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吉林省 2025 届高三下学期东北三省高考模拟
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = ∈ ∣ 1 ≤ ≤ 4 ，集合 = ∈ ∣ 2 ∈ ，则 ∩ =( )
A. 3,4 B. 1,3,4 C. 0,1,2 D. 1,0,1,2
2.设复数 满足 1 = + ，则 在复平面上表示的图形是( )
A.直线 = B.直线 = C.圆 2 + 2 = 1 D.抛物线 = 2
3.记 为数列 的前 项和．下列说法正确的是( )
A.数列 成等差数列的充要条件是对于任意的正整数 ，都有 2 +1 = + +2
B.数列 成等比数列的充分不必要条件是对于任意的正整数 ，都有 2 +1 = +2
C.已知数列 的前 项和 = + 1 ，则数列 是等差数列的充分不必要条件是实数 = 0
D.已知数列 的 前 项和 = 2 ，则数列 是等比数列的充要条件是 = 1
4.满足条件 1 2 31 = 2 = 3，且 + = 0 的一组 1, 2, 3为( )
A. 1 = 4， 2 = 3， 3 = 2 B. 1 = 4， 2 = 2， 3 = 3
C. 1 = 3， 2 = 9， 3 = 2 D. 1 = 18， 2 = 12， 3 = 2
5.函数 = 2 2 4 + 3cos2 的最小正周期为( )
A. 2 B. 4 3 C. D.
2
3
6.甲、乙轮流抛一枚均匀硬币，先抛出正面者获胜．若甲先抛，则甲获胜的概率为( )
A. 78 B.
3
4 C.
2 1
3 D. 2
7.设正方体 1 1 1 1的棱长为 2， 为正方体表面上一点，且点 到直线 1的距离与它到平面
的距离相等，记动点 的轨迹为曲线 ，则曲线 的周长为( )
A. 3 2 B. 2 2 + C. 6 2 D. 4 2 +
8.函数 = 2 + 4 + 6 + + 2024 2025 的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (cos , 3)， = 1, sin ，若| + | = | |，则 可能为( )
A. B. 2 6 3 C.
5 11
6 D. 6
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10.设随机变量 1, 2 ，且 ≤ 0 = 0.2，则( )
A. 0 < < 2 = 0.4 B. ≤ 2 = 0.8
C. = 2 + 1 的方差为 4 2 D.若 增大，则 1 < 1 增大
11.已知集合 = 1,2,3, , 19 ，现随机选取集合 中 3 个元素组成子集(简称 3 元子集)，记该子集中的最
小数为 .( )
A. 的最小取值为 1，最大取值为 19
B.集合 中以 为最小数的 3 元子集共有 219 个
2
C.取到“集合 中以 为最小数的 3 元子集”的概率为 19
319
D. = 5
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 + 2 > 0 25.已知函数 = 2 ≤ 0，若 = 4，则 = ．
13. 1 + 5 × 1 + 2 6展开式中 12的系数为 ．
14.在数列 中， 1 = 4, 5 = 3，且任意连续三项的和均为 7，则 2025 = ；记数列 的前 项和
为 ，则使得 ≤ 100 成立的最大整数 = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在 中，已知角 = 60 ，边 = 7，且 3 + 3 = 28．
(1)证明： + = 4；
(2)若点 在 上，且 为角平分线，求 的长度．
16.(本小题 15 分)
如图，在三棱锥 中，平面 ⊥平面 , ⊥ , , 分别为 , 的中点．
(1)求证：平面 ⊥平面 ；
(2)设 = = 2，从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，求平面 与平面
夹角的余弦值．
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条件①： = 2；
条件②： = ；
条件③： ⊥ ．
注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.(本小题 15 分)
某游戏有三个骰子，其面数如下：骰子 ：四个面，分别标有数字 1，1，3，4；骰子 ：四个面，分别标有
数字 2，4，5，6；骰子 ：六个面，分别标有数字 1，3，5，7，9，11；玩家按骰子面数比例随机选择一
个骰子(即选择概率等于其面数占总面数的比例)，然后掷该骰子两次，记录两次结果的最大值．请解答以下
问题：
(1)若玩家选择骰子 ，求两次投掷的最大值为 4 的概率；
(2)求两次投掷的最大值为 4 的概率；
(3)设奖金为最大值的平方(单位：元)，若玩家获得的奖金超过 16 元，求玩家选择骰子 的概率．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)，直线 + 2 + 2 2 = 0 经过椭圆 的左顶点 和下顶点 ．
