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河北省部分重点中学 2025 届高三下学期二轮复习联考（二）
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 = 1 + 2 ( 为虚数单位)，则| | =( )
A. 52 B. 5 C. 3 D.
3
2
2.已知集合 = {0,2}， = { | < 0}，若 ，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞,0) B. (0, + ∞) C. ( ∞,2) D. (2, + ∞)
3.已知 (2, )为抛物线 : 2 = 2 ( > 0)上一点，且点 到 轴的距离为 1，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
4.已知向量 = (sin , cos )， = (2, 1)，若 ⊥ ，则| | =( )
A. 3 B. 5 C. 6 D.无法确定，与 有关
5.已知 cos( 3 ) =
3
2 cos( +

6 )，则 tan =( )
A. 3 B. 3 C. 5 39 2 9 D.
5 3
3
4
6.已知 (3,4)且 ( > 4) = ( < ) 1，则二项式 的展开式中，常数项为( )
A. 24 B. 1 C. 1 D. 24
7
2 2 2
.设双曲线 : 2 2 = 1( > 0, > 0)的右顶点为 ， ， 分别在两条渐近线上，且 = 3 ，| | = 3 ，
则该双曲线的离心率为( )
A. 2 5 5 4 55 B. 2 C. 5 D. 5
8.某厂家对其软件进行加密升级，现对软件程序中的某序列 = , 1 2, 3, 重新编辑，编辑新序列为 =
2 3 4
, , , ，它的第

项为 +1 .若序列 的所有项都是 3，且 2 = 1， 5 = 27，则 1 =( )1 2 3
A. 13 B.
1
9 C. 3 D. 9
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 ( ) = + ( > 0)的大致图象可以是( )
A. B. C. D.
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10.已知 > 0， > 0， + 2 = 2，则下列说法正确的是( )
A. 1 B. 4 的最大值为2 + 的最小值为 4
C. 2 + 4 2的最大值为 2 D. 2 + 2 4的最小值为5
11.已知 ( )是定义在 上的奇函数， ( ) = ′( )， ( + 1)是奇函数，且 ( 12 ) = 1，则下列说法中正确
的有( )
A. ( )为偶函数 B. (2 + ) = ( )
C. ( 52 ) = 1 D. (
1
2 ) + (
3
2 ) = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 ， 1 1 3为同一个随机试验中的两个事件，若 ( ) = 5， ( ) = 2， ( ∪ ) = 5，则 ( | ) = ．
13 5 .已知函数 ( ) = ( + 6 )( > 0)在区间 0, 6 上有且仅有 2 个零点，则 ( )的最小正周期的最小
值为 ．
14.在长方体 1 1 1 1中，底面 是边长为 1 的正方形， 1 = 3， 是空间中的一个动点，
且满足∠ 1 = ∠ 1，则直线 与 1所成角的正切值的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)

已知函数 ( ) = ln + 1．
(1)当 = 2 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程;
(2)证明：当 ∈ (0,1) 1时， ( ) > 2 2 ．
16.(本小题 15 分)
如图，在多面体 中，四边形 为梯形， // ， ⊥ ，四边形 是菱形，∠ = 60 ，
= = 2， = 1， = 2 2．
(1)证明：平面 ⊥平面 ;
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(2)求平面 与平面 的夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
市某个景点自从取消门票实行免费开放后，迅速成为网红打卡点，不仅带动了 市淡季的旅游，而且优化
了旅游产业的结构.下表是该景点免费开放后前五个月的打卡人数 (万人)与第 个月的数据：

1 2 3 4 5

23.137.062.1111.6150.8
(1)根据表中数据可用一元线性回归模型刻画变量 与变量 之间的线性相关关系，且回归方程 = + 中
的 = 32.88，请计算相关系数 (精确到 0.01)，并判断是否可以认为 与 的线性相关性很强；
(2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了 200 名游客，得到如下列联表，请填写下面的 2 × 2 列联
表，并判断能否有 99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”．
喜欢不喜欢总计
男 100
女 60
总计110
参考公式：
(1)

