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第4章 因式分解 单元检测能力提升卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m B．
C．n（a+b）＝na+nb D．x2+2x+1＝（x+1）2
2．将3ab2（x﹣y）3﹣9ab（x﹣y）2因式分解，应提取的公因式是（　　）
A．3ab（x﹣y）2 B．3ab2（x﹣y） C．9ab（x﹣y）2 D．3ab（x﹣y）
3．下列多项式中①x2﹣2x﹣1；②；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2；⑥m2﹣m+1，能用公式法分解因式的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．将多项式3a2﹣6a进行因式分解，其中正确的是（　　）
A．3a2﹣6a＝3a（a﹣2） B．3a2﹣6a＝3（a2﹣2a）
C．3a2﹣6a＝3a2（a﹣2） D．3a2﹣6a＝a（3a﹣6）
5．若x2﹣3（a+1）x+16是一个完全平方式，则a的值为（　　）
A．或 B． C． D．或
6．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（　　）
A．2 B．6 C．4 D．8
7．因式分解x4﹣18x2+81的结果为（　　）
A．（x2+9）2 B．（x2﹣9）2 C．（x+9）2（x﹣9）2 D．（x+3）2（x﹣3）2
8．化简（﹣2）2025+（﹣2）2026，结果为（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣22025 D．22025
9．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法产生的密码不可能是（　　）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
10．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片（　　）块．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．因式分解：﹣3xy2+12xy＝　 　 ．
12．分解因式：x4﹣81＝　 　 ．
13．已知m+2n﹣3＝0，且m﹣2n+2＝0，则m2﹣4n2＝ 　 　 ．
14．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b的值为 　 　 ．
15．已知a＝2024x+2023，b＝2024x+2024，c＝2024x+2025，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于　 　 ．
16．若一个正整数k可以写成两个正整数a、b的平方差的形式，即：k＝a2﹣b2（其中a，b都是正整数，且a＞b＞1），那么我们称（a，b）为正整数k的“欢喜数对”．如：9＝52﹣42，那么正整数9的“欢喜数对”为（5，4）．今年是2024年，那么正整数2024的“欢喜数对”为 　 　 （请写出所有满足条件的“欢喜数对”）．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．将下列各式因式分解：
（1）xy（x﹣y）﹣x（x﹣y）2；
（2）a4﹣8a2b2+16b4．
18．（1）因式分解：2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）；
（2）利用因式分解简化计算：2002﹣400×199+1992．
19．根据条件求值：
（1）先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣2）﹣2x（x﹣2），其中x＝﹣；
（2）已知x+y＝5，xy＝3，求x2y+xy2的值．
20．两位同学将一个二次三项式分解因式．大马虎同学因看错了一次项系数而分解成3（x﹣1）（x﹣9），小马虎同学因看错了常数项而分解成3（x﹣2）（x﹣4）．
（1）求正确的这个二次三项式；
（2）请不马虎的你将原多项式正确分解因式．
21．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如x2+5x+4＝x2+（1+4）x+1×4＝（x+1）（x﹣4）；x2﹣3x﹣4＝x3+（1﹣4）x+1×（﹣4）＝（x+1）（x﹣4）．
请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+6：
（2）x2+3x﹣10；
（3）x2﹣10x+16；
（4）x2﹣7x﹣18．
22．张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：①32﹣12＝8×1；②52﹣32＝8×2；③72﹣52＝8×3；…
（1）请你写出第④个符合上述规律的算式 　 　 ；
（2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），请验证它们的平方差是8的倍数；
（3）拓展延伸：命题“两个连续偶数的平方差是8的倍数”是 　 　 命题．（填“真”或“假”）
23．探究下面的问题：