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)设过点 0, ( > 0)且斜率不为 0 的直线交椭圆 于 , 两点，直线 , 与直线 = 的交点分别为 , ，
线段 , 的中点分别为 , .若直线 经过坐标原点，求 + 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知函数 = ln + 1 2 + 3 2，其中 为常数．
(1)当 = 2 时，求曲线 = 在点 1, 1 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若函数 在区间 0,3 内存在两个不同的极值点，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.94
13.136
14.6；44
15.解：(1)证明：由余弦定理可知， 2 = 2 + 2 2 × × cos ，
即 7 = 2 + 2 × ，
又 3 + 3 = ( + )( 2 × + 2) = 28，
所以 28 = 7( + )，解得： + = 4．
(2)由 + = 4 及 7 = 2 + 2 × = ( + )2 3 × = 16 3 × ，
可以解得： × = 3，
再与 + = 4 联立，解得： = 1， = 3 或 = 3， = 1，
利用三角形的面积相等公式，即 △ = △ + △ ，
1
2 × sin
1 1
3 = 2 × sin 6 + 2 × sin 6，
不妨用 = 1 3 1 1， = 3 代入可得：3 × 2 = 1 × × 2+ 3 × × 2，
= 3 3可得 4 ．
所以 3 3的长度为 4 ．
16.解：(1)证明：因为 ⊥ ，平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
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所以 ⊥平面 ，
由 , 分别为 , 中点，得 // ，
所以 ⊥平面 ，
又因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
(2)选择条件①②：
因为 = = = 2, ⊥ , = ，
所以 = 2 2，则 2 + 2 = 2，
所以 ⊥ ，
由 ⊥平面 ，得 ⊥ ，
故 , , 两两垂直，
如图建立空间直角坐标系 ，则 0,0,0 ， 2,0,0 ， 0,2,0 ， 0,0,2 ，
0,0,1 ， 0,1,1 ， = 0,1,0 ， = 2,0,1 ，
设平面 的法向量为 = , , ，
= 0, = 0,
则

即
= 0, 2 + = 0.
令 = 1，则 = 2，于是 = 1,0,2 ，
易知平面 的一个法向量 = 0,0,1 ，
设平面 与平面 夹角为 ，
则 cos = |cos , | = | 2 5| | =|| | 5 ，
2 5
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 5 ，
选择条件①③；
由 ⊥平面 ，得 ⊥ ，
因为 ⊥ , ⊥ , ∩ = ，
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所以 ⊥平面 ，
所以 ⊥ ，故 , , 两两垂直，
如图建立空间直角坐标系 ，以下同选条件①②，
选择条件②③；
由 ⊥平面 ，得 ⊥ ，
因为 ⊥ , ⊥ , ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
所以 ⊥ ，故 , , 两两垂直，
又因为 = = 2, = ，
所以 2 = 2 + 2 = 8, = 2 2 = 2 ，
如图建立空间直角坐标系 ，以下同选条件①②．
17. 1解：(1)骰子 的面为 1，1，3，4，每个面出现的概率为4，两次投掷共有 16 种可能的结果组合，
2
最大值是 4 的情况包括至少有一次掷出 4，两次都不出现 4 3 9的概率为 4 = 16，
9 7
因此至少有一次出现 4 的概率为 1 16 = 16；
(2) 4 4 6玩家选择骰子的概率分别为14 (骰子 )、14 (骰子 )和14 (骰子 )，
计算各骰子最大值为 4 7的概率：骰子 ：概率为16，
骰子 ：两次投掷共有 4 × 4 = 16 个结果，两次投掷的最大值为 4 的情况是两次结果都不超过 4 且至少有
一次为 4，
共有 3 3种情况((2,4)，(4,2)，(4,4))，故概率为16，
骰子 ：没有数字 4，因此概率为 0，
4 7 4 3 6 5
总概率为： = 14 × 16 + 14 × 16 + 14 × 0 = 28．
(3)奖金超过 16 元意味着最大值超过 4，
计算各骰子最大值超过 4 的概率：
骰子 ：不可能超过 4，概率为 0，
骰子 ：至少有一次掷出 5 或 6 共有 16 4 = 12 12 = 3种，故概率为16 4，
32 8
骰子 ：共有 6 × 6 = 36 个结果，至少有一次掷出超过 4，共有 36 4 = 32，故概率为36 = 9，
设最大值超过 4 为事件 ，选择骰子 为事件 ，
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= 4 × 0 + 4 × 3 + 6 8计算全概率： 14 14 4 14 × 9 =