相关系数 = =1 .若| | ≥ 0.75，则认为 与 有较强的线性相关性.回归方程 = +
2 2 =1 =1


中斜率的最小二乘法估计公式为 = =1 = =1 ；
=1 2 2 =1
2
(2) 2 = ( )
2
( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
临界值表：

0.0100.0050.001

6.6357.87910.828
参考数据：5 =1 = 384.6， ≈ 77，
5
=1
2 = 55，5 2 =1 ≈ 40954，336.3
2 ≈ 113090．
18.(本小题 17 分)
2 2 3
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 2 ， ， 分别为其上、下顶点，且| | = 2．
(1)求椭圆 的标准方程．
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(2)点 为椭圆 的右顶点，点 为椭圆 上在第三象限内的动点， 、 两点关于 轴对称，直线 与直线 、
直线 分别交于点 ， ，过 作 轴的平行线交 的延长线于点 ，连接 ， .试探究四边形 是否
为平行四边形，并写出探究过程．
19.(本小题 17 分)
已知 是公差不为 0 的无穷等差数列.若对于 中任意两项 ， ，在 中都存在一项 ，使得 = ，
则称数列 具有性质 ．
(1)已知 = 2 ， = 4 + 3( = 1,2, )，判断数列 ， 是否具有性质 ；
(2)若数列 具有性质 ，证明： 的各项均为整数；
(3)若 1 = 18，求具有性质 的数列 的个数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.15
13.10 17
14. 5 3 8,5 3 + 8
15.(1) 2解：当 = 2 时， ( ) = ln + 1， ′( ) =
1 2
2，则 (1) = 1， ′(1) = 1，
则所求切线方程为 1 = 1 × ( 1)，即 + 2 = 0，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 + 2 = 0．
(2) ( ) (0, + ∞) ( ) = 1 = 证明： 的定义域为 ， ′ 2 2 ，
令 ′( ) = 0，解得 = ，
当 ∈ (0, )时， ′( ) < 0，则 ( )在(0, )上单调递减;
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0，则 ( )在( , + ∞)上单调递增;
所以 ( ) ≥ ( ) = ln .
要证 ( ) > 1 12 2 ，只需证 ln > 2 2 ．
设 ( ) = ln 2 +
1
2 ，则只需证当 0 < < 1 时， ( ) > 0．
1 1 1 ( 1)2
因为 ′( ) = 2 2 2 = 2 2 < 0 在 ∈ (0,1)时恒成立，
所以 ( )在(0,1)上单调递减，
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所以当 0 < < 1 时， ( ) > (1) = 0 1，即 ln > 2 2 ，
所以 ( ) ≥ ( ) = ln > 2
1
2 ，得证．
16.解：(1)证明：因为四边形 是菱形，且∠ = 60 ，所以 = = 2．
又因为 = 2， = 2 2，所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ．
因为 // ，所以 ⊥ ．
又因为 ⊥ ， ， 平面 ，且 ∩ = ，所以 ⊥平面 ．
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)解：记 ∩ = ，以 为坐标原点， ， 的方向分别为 ， 轴的正方向，平行 向上的方向为
轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
则 (1,0,0)， (0, 3, 0)， ( 1,0,2)， (0, 3, 1)，
则 = ( 1, 3, 0)， = ( 2,0,2)， = ( 1, 3, 1)， = (1,0,0)．
= 2 + 2 = 0,
设平面 的一个法向量为 = ( 1, 1 11, 1)，则 = 1 + 3 1 = 0,
令 1 = 3，得 = ( 3, 1, 3).
= 0,
设平面 的一个法向量为 = ( 2, 2, 2)
=
，则 2
= 2 3 2 + 2 = 0
令 2 = 1，得 = (0,1, 3).
设平面 与平面 的夹角为 ，
cos = |cos , | = | | 4 2 7则 =
| | 7×2
= 7 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为2 7．
7
17. (1) = 1+2+3+4+5解： 由题可知 5 = 3， ≈ 77， = 32.88，
5 2 5 2 = 12 =1 + 2
2 + 32 + 42 + 52 5 × 32 = 10，
5 2 5 2 =1 = 40954 5 × 77
2 = 11309，
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= =1 = =1 2 ，可得
5 5 = 328.8， =1 2 2 =1 =1
=1 =
= =1