（1）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0，求△ABC的最长边c的值．
（2）已知a2+2b2﹣2ab+4b+4＝0，求ab的值．
24．因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．
利用上述阅读材料求解：
（1）若（x+3）是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值；
（2）若（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m，n的值．
（3）在（2）的条件下，把多项式x3+mx2+12x+n因式分解．
答案与解析
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（　　）
A．m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m B．
C．n（a+b）＝na+nb D．x2+2x+1＝（x+1）2
【点拨】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断，利用排除法求解．
【解析】解：A、m2﹣4+m＝（m+2）（m﹣2）+m，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
B、，等式右边不是整式积的形式，故不是因式分解，故本选项错误；
C、n（a+b）＝na+nb，是整式的乘法，故不是因式分解，故本选项错误；
D、x2+2x+1＝（x+1）2，等式右边是整式积的形式，故是因式分解，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查的是因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．
2．将3ab2（x﹣y）3﹣9ab（x﹣y）2因式分解，应提取的公因式是（　　）
A．3ab（x﹣y）2 B．3ab2（x﹣y） C．9ab（x﹣y）2 D．3ab（x﹣y）
【点拨】根据公因式的定义即可求得答案．
【解析】解：将3ab2（x﹣y）3﹣9ab（x﹣y）2因式分解，应提取的公因式是3ab（x﹣y）2，
故选：A．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键．
3．下列多项式中①x2﹣2x﹣1；②；③﹣a2﹣b2；④﹣a2+b2；⑤x2﹣4xy+4y2；⑥m2﹣m+1，能用公式法分解因式的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【点拨】根据平方差公式、完全平方公式逐个判断即可．
【解析】解：①x2﹣2x﹣1，不能用完全平方公式分解因式；
②＝，能用完全平方公式分解因式；
③﹣a2﹣b2，不能用平方差公式分解因式；
④﹣a2+b2＝b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a），能用平方差公式分解因式；
⑤x2﹣4xy+4y2＝（x﹣2y）2，能用完全平方公式分解因式；
⑥m2﹣m+1，不能用完全平方公式分解因式；
所以能用公式法分解因式的有3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
4．将多项式3a2﹣6a进行因式分解，其中正确的是（　　）
A．3a2﹣6a＝3a（a﹣2） B．3a2﹣6a＝3（a2﹣2a）
C．3a2﹣6a＝3a2（a﹣2） D．3a2﹣6a＝a（3a﹣6）
【点拨】先确定公因式，再提取即可．
【解析】解：3a2﹣6a＝3a（a﹣2），
故选：A．
【点睛】本题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练正确公因式的确定方法是解题的关键．
5．若x2﹣3（a+1）x+16是一个完全平方式，则a的值为（　　）
A．或 B． C． D．或
【点拨】根据完全平方公式的表现形式可得﹣3（a+1）x＝±2x 4，解得a的值即可．
【解析】解：∵x2﹣3（a+1）x+16是一个完全平方式，
∴﹣3（a+1）x＝±2x 4，
即3（a+1）＝±8，
解得：a＝或﹣，
故选：D．
【点睛】本题考查完全平方式，熟练掌握完全平方公式的表现形式是解题的关键．
6．已知m+n＝2，则m2﹣n2+4n的值是（　　）
A．2 B．6 C．4 D．8
【点拨】先把原式进行因式分解，再把m+n＝2代入进行计算即可．
【解析】解：∵m+n＝2，
∴原式＝（m+n）（m﹣n）+4n
＝2（m﹣n）+4n
＝2m﹣2n+4n
＝2（m+n）
＝2×2
＝4．
故选：C．
【点睛】本题考查的是因式分解的应用，解答此题的关键是利用因式分解的方法把原式化为已知条件的形式，再把m+n＝2代入进行计算．
7．因式分解x4﹣18x2+81的结果为（　　）
A．（x2+9）2 B．（x2﹣9）2 C．（x+9）2（x﹣9）2 D．（x+3）2（x﹣3）2
【点拨】原式利用完全平方公式和平方差公式分解即可．
【解析】解：原式＝（x2﹣9）2＝（x+3）2（x﹣3）2，
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
8．化简（﹣2）2025+（﹣2）2026，结果为（　　）
