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广西壮族自治区河池市2025届高三第二次模拟测试
数学试卷（河池二模）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. 或 D.
2.已知复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，且，求( )
A. B. C. D.
4.设函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增若实数满足，则的取值范围是( )
A. B. C. 或 D.
5.埃菲尔铁塔作为巴黎奥运会标志之一，你可以在铁塔旁看到一段非常特殊的数学方程，它叫做埃菲尔铁塔方程这个方程不仅仅是一段数学公式，它还代表着法国工程师和建筑师埃菲尔对科学和技术的贡献方程定义：，这个方程中，代表一个给定的角度，则代表在这个角度下埃菲尔铁塔的“高度”这里的“高度”是方程用于模拟铁塔形状时的一个相对值，并非实际物理高度则埃菲尔铁塔最大“高度”值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则以下最不可能是其图像的是( )
A. B. C. D.
7.一家银行有客户和普通客户，客户占客户总数的，普通客户占客户总数的已知客户的信用卡欺诈概率为，而普通客户的信用卡欺诈概率为现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，请问这个客户是客户的概率是( )
A. B. C. D.
8.关于函数，下列选项正确的是( )
A. 函数没有零点 B. 函数只有个零点
C. 函数至少有个零点 D. 函数有个零点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知圆方程为，则下列结论正确的是( )
A. 的取值范围为
B. 若已知在圆内，则
C. 若，则直线与圆相离
D. 若，圆关于直线对称的圆方程为
10.已知数列满足且，则下列说法正确的是( )
A. B. 数列是周期数列
C. 是等差数列 D. 数列的通项公式为
11.如图，若正方体的棱长为，是的中点，在棱上，则( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 四面体的外接球半径最大值是
C. 过作平面的垂面，且与交于点，则最大取
D. 当点是中点时，平面截该正方体的内切球所得截面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，求 ．
13.泊松分布是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布，由法国数学家西莫恩德尼泊松在年时发
表它适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布已知某校学生每周体育锻炼的次数服从非零参数的泊松分布，其概率满足，且，则 参考数据：，，
14.已知椭圆与双曲线有公共焦点，、分别为其左、右焦点，点为它们在第一象限的交点，满足，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年春节期间，电影哪吒之魔童闹海掀起全民观影热潮，连续天票房逆势攀升，单日最高突破亿元，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了名观影人员，得到下表：
是否成年人 是否喜欢 合计
不喜欢 喜欢
未成年人
成年人
合计
求的值
依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢电影哪吒之魔童闹海与是否成年有关
用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设表示这两人中非常喜欢电影哪吒之魔童闹海的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：，．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，B.
求的大小
若，，角的平分线交于点，求．
17.本小题分
已知平行四边形如图甲，，，沿将折起，使点到达点位置，且，连接得三棱锥，如图乙．
证明：
在线段上是否存在点，使二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知函数，，其中
当时，求曲线在点处切线的方程
判断函数的单调性并证明
令问：是否存在实数，使得对任意，恒成立若存在，求的取值范围若不存在，请说明理由．
19.本小题分
材料贝塞尔曲线于年由法国工程师皮埃尔贝塞尔所广泛发表，它被广泛应用于矢量图形软件通过它来精确画出曲线，贝塞尔曲线由线段与控制点根据一定的比例绘成，控制点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋，如绘图工具的钢笔工具现在已知由个控制点绘成的次贝塞尔曲线上任意点满足，，，其中为坐标原点，为控制点．
材料一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标、都是某个变数的函数，并且对于的每一个允许的取值，由方程组确定的点都在这条曲线上，那么这个方程就叫做曲线的参数方程，叫做参数若消去参数就可以得到普通方程如已知，则将代入得．
根据上述材料回答以下问题：
若某一次贝塞尔曲线由、这个控制点绘制，求时点坐标
若利用个控制点、、绘出曲线的部分图像，求曲线的普通方程
设直线与中所得曲线交于，，为坐标原点且，求面积的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由列联表可知，，，，
所以；
零假设：喜欢电影哪吒之魔童闹海与是否成年无关，
根据表中数据得：，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据证明喜欢电影哪吒之魔童闹海与是否成年有关；
由题可知，随机采访一位未成年人，则该未成年人喜欢电影哪吒之魔童闹海的概率为，
随机采访一位成年人，则该成年人喜欢电影哪吒之魔童闹海的概率为，
的可能取值为、、，
，
，
，
所以的分布列为：
则．
16.解：由，得，
整理得，即，
所以，
因为，所以；
，
则，
所以，所以，
而，
则有，所以．
17.解：证明：翻折前，因为四边形为平行四边形，，则，
因为，则，，
由余弦定理可得，
所以，则，同理可证，
翻折后，则有，，
因为，，、平面，
所以平面，
因为平面，则，
因为，、平面，所以平面，
平面，；
因为平面，，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设，其中，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以，
易知平面的一个法向量为，
则，
整理可得，，解得，
线段上存在点，使二面角的余弦值为，此时．

18.解：当时，，则，
所以，，
此时曲线在点处切线的方程为，即；
函数在上为增函数，证明如下：
函数的定义域为，且，
当或时，，则时，
当时，且，则，，
又因为，所以函数在上为增函数且只有一个零点；
定义域为且，为上奇函数且，
函数的定义域为，由知函数在上为增函数且，
所以对任意，可等价于在上恒成立，
当时，，在上单调递减，则，合题意，
当时，，在上单调递增，则，不合题意，
当时，令，得，
一定存在使得，
当时，
在上单调递增，则，不合题意，
综上可知：存在实数满足题意，的取值范围是：
19.解：
，
，
点坐标为；
，
，
将带入得；
设，，易知，斜率存在，设直线的方程为，
联立直线与抛物线的方程，消去整理得，
则，由根与系数关系可得，
又，所以，即，即，
代入可得，解得或不符合题意，舍去，
此时恒成立，
所以，
所以当时，面积有最小值．
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