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5.4 分式的加减 同步分层作业
1．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（　　）
A．3 B．3a+3 C．2 D．
3．分式与的最简公分母是（　　）
A．6x3 B．5x5 C．6x5 D．6x6
4．计算的结果等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
5．计算的结果是（　　）
A． B． C．a+b D．a﹣b
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．1
8．化简的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
9．分式，，的最简公分母是　 　 ．
10．化简：＝ 　　 ．
11．小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．”
（1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？
（2）请你写出正确的计算过程，并求出当a＝1时，原式的值．
12．计算：
（1）； （2）．
13．计算：
（1）； （2）．（3）； （4）．
14．计算：
（1）； （2）
（3）； （4）（1﹣）÷．
15．已知公式，其中R，R1，R2均不为零，且R1+R2≠0．若用含有R1，R2的式子表示R，则R为（　　）
A．R1+R2 B． C． D．
16．若＝﹣，这个等式恒成立，则a﹣2b的值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2
17．对于正数x，规定，例如，．则
＝（　　）
A．2022 B．2021 C．2021.5 D．2022.5
18．分式与的最简公分母是　 　 ．
19．下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务．
（），
解：原式＝[]…第一步
＝[]…第二步
＝[]…第三步
＝…第四步
＝…第五步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第 　 　 步是进行分式的通分，通分的依据是 　 　 ；
②第 　 　 步开始出现错误，这一步错误原因是 　 　 ；
任务二：请写出正确的解答过程．
20．计算：（1） （2）．
21．若++（A、B、C均为常数）的计算结果为，则A+B+2C的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
22．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．则分式：与　　 互为“5阶分式”．
23．已知：，．
（1）当x＞0时，判断M与N的大小关系，并说明理由；
（2）设．若x是整数，求y的整数值．
24．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”．
（1）填空：分式　 　 分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）；
（2）分式是分式A的“分裂分式”．求整数x为何值时，分式A的值是正整数，并写出分式A的值．
（3）若关于x的分式是关于x的分式的“分裂分式”，求n的值．
答案与解析
1．计算的结果为（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据同分母分式的加减法，分母不变，分子相加减，即可计算．
【解析】解：根据同分母的分式相加的法则可得：，
故选：C．
【点睛】本题考查分式加减法，解题的关键是类比同分母分数的相加减进行计算即可．
2．计算的结果是（　　）
A．3 B．3a+3 C．2 D．
【点拨】同分母分式相加，分母不变，分子相加，进行计算即可．
【解析】解：．
故选：A．
【点睛】本题考查分式的加减．熟练掌握同分母分式相加，分母不变，分子相加，是解题的关键．注意结果要化为最简分式或整式．
3．分式与的最简公分母是（　　）
A．6x3 B．5x5 C．6x5 D．6x6
【点拨】利用最简公分母的定义：取系数的最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母作为最简公分母的一个因数，判断即可．
【解析】解：分式与的最简公分母是6x3．
故选：A．
【点睛】此题考查了最简公分母，熟练掌握最简公分母的定义是解本题的关键．
4．计算的结果等于（　　）
A．3 B．2 C． D．
【点拨】根据同分母分式相减法则进行计算，然后约分即可．
【解析】解：原式＝
＝
＝2，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握同分母分式相减法则和分式的约分．
5．计算的结果是（　　）
A． B． C．a+b D．a﹣b
【点拨】将原式变形后只把分子相减并因式分解，然后进行约分即可．
【解析】解：原式＝﹣
＝
＝
＝a+b，
故选：C．
【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【点拨】根据分式的加减法则对各选项进行逐一分析即可．
【解析】解：根据分式的运算法则逐项分析判断如下：
A、左边＝右边，故本选项错误；
B、左边＝右边，故本选项错误；
C、左边＝右边，故本选项错误；
