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江西省新八校2025届高三下学期第二次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知为等差数列，其前项和为，若，则下列各式的值不能确定的是( )
A. B. C. D.
5.已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于的同学人数是( )
甲同学：中位数为，众数为
乙同学：中位数为，平均数为
丙同学：第百分位数为，极差为
丁同学：有一个数据为，平均数为，方差为
A. B. C. D.
7.过双曲线的中心作直线与双曲线交于、两点，设双曲线的右焦点为，已知，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知正方体的棱长为，点在正方体内包含表面运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数为常数，且函数为奇函数，则下列结论正确的是( )
A. 的最小正周期为
B.
C. 与的图象有相同的对称轴
D. 当时，方程有且仅有个实根
10.已知函数的定义域为，，且，，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
11.某同学在平面直角坐标系中画出了一朵四叶草图案，图案的边界线条可看作曲线，已知曲线上的点到坐标原点的距离的立方等于该点到两坐标轴的距离乘积，对于曲线，以下结论正确的是( )
A. 曲线是中心对称图形
B. 曲线有且只有两条对称轴
C. 曲线上两点之间的最大距离为
D. 曲线上的点的纵坐标的范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角、的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边关于轴对称，若，则 ．
13.某公司举行抽奖活动，在箱子里装有个红球和个黑球，这些小球除颜色外完全相同在一次抽奖过程中，某员工从中一次性抽取两个小球，抽出两个小球颜色均为红色视为中奖，其余情况均未中奖假设在有放回地连续次抽奖中恰好中奖一次的概率为，则当取到最大值时的值为 ．
14.已知数列满足：，现依次写出的前若干项，若在第项恰好第三次出现，则所有可能的取值集合为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，．
求角；
若边上的中线长为，求的面积．
16.本小题分
如图，四棱锥中，底面是平行四边形，，，，且．
证明：平面平面；
求平面与平面所成夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆经过点和点．
求椭圆的方程；
设点，若在椭圆上存在不关于长轴对称的两点，满足，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
证明：时，；
判断函数的零点个数．
19.本小题分
通过抛掷质地均匀的硬币产生随机数列，具体产生方式为：若第次抛掷的结果为反面朝上，则；结果为正面朝上，则所有总项数为项的数列组成集合．
已知，且所有项的和为，求的概率；
可用软件产生类似的随机数列，也满足若“”的概率为，“”的概率为，“且”的概率为，求“且”的概率；
在集合中任取两个不同元素、记．的均值为，证明：．
参考答案
1.
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3.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：在中，由及余弦定理，得，
整理得，因此，而，
所以．
令边上的中线为，则，又，
则，
由知，所以，于是，
所以的面积．
16.解：证明：因为是平行四边形，所以，
又，，，
所以，解得负值已舍去，
所以，即，所以，
又，即，
又，平面，
所以平面，
又四边形是平行四边形，
所以，所以平面，
又平面，所以平面平面；
因为，设，则为的中点，
连接，则，如图，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
在平面中，作交于点，
而平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
作，交于点，连接，
因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，又平面，
所以，所以即为平面与平面夹角，
又，，
在中，由等面积法可得，
所以，则，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：依题意，，解得，
所以椭圆的方程为．
依题意设，且，
由，得，
则，
因，，
则，
代入式，可得：，
化简得，
因，得，
即得，
故实数的取值范围是．
18.解：函数，求导得，
则，而，
所以所求切线方程为，即．
证明：不等式，
令函数，即，
而，
求导得，
则函数在上单调递增，，
所以．
函数的零点个数，即方程根的个数，
而时，方程不成立，则原函数零点个数即为方程根的个数，
令，原函数零点个数即为函数的零点个数，
当时，，而，则，
因此函数在时无零点；
当时，，函数在上单调递增，
，因此函数在时只有一个零点；
当时，令，求导得，
显然函数在上单调递增，而，，
则存在使得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
则存在，使得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
而，因此函数在上只有一个零点；
当时，，即，
因此函数在时无零点，
所以函数有个零点，即函数的零点个数为．
19.解：由题意满足的数列有个，
其中满足，即中满足有项为，项为的数列有个，
所以．
记事件“”，“”，由题意得，
求且的概率即求的值，
法一：，
又，
，
所以且的概率为；
法二：，
，
所以且的概率为．
证明：因为数列是从集合中任意取出的两个不同数列，
所以的可能取值为：对应的取值为：，
当时，数列对应位置的项中有项取值不同，有项取值相同；
从项中选择取值不同的项位置，有种情况，
和在这项的任一位置数字不同，每个位置都有种情况，
比如第个位置可以是，
也可以是，共有种情况；其余项，两者均在同一位置数字相同，
每个位置都有两种情况，共有种情况，由于，
所以此问题为组合问题，故所有的情况会重复次，故共有种情况，
又因为集合中元素的个数共有个，
所以，
所以，的分布列为：
，
同理，
，
时，，
，
当时，该式也成立，
，
，
，
．

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