因为平面 ∩平面 = ， 面 ，所以 /\ !/ ，
又因为 平面 ， 平面 ，所以 /\ !/平面 ．
17.【详解】(1)由题，因为 = 12，所以 =
1 2 ，即点 为边 的中点，
所以 = 1 2 + ，
2
因为 = 3， = 2， = 4，
所以 = 1
2
+
2
4 + 2
= 14 × 4
2 + 22 2 × 4 × 2 × 12 = 3．
(2) = 1 = 1由题，因为 ，所以 5 5
= 1 5
，
因为 恰为 边上的高，所以 ⊥ ，
因为 = + = + 1 5
= 45
+ 1 ， = 5 ，
且 = 2， = 4，
所以 = 4 + 1 = 4
2
4 1 1
2
5 5 5 5 + 5 5
= 4 2 35 × 2 5 × 2 × 4 × cos
1
5 × 4
2 = 0，

所以 cos = 0，则 = 2．
(3)由题， = ，
则 = + = + = + = + (1 ) ，
因为 = 3，且 = 2， = 4，
2 2 2
所以 = 2 + (1 )2 + 2 (1 ) ，
则 9 = 16 2 + 4 1 2 + 2 + 16 16 2 cos ，
20 2cos = 8 5所以 16 2 16 ，
20 2
因为 1 < cos < 1 8 5，则 1 < 16 2 16 < 1，
因为 0 < < 1，则 16 2 16 < 0，
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1
解得2 < <
5
6．
18. (1) + = sin sin∠ 【详解】 因为 sin sin∠ ，
+
由正弦定理可得 2 2 = ，即 +
2 = ．
2+ 2 2 1 π
由余弦定理可得 cos = 2 = 2 = 2，又 ∈ (0, π)，所以 = 3．
在 中，由正弦定理可得sin∠ = sin ，
sin 2×
3
所以 sin∠ = = 2 = 21 7 7 ．
(2)在 中，由正弦定理可得sin∠ = sin ，
又 sin∠ = 2sin ，所以 = 2 = 2 7．
因为 > ，所以∠ 为锐角，则∠ 为钝角，
21 2
所以 cos∠ = 1 sin2∠ = 1 sin2∠ = 1 = 2 77 7 ．
在 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
即 28 = 2 + 7 2 7 2 77 ，
即 2 + 4 21 = 0，解得 = 3(负值舍去)．
故线段 的长为 3．
19.【详解】(1) 1根据离散曲率的定义得 = 1 2π (∠ + ∠ + ∠ )，
1 = 1 2π (∠ + ∠ + ∠ ), = 1
1
2π (∠ + ∠ + ∠ )，
1 = 1 2π (∠ + ∠ + ∠ )，
又因为∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠ + ∠
+∠ + ∠ + ∠ = 4π，
所以 + + + = 4
1
2π × 4π = 2．
(2) ∵ ⊥平面 , 平面 ，∴ ⊥ ，
又∵ ⊥ , ∩ = ， , 平面 ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ 1 = 1 2π (∠ + ∠ + ∠ ) =
3
8，即 1
1
2π ∠ +
π π 3
2 + 2 = 8
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∴ ∠ = π4，∴ = = = 4，过点 作 ⊥ 于点 ，
由 ⊥平面 , 平面 ，得 ⊥ ，
又 ∩ = , , 平面 ，则 ⊥平面 ，
因此点 到平面 的距离为线段 的长，在 Rt 中， = sin∠ = 4 × 22 = 2 2，
∴点 到平面 的距离为 2 2．
(3)过点 作 /\ !/ 交 于 ，连结 ，
∵ ⊥平面 ，∴ ⊥平面 ，
∴ ∠ 为直线 与平面 所成的角，
依题意可得， = 4, = 2 + 2 = 42 + 42 = 4 2，
2
= 2 + 2 = 42 + 4 2 = 4 3，
sin∠ = 3 = 3 ，cos∠ =
= 6 3 ，
设 = (0 < ≤ 4 3)，则 = sin∠ = 33 , = cos∠ =
6
3 ，
在 中， = 2 + 2 2 cos∠ = 16 + 2 23 2 × 4
6 2
3 2 =
16 + 2 2 8 33 3 ，
又 cos∠ = 306 ，所以 sin∠ = 1 cos
2∠ = 66 ，
tan∠ = sin∠ 5则 cos∠ = 5 ，
3
∴ tan∠ = = 3 5 4 3 = ，解得： = 或 = 4 3(舍)16+2 2 8 3 5 33 3
故 = 4 33 ．
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