D、左边＝＝右边，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式的加减法，熟知异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减是解答此题的关键．
7．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．1
【点拨】先通分，然后利用同分母的分式相加减的运算法则求解即可，注意运算结果需化为最简形式．
【解析】解：根据分式的运算法则，先通分，再相加减得：
＝＝＝＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了分式的加减运算法则．熟练掌握分式的运算法则是关键．
8．化简的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
【点拨】将原式通分后只把分子相加计算即可．
【解析】解：原式＝+
＝
＝，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
9．分式，，的最简公分母是　12x2y2　 ．
【点拨】通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
【解析】解：∵三分式分母系数的最小公倍数为12，x、y的最高次幂均为2，
∴最简公分母是12x2y2．
故答案为：12x2y2．
【点睛】考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．本题属于基础题．
10．化简：＝ 　　 ．
【点拨】根据去括号的法则直接求解即可．
【解析】解：
＝
＝
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“﹣”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号．
11．小明和小红在学习分式时，老师布置一道题“计算：．”
（1）老师批改时，发现两位同学都出错了，请你分别指出他们错的是哪一步？
（2）请你写出正确的计算过程，并求出当a＝1时，原式的值．
【点拨】（1）观察小明和小红的计算过程，然后进行解答即可；
（2）先把分式的分母分解因式，再进行通分，然后按照同分母分式相减法则进行计算，然后约分，最后把a＝1代入化简后的式子进行计算即可．
【解析】解：（1）小明的第①步错了，他去分母了；
小红的第②步错误，分子相减时，去括号时2没有变号；
（2）
＝
＝
＝
＝，
当a＝1时，
原式＝．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分．
12．计算：
（1）； （2）．
【点拨】（1）按照同分母分式相加减法则进行计算即可；
（2）先把分母是m﹣2的分式写成分母是2﹣m的分式，然后按照同分母分式相加减法则进行计算即可．
【解析】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝
＝
＝﹣m﹣2．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．
13．计算：
（1）； （2）．（3）； （4）．
【点拨】各个小题均先通分，然后按照同分母的分式相加减法则进行计算即可．
【解析】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
（3）
＝﹣
＝
＝；
（4）
＝﹣（x﹣1）
＝﹣
＝．
【点睛】本题主要考查了分式的加减，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分．
14．计算：
（1）； （2）
（3）； （4）（1﹣）÷．
【点拨】（1）先通分，再计算加减法即可；
（2）先把小括号内的式子通分化简，再把另一个分式约分化简，最后计算加法即可．
（3）把1﹣a写成﹣（a﹣1）的形式，然后按照同分母分式相减法则进行计算，然后约分即可；
（4）把括号内的1写成分母是x+1的形式，然后先算括号内的，再把分子和分母分解因式，除法化成乘法，再进行约分即可．
【解析】解：（1）
＝
＝；
（2）原式＝
＝
＝．
（3）原式＝
＝
＝
＝a+1；
（4）原式＝
＝
＝．
【点睛】本题主要考查了分式的加减计算，熟练掌握分式的加减运算法则是关键．
15．已知公式，其中R，R1，R2均不为零，且R1+R2≠0．若用含有R1，R2的式子表示R，则R为（　　）
A．R1+R2 B． C． D．
【点拨】先计算等式右边，再取倒数即可．
【解析】解：∵＝+＝，
∴R＝，故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．
16．若＝﹣，这个等式恒成立，则a﹣2b的值是（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣2 D．2
【点拨】先去分母，得4x＝（a﹣b）x+（﹣2a﹣2b），再根据对应相等求出a、b的值，代入计算即可．
【解析】解：化简得，4x＝（a﹣b）x+（﹣2a﹣2b），
∴a﹣b＝4，﹣2a﹣2b＝0，
解得a＝2，b＝﹣2，
∴a﹣2b＝2﹣2×（﹣2）＝6，
故选：B．
【点睛】本题考查了通分以及解二元一次方程组，是基础知识要熟练掌握．
17．对于正数x，规定，例如，．则
＝（　　）
A．2022 B．2021 C．2021.5 D．2022.5
【点拨】先根据已知条件中的规定，通过计算找出规律，然后进行计算即可．
【解析】解：∵，
∴，，
∴，
同理可得：，...，
∴，
∴原式＝
＝1+1+...+1+