A．﹣2 B．0 C．﹣22025 D．22025
【点拨】由提公因式法得22025（﹣1+2），即可求解．
【解析】解：原式＝﹣22025+22026
＝22025×（﹣1+2）
＝22025；
故选：D．
【点睛】本题考查了提公因式法，能熟练利用提公因式法进行计算是解题关键．
9．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码记忆方便．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果是（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x＝9，y＝9，则各个因式的值是：x﹣y＝0，x+y＝18，x2+y2＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码．对于多项式x3﹣xy2，取x＝52，y＝28，用上述方法产生的密码不可能是（　　）
A．528024 B．522824 C．248052 D．522480
【点拨】先提公因式x，然后根据平方差公式因式分解，进而代入字母的值即可求解．
【解析】解：∵x3﹣xy2
＝x（x2﹣y2）
＝x（x+y）（x﹣y），
∵x＝52，y＝28，则各个因式的值为x＝52，x+y＝80，x﹣y＝24，
∴产生的密码不可能是522824，
故选：B．
【点睛】本题主要考查提公因式法分解因式、平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．
10．现有甲、乙、丙三种不同的矩形纸片（边长如图）．小亮要用这三种纸片紧密拼接成一个大正方形，先取甲纸片1块，再取乙纸片4块，还需取丙纸片（　　）块．
A．2 B．3 C．4 D．5
【点拨】根据完全平方式进行配方可得此题结果．
【解析】解：∵a2+4b2+4ab＝（a+2b）2，
∴还需取丙纸片4块，
故选：C．
【点睛】此题考查了解决完全平方式几何背景问题的能力，关键是能结合图形构造完全平方式．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．因式分解：﹣3xy2+12xy＝　﹣3xy（y﹣4）　 ．
【点拨】直接提取公因式﹣3xy即可．
【解析】解：﹣3xy2+12xy
＝﹣3xy（y﹣4）．
故答案为：﹣3xy（y﹣4）．
【点睛】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12．分解因式：x4﹣81＝　（x2+9）（x+3）（x﹣3）　 ．
【点拨】利用平方差公式即可分解．
【解析】解：原式＝（x2+9）（x2﹣9）＝（x2+9）（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x2+9）（x+3）（x﹣3）．
【点睛】本题考查了因式分解，正确掌握平方差公式是关键．
13．已知m+2n﹣3＝0，且m﹣2n+2＝0，则m2﹣4n2＝ 　﹣6　 ．
【点拨】根据完全平方公式计算即可．
【解析】解：∵m+2n﹣3＝0，m﹣2n+2＝0，
∴m+2n＝3，m﹣2n＝﹣2，
∴m2﹣4n2
＝（m﹣2n）（m+2n）
＝3×（﹣2）
＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点睛】本题考查的是完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的变形是关键．
14．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b的值为 　﹣31　 ．
【点拨】直接提取公因式（3x﹣7），进而合并同类项得出即可．
【解析】解：（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）
＝（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13）
＝（3x﹣7）（x﹣8），
∵（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），
∴（3x﹣7）（x﹣8）＝（3x+a）（x+b），
则a＝﹣7，b＝﹣8，
故a+3b＝﹣7+3×（﹣8）
＝﹣31．
故答案为：﹣31．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
15．已知a＝2024x+2023，b＝2024x+2024，c＝2024x+2025，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于　3　 ．
【点拨】根据题意可得，a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣2，b﹣c＝﹣1，结合已知可得原式＝，代入计算即可．
【解析】解：由题意得，a﹣b＝（2024x+2023）﹣（2024x+2024）＝﹣1，
a﹣c＝（2024x+2023）﹣（2024x+2025）＝﹣2，
c﹣b＝（2024x+2025）﹣（2024x+2024）＝1，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝
＝
＝
＝3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握因式分解是关键．
