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2025年云南省煤炭一中、二中等学校高三下学期5月大联考数学试卷
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
祝考试顺利！
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若等比数列的前项和为，则“”是“单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知非零向量，满足与夹角的余弦值为，若，则实数( )
A. B. C. D.
4.世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形另一种是顶角为的等腰三角形例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，，根据这些信息，可得( )
A. B. C. D.
5.在中，已知，，，是边上的中线，则( )
A. B. C. D.
6.计算机中常用十六进制是逢进的计数制，采用数字和字母共个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如表：
进制
进制
例如：十进制数“”用十六进制表示就是“”因为，同理，用十进制表示的加法“”，在十六进制下的加法为“”，那么，在十六进制下，( )
A. B. C. D.
7.已知某圆台的体积为，其轴截面为梯形，，，则在该圆台的侧距上，从点到的最短路径的长度为( )
A. B. C. D.
8.已知，，若不等式的解集中只含有两个正整数，，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某小组做“用频率估计概率”的试验时，将某一结果绘制成如图所示的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是( )
A. 抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上
B. 掷一个正六面体的骰子，出现点或点朝上
C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
D. 从一个装有个红球和个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球
10.如图，函数的部分图象，则( )
A. 函数的图象关于点对称
B. 将图象向右平移后得到函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上的最大值与最小值之差的取值范围为
11.若定义域为对任意，存在唯一，使得，则称在定义域上是“倒数函数”，则下列说法正确的是( )
A. 是倒数函数
B. 是倒数函数
C. 若在上是倒数函数，则
D. 若存在，使得在定义域上是倒数函数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.三角形三边长为，，，则以边长为的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______．
13.若，则 ______．
14.已知，为正数，且满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点．
证明：平面；
若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
16.本小题分
若随机变量，均为定义在同一样本空间上的离散型随机变量，则将称为二维离散型随机变量，将取值为的概率记作，其中，，，，．
甲、乙两人进行足球点球比赛，约定如下：甲、乙各点一次球，点球者进球得分，不进球得分，分数高者获胜，比赛结束若平局，甲、乙再通过抽签决定谁点球，且甲、乙抽中签的概率均为，抽中签者点球，进球得分，不进球得分；未抽中者不点球，得分，分数高者获胜，比赛结束已知甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立记甲得分为，乙得分为．
求，；
求；
已知随机事件发生了，求随机变量的分布列与数学期望．
17.本小题分
已知等差数列的前项和为，数列满足，．
求数列的通项公式；
证明：数列是等比数列；
求数列的前项和．
18.本小题分
已知．
当时，求函数的极值；
讨论函数的单调性；
设，当，时，证明：．．
19.本小题分
已知是椭圆：上的动点，过原点向圆：引两条切线，分别与椭圆交于，两点如图所示，记直线，的斜率依次为，，且．
求圆的半径；
求证：为定值；
求四边形的面积的最大值．
答案
1.【答案】
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10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】证明：取中点，连接，，
为的中点，，，
又，，，，
四边形为平行四边形，，
平面，平面，
平面；
取中点，连接，由，知，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
直线与平面所成的角为，
，
，，
又，，
如图以为坐标原点，直线为轴，直线为轴，直线为轴建立空间直角坐标系，
，
，
设平面的一个法向量，
则，则，
取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成锐二面角为，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值．
16.【答案】 若，，
此时甲的得分为分，乙的得分为，
其情形为甲、乙各进一球，且乙抽到签，未进球，
因为甲、乙每次进球的概率分别为，，且每次点球之间相互独立，
所以，
因为，是不可能事件，
所以；
若，
此时甲的得分为分，
需满足甲进球，乙未进球，或甲进球，乙进球，且乙抽到签，
所以，
则；
若随机事件发生了，
此时甲的得分为分，
需满足甲未进球，乙进球，或甲未进球，乙未进球，且乙抽到签，
所以，
已知的所有可能取值为，，，
所以，
，
，
所以，
，
，
则的分布列为：
故．
17.【答案】解：是等差数列，，．
又，．
，
．
，．
又，，
是首项为，公比为的等比数列．
由得，
记，
．
18.【答案】解：当时，，，
则，，
由，得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
所以在处取得极小值，无极大值；
由题意得，定义域为，
所以，，
设的两个实根为，
对的单调性讨论如下：
当时，由，得恒成立，所以在上单调递增；
当时，得，由，得恒成立，所以在上单调递增；
当时，由且，得，由且，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
令，
所以恒成立，
所以在上单调递减，取，由，得，
则，即，
所以 ，
当时，由于
．
19.【答案】解：由题意知：直线，的方程分别为，，
则，是方程，即方程的两根．
当时，圆与轴相切，直线的斜率不存在，矛盾．
于是，化简得，
所以．
证明：设，，
依题意，，，
则有，．
即，，
解得，，
于是，
，
所以
．
，
当且仅当时等号成立．
综上所述，四边形面积的最大值为．

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