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江苏省南通市2025届高三下学期基地大联考模拟预测
数学试卷(南通四模)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.设，为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.记数列的前项和为，若，，且是公比为的等比数列，则( )
A. B. C. D.
5.一个数阵有行列，第一行中的个数互不相同，其余行都由这个数以不同的顺序组成如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取( )
A. B. C. D.
6.若半径为的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某研究机构随机选取了位高三女生及其父亲的身高数据进行研究，计算得到样本相关系数，女生身高单位：关于父亲身高单位：的经验回归方程为，下列判断正确的是( )
A. 女生身高和父亲身高正相关
B. 女生身高和父亲身高不存在相关关系
C. 已知父亲身高为，估计女儿的身高为
D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
10.已知函数，，则( )
A.
B.
C. 在上有个零点
D. 有个零点
11.在棱长为的正方体中，是其表面上一点，且与所成的角为，下列说法正确的是( )
A. 若是的中点，则
B. 若在线段上，则
C. 若，则的轨迹长度是
D. 若，则不在面上
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线与椭圆交于，两点，，则的离心率为 ．
13.心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率假设一个学生有个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了个单词该学生记忆个单词大约需要 ．
14.在中，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，是首项和公差均为的等差数列．
求数列的通项公式
若，求的最小值．
16.本小题分
如图，在三棱台中，平面，，．
证明：平面平面
若二面角的正切值为，求．
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程
若在单调递减，求实数的取值范围．
18.本小题分
某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处若前一次投进，则下一次投篮位置不变在处每次投进得分，否则得分在处每次投进得分，否则得分已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为．
求的分布列及数学期望
求的通项公式
证明：．
参考公式：若，是离散型随机变量，则．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆，直线，动圆与圆外切且与相切，记圆心的轨迹为曲线．
求的方程
经过点的直线与交于，两点．
是上异于的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，若，证明：
(ⅱ)记线段的中点为，，是否存在直线，使得，，均为正整数，若存在，求直线的方程若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为是公差为的等差数列，且，
所以，则．
当时，，
又因为，所以．
因为，
所以，
当，时，，
当，时，，
所以当时，的最小值为．
16.因为平面，平面，所以．
又因为，，平面，，
所以平面因为平面，所以平面平面．
设，，
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
所以，设平面的法向量为，
则令，得，，所以．
又是平面的一个法向量，所以，，
化简得，又因为，解得或舍，所以．

17.解：因为，故切线的斜率为，
所以在点处的切线方程为．
由题意对恒成立，
且对的任意子区间不恒成立，
即，
设，则，
设，
则对恒成立，
即在上单调递减，
故G，
从而对恒成立，
故在上单调递减，
所以．
18.解：设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件，
，，依题意，的可能取值为，，，．
，
，
，
，
所以的概率分布为
分．
当时，甲第次在处投篮分两种情形：
第次在处投篮且投进，这种情形概率为
第次在处投篮且未投进，这种情形概率为所以，
故，因为，所以是以为首项，为公比的等比数列．
所以，即，，，，．
因为第次在处投篮的概率为，在处投篮的概率为，
记第次得分，则的可能取值为，，，
，
，
，
所以，
因为，
所以
，
因为，
所以．
19.解：设圆心，圆的半径为，则消去，得，
当时，，舍去；
当时，，
所以的方程为．
由题意可知，直线的斜率存在且不为．
设，联立消，得，
设，，则
设，，
因为，则．，
因为，，是上三点，则，，，，所以，
则，化简得，．
，
同理，
所以．
由，得由，，消去，得，
假设存在直线，使得，，均为正整数，
则是的正整数倍，进而，都是的正整数倍，
不妨设，，，则
消去，得，即．
因为，有相同的奇偶性，且，
所以解得
所以，，所以，与，，均为正整数矛盾，
所以不存在，使得，，均为正整数．
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