16．若一个正整数k可以写成两个正整数a、b的平方差的形式，即：k＝a2﹣b2（其中a，b都是正整数，且a＞b＞1），那么我们称（a，b）为正整数k的“欢喜数对”．如：9＝52﹣42，那么正整数9的“欢喜数对”为（5，4）．今年是2024年，那么正整数2024的“欢喜数对”为 　（507，505）或（255，251）或（57，35）　 （请写出所有满足条件的“欢喜数对”）．
【点拨】先对2024因式分解，然后再根据平方差公式和“欢喜数对”的定义即可解答．
【解析】解：∵2024＝2×1014＝a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），
∴，
解得：，
∴正整数2024的“欢喜数对”为（507，505）；
同理可得：（255，251），（57，35）也是正整数2024的“欢喜数对”．
故答案为：（507，505）或（255，251）．
【点睛】本题主要考查了因式分解和平方差公式的应用，理解“欢喜数对”的定义是解题的关键．
三．解答题（共8小题，共72分）
17．将下列各式因式分解：
（1）xy（x﹣y）﹣x（x﹣y）2；
（2）a4﹣8a2b2+16b4．
【点拨】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答；
（2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
【解析】解：（1）xy（x﹣y）﹣x（x﹣y）2
＝x（x﹣y）[y﹣（x﹣y）]
＝x（x﹣y）（2y﹣x）；
（2）a4﹣8a2b2+16b4
＝（a2﹣4b2）2
＝（a+2b）2（a﹣2b）2．
【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（1）因式分解：2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）；
（2）利用因式分解简化计算：2002﹣400×199+1992．
【点拨】（1）利用提公因式法因式分解即可；
（2）利用完全平方公式计算即可．
【解析】解：（1）2a2（a﹣b）﹣8（a﹣b）
＝2（a﹣b）（a2﹣4）
＝2（a﹣b）（a+2）（a﹣2）；
（2）2002﹣400×199+1992
＝2002﹣2×200×199+1992
＝（200﹣199）2
＝1．
【点睛】本题考查了因式分解的意义，掌握找公因式以及完全平方公式是解答本题的关键．
19．根据条件求值：
（1）先化简，再求值：（2x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣2）﹣2x（x﹣2），其中x＝﹣；
（2）已知x+y＝5，xy＝3，求x2y+xy2的值．
【点拨】（1）首先根据完全平方公式、平方差公式化简（2x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣2）﹣2x（x﹣2），然后把x＝﹣代入化简后的算式计算即可．
（2）首先把x2y+xy2化成xy（x+y），然后把x+y＝5，xy＝3代入化简后的算式计算即可．
【解析】解：（1）当x＝﹣时，
（2x﹣1）2﹣（x+2）（x﹣2）﹣2x（x﹣2）
＝4x2﹣4x+1﹣（x2﹣4）﹣（2x2﹣4x）
＝4x2﹣4x+1﹣x2+4﹣2x2+4x
＝x2+5
＝+5
＝2+5
＝7．
（2）∵x+y＝5，xy＝3，
∴x2y+xy2
＝xy（x+y）
＝3×5
＝15．
【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，以及整式的混合运算﹣化简求值，注意先化简，再求值．
20．两位同学将一个二次三项式分解因式．大马虎同学因看错了一次项系数而分解成3（x﹣1）（x﹣9），小马虎同学因看错了常数项而分解成3（x﹣2）（x﹣4）．
（1）求正确的这个二次三项式；
（2）请不马虎的你将原多项式正确分解因式．
【点拨】（1）将大马虎和小马虎的结果分解，取没有错误的系数换元出正确的二次三项式；
（2）进行因式分解即可．
【解析】解：（1）∵3（x﹣1）（x﹣9）＝3（x2﹣10x+9）＝3x2﹣30x+27；
3（x﹣2）（x﹣4）＝3（x2﹣6x+8）＝3x2﹣18x+24．
根据题意大马虎同学因看错了一次项系数，小马虎同学因看错了常数项，
∴正确的这个二次三项式为：3x2﹣18x+27．
（2）3x2﹣18x+27
＝3（x2﹣6x+9）
＝3（x﹣3）2．
【点睛】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
21．阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如x2+5x+4＝x2+（1+4）x+1×4＝（x+1）（x﹣4）；x2﹣3x﹣4＝x3+（1﹣4）x+1×（﹣4）＝（x+1）（x﹣4）．
请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式：
（1）x2+7x+6：
（2）x2+3x﹣10；
（3）x2﹣10x+16；
（4）x2﹣7x﹣18．
【点拨】（1）把多项式变为x2+（1+6）x+1×6，即可利用十字相乘法进行因式分解；
（2）把多项式变为x2+（5﹣2）x+5×（﹣2），即可利用十字相乘法进行因式分解；