25
42，
4 ×3
则 ∣ = 14 4 = 925 25．
42
18.解：(1)因为直线 + 2 + 2 2 = 0 与坐标轴交点为 2 2, 0 和 0, 2 ，
所以 = 2 2, = 2，
由 2 = 2 + 2，解得 = 2，
2
+
2
= 1 = 2所以椭圆 的方程为 8 4 ，离心率 = 2 ．
(2)由题意，直线 的斜率存在，故设其方程为 = + ≠ 0 ，
设点 1, 1 , 2, 2 ，
= + ,
由 2 +
2 得 2 2 + 1 2 + 4 + 2 2 8 = 0，
8 4 = 1,
2
所以 = 16 2 2 4 2 2 + 1 2 2 8 > 0, + = 4 1 2 2 2+1 ,
2 8
1 2 = 2 2+1 ，
= 1+ 2 = 2 所以点 的横坐标 2 2 2+1，纵坐标 = + =

2 2+1，
结合直线 过坐标原点，可得直线 的方程为 + 2 = 0，
令 = ，得点 的坐标为 2 , ，
当 ≠ 2 时，显然点 , 不在 轴上，
+2 +2
则直线 ： = 1 2，直线 ： =
2
1
2，
2
= +2 1 , , +2 令 ，得点 2 1+2 2+2
, ．
+2 +2
由线段 的中点为 ，得 1 2 +2 + +2 = 4 ，1 2
整理，得 4 3 + 2 + 4 21 2 + 4 + + 2 + 2 + + 4 ( + 2)21 2 = 0，
2
即 4 3 + 2 + 4 2 82 2+1 + 4
2 + + 2 + 2 4 2 2+1 + 4 ( + 2)
2 = 0，
化简，得 + 2 4 = 0．
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由 ≠ 0, > 0，得 = 4．
当 = 2 时，由题意，点 , 中有一个与点 重合(不妨设点 与点 重合)，
取 为 中点，且 0, ，
在 1中， // ，则直线 的方程为 = 2 2，
由 的中点为 ，则 + 2 = 2 ，即 = 2，故 = 4，
所以 + ≥ 2 = 4，当且仅当 = = 2 时等号成立，
综上， + 的取值范围为 4, + ∞ ．
19.解：(1)当 = 2 时， = ln 3 2 + 6 2， 1 = 1，
1′ = 6 + 6，此时 ′ 1 = 1，
因此曲线 = 在点 1, 1 处的切线方程为 = ．
2
(2) 1函数 的定义域为 0, + ∞ ， ′ = 2 + 1 + 3 =
2 +1 +3 +1
，
当 + 1 = 0 1 1时，即 = 1 时， ′ = 3，令 ′ = 0，解得 = 3，
令 ′ > 0 得 ∈ 0, 13 ，令 ′ < 0
1
得 ∈ 3 , + ∞ ，
1 1
此时函数 在 0, 3 上单调递增，在 3 , + ∞ 上单调递减；
2
当 + 1 ≠ 0 时， 2 + 1 2 + 3 + 1 = 0 = 9 2 + 8 + 1 = 9 + 4 + 56中， 9 9 > 0，
当 + 1 > 0，即 > 1 时，
2
方程 2 + 1 2 + 3 + 1 = 0 在 0, + ∞ 3 + 9 +8 +8上仅有一个正根 0 = 4 +1 ，
令 ′ > 0 得 ∈ 0, 0 ，令 ′ < 0 得 ∈ 0, + ∞ ，
2 2
0, 3 + 9 +8 +8 3 + 9 +8 +8此时函数 在 4 +1 上单调递增，在 4 +1 , + ∞ 上单调递减；
当 + 1 < 0，即 < 1 时，
方程 2 + 1 2 + 3 + 1 = 0 在 0, + ∞ 上有两个不等正根，
2
= 3 + 9 +8 +8 = 3 9
2+8 +8
分别为 1 4 +1 ， 2 4 +1 ，
2 2 2
1 =
3 + 9 +8 +8 3 9 +8 +8 2 9 +8 +8
2 4 +1 4 +1 = 4 +1 < 0，
故 1 < 2，
令 ′ > 0 得 ∈ 0, 1 ∪ 2, + ∞ ，令 ′ < 0 得 ∈ 1, 2 ，
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0, 3 + 9
2+8 +8 3 9 2+8 +8
此时函数 在 4 +1 和 4 +1 , + ∞ 上单调递增，
3 + 9 2+8 +8 2
在 4 +1 ,
3 9 +8 +8
4 +1 上单调递减．
1 1
综上，当 = 1 时，函数 在 0, 3 上单调递增，在 3 , + ∞ 上单调递减；
2 2
当 > 1 3 + 9 +8 +8 3 + 9 +8 +8时，函数 在 0, 4 +1 上单调递增，在 4 +1 , + ∞ 上单调递减；
2 2
当 < 1 0, 3 + 9 +8 +8 3 9 +8 +8时，函数 在 4 +1 和 4 +1 , + ∞ 上单调递增，
3 + 9 2+8 +8 , 3 9
2+8 +8
在 4 +1 4 +1 上单调递减；
(3)由(2)可知，若函数 在区间 0,3 内存在两个不同的极值点，则 < 1，
函数 = 2 + 1 2 + 3 + 1 3 的对称轴为 = 4 +1 ，且 0 = 1，
0 < 3 故 4 +1 < 3，且 3 > 0
17
，解得 < 9．
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