＝
＝
＝2021.5
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题关键是通过计算找出规律．
18．分式与的最简公分母是　（x+3）（x﹣3）2　 ．
【点拨】根据平方差和完全平方公式先把分母因式分解，再确定最简公分母即可．
【解析】解：根据题意可知，，，
∴分式与的最简公分母是（x+3）（x﹣3）2．
故答案为：（x+3）（x﹣3）2．
【点睛】本题考查了最简公分母，掌握最简公分母的确定方法是解题的关键．
19．下面是小明同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成任务．
（），
解：原式＝[]…第一步
＝[]…第二步
＝[]…第三步
＝…第四步
＝…第五步
任务一：填空：①以上化简步骤中，第 　三　 步是进行分式的通分，通分的依据是 　分式的基本性质　 ；
②第 　四　 步开始出现错误，这一步错误原因是 　未变号　 ；
任务二：请写出正确的解答过程．
【点拨】任务一：①依据题意，根据分式的通分的意义，即可判断得解；
②依据题意，观察即可得解；
任务二：依据题意，根据分式的混合运算法则计算可以得解．
【解析】解：任务一：①由题意，根据分式的通分的意义是依据分式的基本性质，将异分母分式化成同分母分式即为通分．
∴上述过程第三步是通分，依据是分式的基本性质．、
故答案为：三；分式的基本性质．
②依据题意，观察发现第四步在进行分式加减时，分母不变，分子相减，后边两项的符号均要发生变化，而上述式子没有发生变化，
∴第四步开始出现错误，原因是未变号．
故答案为：四；未变号．
任务二：原式＝[]
＝[]
＝[]
＝
＝．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解题时要熟练掌握理解．
20．计算：（1） （2）．
【点拨】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解析】解：（1）
＝
＝
＝．
（2）
＝
＝
＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21．若++（A、B、C均为常数）的计算结果为，则A+B+2C的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【点拨】将原式通分并计算后根据计算结果求得A，B，C的值后再计算A+B+2C的值即可．
【解析】解：原式＝
＝
＝
＝，
则A+B+C＝1，3A+2B+C＝0，2A＝2，
解得：A＝1，B＝﹣3，C＝3，
则A+B+2C＝1﹣3+6＝4，
故选：D．
【点睛】本题考查分式的加减法，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
22．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如，分式与互为“3阶分式”．则分式：与　　 互为“5阶分式”．
【点拨】由题意得，的“5阶分式”为，再根据异分母的分式减法法则计算即可．
【解析】解：由新定义的“5阶分式”可得：
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的减法运算，掌握运算法则是解题的关键．
23．已知：，．
（1）当x＞0时，判断M与N的大小关系，并说明理由；
（2）设．若x是整数，求y的整数值．
【点拨】（1）先求差，再比较差与0的大小关系；
（2）先表示y，再求y的整数值．
【解析】解：（1）M≥N，理由如下：
＝
＝，
∵x＞0，
∴x+1＞0，
∵（x﹣1）2≥0，
∴，
∴M﹣N≥0，
∴M≥N；
（2）
＝
＝
＝
＝，
∵x，y是整数，
∴x+1是2的因数，
∴x+1＝±1，±2，
对应的y值为：y＝2+2＝4或y＝2+（﹣2）＝0或y＝2+1＝3或y＝2﹣1＝1．
∴y的整数值为：4，0，3，1．
【点睛】本题考查分式运算和比较大小，正确进行分式的加减运算是求解本题的关键．
24．定义：若分式A与分式B的差等于它们的积，即A﹣B＝AB，则称分式B是分式A的“分裂分式”．如与，因为，所以是的“分裂分式”．
（1）填空：分式　是　 分式的“分裂分式”（填“是”或“不是”）；
（2）分式是分式A的“分裂分式”．求整数x为何值时，分式A的值是正整数，并写出分式A的值．
（3）若关于x的分式是关于x的分式的“分裂分式”，求n的值．
【点拨】（1）根据“分裂分式”的定义进行判断即可；
（2）先根据“分裂分式”的定义列式求得分式A的表达式；再根据整除的定义进行求解即可；
（3）设关于x的分式的“分裂分式”为M，求出，根据关于x的分式是关于x的分式的“分裂分式”，得出，求出即可．
【解析】解：（1）∵，
，
∴，
故答案为：是；
（2）由题意可得：，
∴，
∴
＝
＝
＝；
∵整数x使得分式A的值是正整数，，
∴x＝1时，A＝5，
x＝3时，A＝3，
x＝﹣3时，A＝1；
（3）设关于x的分式的“分裂分式”为M，则：
，
∴
＝
＝，
∵关于x的分式是关于x的分式的“分裂分式”，
∴，
整理得：，
解得：．
【点睛】本题主要考查了分式混合运算的应用，新定义运算，解方程组，代数式求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
基础过关
能力提升
培优拔尖
基础过关
能力提升
培优拔尖
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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