（3）把多项式变为x2+（﹣2﹣8）x+（﹣2）×（﹣8），即可利用十字相乘法进行因式分解；
（4）把多项式变为x2+（2﹣9）x+2×（﹣9），即可利用十字相乘法进行因式分解．
【解析】解：（1）x2+7x+6
＝x2+（1+6）x+1×6
＝（x+1）（x+6）；
（2）x2+3x﹣10；
＝x2+（5﹣2）x+5×（﹣2）
＝（x+5）（x﹣2）；
（3）x2﹣10x+16
＝x2+（﹣2﹣8）x+（﹣2）×（﹣8）
＝（x﹣2）（x﹣8）；
（4）x2﹣7x﹣18
＝x2+（2﹣9）x+2×（﹣9）
＝（x+2）（x﹣9）．
【点睛】本题考查了因式分解﹣十字相乘法等，因式分解的意义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
22．张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：①32﹣12＝8×1；②52﹣32＝8×2；③72﹣52＝8×3；…
（1）请你写出第④个符合上述规律的算式 　92﹣72＝8×4　 ；
（2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n﹣1（其中n为正整数），请验证它们的平方差是8的倍数；
（3）拓展延伸：命题“两个连续偶数的平方差是8的倍数”是 　假　 命题．（填“真”或“假”）
【点拨】（1）根据已知算式写出符合题意的答案；（2）利用平方差公式计算，进而得出答案；（3）利用举例法分析得出答案．
【解析】解：（1）92﹣72＝（9+7）×（9﹣7）＝8×4；
故答案为：92﹣72＝8×4．
（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2
＝（2n+1﹣2n+1）（2n+1+2n﹣1）
＝2×4n
＝8n；
因为8n是8的倍数，故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
（3）如42﹣22＝12，
因为12不是8的倍数，
故这是个假命题，
故答案为：假．
【点睛】本题考查了平方差公式，发现规律是解题的关键．
23．探究下面的问题：
（1）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2﹣8a﹣12b+52＝0，求△ABC的最长边c的值．
（2）已知a2+2b2﹣2ab+4b+4＝0，求ab的值．
【点拨】（1）利用多项式变形将原式化为两个平方和的形式，根据偶次方的非负性求出a＝4，b＝6，根据三角形的三边关系计算即可；
（2）利用多项式变形将原式化为两个平方和的形式，根据偶次方的非负性求出a＝b＝﹣2，再代入计算即可求解．
【解析】解：（1）由条件可知a2﹣8a+16+b2﹣12b+36＝0，
∴（a﹣4）2+（b﹣6）2＝0，
∵（a﹣4）2≥0，（b﹣6）2≥0，
∴a﹣4＝0，b﹣6＝0，
∴a＝4，b＝6，
∵△ABC的三边长为a、b、c，
∴6﹣4＜c＜6+4，即2＜c＜10，
∵△ABC的最大边c，
∴c≥6，
∴6≤c＜10，
∴△ABC的最大边c的值为6，7，8，9；
（2）由条件可知a2﹣2ab+b2+b2+4b+4＝0，
∴（a﹣b）2+（b+2）2＝0，
∵（a﹣b）2≥0，（b+2）2≥0，
∴a﹣b＝0，b+2＝0，
∴a＝b＝﹣2，
∴ab＝4．
【点睛】此题考查了因式分解的应用，三角形三边关系的应用，熟练掌握完全平方公式，偶次方的非负性是解题的关键．
24．因为x2+2x﹣3＝（x+3）（x﹣1），这说明多项式x2+2x﹣3有一个因式为x﹣1，我们把x＝1代入此多项式发现x＝1能使多项式x2+2x﹣3的值为0．
利用上述阅读材料求解：
（1）若（x+3）是多项式x2+kx+12的一个因式，求k的值；
（2）若（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，试求m，n的值．
（3）在（2）的条件下，把多项式x3+mx2+12x+n因式分解．
【点拨】（1）由已知条件可知，当x＝3时，x2+kx+12＝0，将x的值代入即可求得；
（2）由题意可知，x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0，由此得二元一次方程组，从而可求得m和n的值；
（3）将（2）中m和n的值代入x3+mx2+12x+n，提取公因式x，则由题意知（x﹣3）和（x﹣4）也是所给多项式的因式，从而问题得解．
【解析】解：（1）∵x+3是多项式x2+kx+12的一个因式，
∴x＝﹣3时，x2+kx+12＝0，
∴9﹣3k+12＝0，
∴3k＝21，
∴k＝7，
∴k的值为7．
（2）（x﹣3）和（x﹣4）是多项式x3+mx2+12x+n的两个因式，
∴x＝3和x＝4时，x3+mx2+12x+n＝0，
∴，
解得，
∴m、n的值分别为﹣7和0．
（3）∵m＝﹣7，n＝0，
∴x3+mx2+12x+n可化为：x3﹣7x2+12x，
∴x3﹣7x2+12x，
＝x（x2﹣7x+12）
＝x（x﹣3）（x﹣4）．
【点睛】本题考查了利用因式定理分解因式的特殊方法，根据阅读材料仿做，是解答本题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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