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江西省上进联考2025届高三下学期5月高考适应性大练兵联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知中，，，，则( )
A. B. C. D.
3.任意一圆锥的表面积与其侧面积之比的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知函数为奇函数，则( )
A. B. C. D.
5.记为等差数列的前项和，且，则满足的的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，过作平行于轴的直线交于，两点，若，则的离心率为( )
A. B. C. D.
7.已知编号为，，的箱中各装有除颜色外完全相同的若干个红球和蓝球，且各箱中的小球总个数之比为，红球在，，号箱中分别占，，从个箱中的所有球中随机取出一个球，若每个球被取出的概率相等，在取出的球为红球的条件下，该球取自号箱中的概率为( )
A. B. C. D.
8.函数在区间上的极值点个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则在方向上的投影向量的坐标为
10.已知双曲线的左、右焦点分别为，，，是上两点，其中在的右支上，是的斜率为正的渐近线，是上一点已知，则( )
A. 若在的左支上，则为的左顶点
B. 若，则
C. 若轴，则
D. 若点在的右支上，则
11.若无穷数列对于任意正整数，均有，则称是形数列，则( )
A. 数列是形数列
B. “数列是形数列”的充要条件是“”
C. 若正项单调数列是形数列，则是形数列
D. 若两个正项递增数列，均是形数列，则对于任意正整数，，均有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，若为纯虚数，则 ．
13.某高校的一名教授为了完成一个实验课题，将名研究生助理分配到个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题，要求每名研究生助理只去个实验室进行实验，且每个实验室至少安排名研究生助理，则不同的安排方法的种数共有 用数字作答
14.记为数列的前项和，且，，已知每一项中每个数字出现的可能性相同，则是奇数的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某地理考察团队在甲、乙、丙三个区域内各抽取了条河流对其平均含沙量单位：进行测量，得到如下表格数据．
区域 含沙量
甲 ，，，，，
乙 ，，，，，
丙 ，，，，，
求甲区域河流平均含沙量数据的第百分位数与乙区域河流平均含沙量数据的方差
从丙区域所抽取的河流中再抽取条，记其中平均含沙量大于的条数为，求的分布列及数学期望．
16.本小题分
已知为抛物线的焦点，为的准线与轴的交点，在轴正半轴上，直线交于，两点，在线段上，且四边形为菱形．
求用表示
证明：为线段的中点．
17.本小题分
如图，平面五边形中，，，，，设的中点为，将四边形沿折起至四边形，使得二面角为．
求五面体的体积
判断在同一平面中相互平行的两条直线，在平面经过折叠后是否一定依然平行，并结合平面五边形经折叠得到五面体的变化，证明你的判断
求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数，．
当时，证明：有且仅有一个零点
若曲线与相切．
(ⅰ)求
(ⅱ)当时，证明：．
19.本小题分
利用多波束测深可以进行海洋测绘如图为探测船沿着固定测线利用探测器进行单测线测绘的示意图其中海底坡面可视为与海底平面成角的光滑平面，探测器可探测平面与测线垂直探测船在海平面内沿着与海底坡面平行的测线行驶，且探测过程中以竖直线为角平分线向下探测形成开角，可探测海底坡面内线段长为已知探测船到海底坡面的竖直距离为，假设海底坡面足够长，且始终存在．
当，，时，求的长度
求关于，与的表达式
保持不变，证明：当不变时，随的增大而增大当不变时，随的增大而增大．
参考答案
1.
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3.
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13.
14.
15.解：将甲区域平均含沙量数据按照从小到大排序为：，，，，，，由于，故甲区域河流平均含沙量数据的第百分位数为，乙区域河流平均含沙量数据的
平均数，
方差．
丙区域含沙量大于的数据有个，不大于的数据有个，故的可能取值为，，且，，，故的分布列为：
数学期望．
16.解：由题可知，，，
所以菱形的边长为，因为在轴正半轴上，所以，
故D，所以
证明：易得直线的方程为
与的方程联立得，整理得，解得，，
由题知点在轴上方，所以，，
因为，，
所以为线段的中点．
17.解：因为，，
所以为二面角的平面角，所以．
如图，分别取，的中点，，连接，，，
则五面体分割为三棱柱与四棱锥，
三棱柱的体积为，
点到平面的距离，
四棱锥的体积为，
所以五面体的体积为．
否，
理由如下：易知平面五边形中，，
折叠成为五面体后，对应，对应，
因为，，三点共面，而点不在平面内，故直线与不可能平行，
故在同一平面中相互平行的两条直线，在平面经过折叠后不一定平行．
以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，平面中过点作垂直于的直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
故，，，
设为平面的法向量，则
可以取，
设与平面所成的角为，则，
故与平面所成角的正弦值为．
18.证明：当时，，显然是增函数，
而，，故在区间上有零点，
结合的单调性可知其在上有且仅有一个零点．
解：不妨记切点为，则，，，
故切线方程为，
即，
令其与重合，故
则，，．
若，则显然有，这与题设条件矛盾
若，则由，可知二者不在处相切，矛盾故，
于是，经验证，符合题意．
综上，．
证明：设，则，
由可知，
设，．
当时，，单调递减当时，，单调递增．
故F，于是，，．
19.解：绘制截面图如图所示．
其中平面为过海底坡面且平行于海底平面的假想平面，直线为该假想平面的所截直线．
延长直线与交于点，易知且，
又，，则，则．
又，故，则，
故L．
解：在与中，
由正弦定理分别有，．
而，故，
则
联立有；
证明：由可得，
设，则．
令，由于当时，，故等价于，
由于，故恒成立，
也即恒成立，即随的增大而增大．
又，
当时，且单调递减，故随的增大而减小．
又，故在不变时随的增大而减小，由此可得随的增大而增大．
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