相关系数 ，
2 2 =1 2 2 2 2 =1 =1 =1
= 328.8 ≈ 328.8113090 336.3 ≈ 0.98 > 0.75，可以认为 与 有较强的线性相关性；
(2)填写下面的 2 × 2 列联表
喜欢不喜欢总计
男 70 30 100
女 40 60 100
总计110 90 200
零假设 0：游客是否喜欢该网红景点与性别无关．
由表可知， = 70, = 30, = 40, = 60, = 200，
2 = ( )
2 200(70×60 30×40)2
则 ( + )( + )( + )( + ) = 100×100×110×90 ≈ 18.182 > 10.828，
根据小概率值 = 0.001 的独立性检验，可知假设不成立，即认为游客是否喜欢该网红景点与性别有关，该
推断犯错误的概率不超过 0.001，所以有 99.9%的把握认为“游客是否喜欢该网红景点与性别有关”．
18. 3解：(1)由已知，得 = 2 ，2 = 2，
2 = 2 + 2，
所以 = 2， = 1，
2
所以椭圆 的标准方程为 24 + = 1．
(2) 1如图所示，易知直线 的斜率存在并且其斜率 满足条件 > 2，则其方程为
= + 1．
= + 1, = 8 4 2+1 , = 0,
由 2 解得+ 2 = 1, = 4
2+1 或 = 1 (舍去)，
4 4 2+1
( 8
2
, 4 +1 ) ( 8 4
2 1
所以点 的坐标为 4 2+1 4 2+1 ，从而点 的坐标为 4 2+1 , 4 2+1 )，
于是直线 的斜率 =
1 1
4 ，直线 的方程为 = 4 + 1．
= + 1, 4 2 1
又直线 的方程为 = 2 1，由 = 1, 得 ( 2 1 , 2 1 );2
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= 14 + 1,由 得 ( 8 2 +1
= 1, 2 1
, 2 1 )，
2
= 直线 的方程为 2+ 1，直线 的方程为 = 1，
= + 1,
由 2 得 (4, 1)．
= 1,
2 1+1
1因为直线 的斜率 = 2 11 4 = 4 = 4
，
2 1
2 +1
2 1+1直线 的斜率 2 = 8 = = ，
2 1 4

所以 // ， // ，
所以四边形 为平行四边形．
19.解：(1) = 2 ， = 2 × 2 = 2(2 ) = 2 ，即 = 2 ，所以数列 具有性质 ，
= 4 + 3，令 = 1, = 2，则 1 2 = (4 + 3)(4 × 2 + 3) = 7 × 11 = 77，77 = 4 × 19 + 1 不符合 ，
则 不具有性质 ；
(2)证明：设数列 的公差为 ( ≠ 0)，因为数列 具有性质 ，所以存在 = +1，
同理存在 = +2，两式相减得 = +2 +1 = +2 +1 ，
即( ) = ，因为 ≠ 0，所以 = ，所以 的各项均为整数；
(3)由(2)可知，数列 的各项均为整数，所以 为整数，
假设 为负整数，则 为递减数列，所以 中各项最大值为 1，
由题意， 中存在某项 < 0，且| | > | 1|，所以 +1 > 1，
而数列 中存在 = +1，则 > 1，与题意相矛盾，所以 不是负整数， 为正整数，
由 = 得， 1 + ( 1) = 1 + ( 1) 1 + ( 1) ，
1
所以 1 = 1 1 + ( + 2) 1 + ( 1)( 1) ，
1
所以 1 1 为整数，即 为 1 1 1 的约数，
由 为正整数，所以 为 18 × 17 的正约数，
18 × 17 = 2 × 3 × 3 × 17，所以 18 × 17 的正约数共有 12 个，
则 1 = 18，具有性质 的数列 的个数为 12．
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