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第十章 三角形
10.3 三角形的角平分线、中线和高
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汇报人：初一6班
1.了解三角形的角平分线、中线和高线的概念，会用工具 准确画出三角形的高、角平分线与中线。
2.了解三角形的重心。
3. 学会用数学知识解决实际问题，发展应用和自主探究意识，并培养学生的动手实践能力.
学习目标
这里有一块三角形的蛋糕，如果兄弟两个想要平分的话，你该怎么办呢？
问题引入
1
问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
A
C
B
O
答： ∠AOC= ∠BOC
Ｃ
Ａ
Ｂ
问题2 你能通过折纸的方法找到△ABC中∠A的平分线吗
三角形的角平分线
2
温故知新
在一张纸上画出一个三角形并剪下，将它的一个角对折，使其两边重合.
A
C
B
Ｄ
三角形的角平分线
1
2
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线.
A
B
C
D
∠1=∠2
角平分线是一条射线，三角形的角平分线是一条线段.
注意
AD是△ABC的角平分线.
知识要点
问题3 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片各一个.
(1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗
(2) 你能用折纸的办法得到它们吗
(3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系
三角形的三条角平分线交于同一点.
观察思考
内心
问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
A
C
B
AC=BC= AB
问题2 类比三角形的角平分线的概念，试说明什么叫三角形的中线？
三角形的中线
3
合作探究
A
B
C
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的中线.
D
连接三角形的一个顶点与它对边中线的线段叫作三角形的中线.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
三角形的三条中线相交于一点
如图，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点O，则点O为△ABC的重心.
观察思考
重心
例1 如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长为35cm，BC=11cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3cm，求AB与AC的长.
A
C
D
B
解：∵AD是△ABC的中线，
∴CD=BD.
∵△ABC的周长为35cm，BC=11cm，
∴AC+AB=35-11=24（cm）.
又∵△ABD与△ACD的周长之差为3cm,
∴AB-AC=3，
∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.
典例精析
问题1 什么是三角形的高？
问题2 怎样画三角形的高？
如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D,所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
A
B
C
D
垂直符号
垂足
∠ADB= ∠ADC=90 °
三角形的高线
4
合作探究
定义：三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高.
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
O
(E,F)
O
如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，并观察高的交点有什么规律？
三角形的三条高交于一点.
（1）锐角三角形的高交于三角形内一点；
（2）直角三角形的高交于直角的顶点；
（3）钝角三角形的高交于三角形外一点.
观察思考
垂心
例2 如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平 分线，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.
解： ∵ AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°.
∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C)
=180°－90°－40°
=50°.
∵AE是△ABC的角平分线，且∠BAC=82°，
∴∠CAE= ∠BAC=41°，
∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°.
A
B
C
D
E
典例精析
2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，
那么这个三角形是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.锐角三角形
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B
D
当堂练习
4
3.如图,在△ABC中, ∠1=∠2,G为AD中点,延长BG交AC于E,F为AB上一点,CF⊥AD于H,判断下列说法的正误.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
①AD是△ABE的角平分线( )
②BE是△ABD边AD上的中线( )
③BE是△ABC边AC上的中线( )
④CH是△ACD边AD上的高( )
×
×
×
√
4. 如图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线，
BF是△EBD的角平分线，根据已知条件填空：
ADC
90
AE
AB
EBF
DBE
如图，已知AD,AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm,BC=10cm， ∠CAB=90 °,试求：
（1）△ABE的面积；
（2）△ACE和△ABE的周长的差.
A
B
C
D
E
解：（1）
即AD=4.8.
（2） ∵AE是△ABC的中线，
∴BE=CE.
∴△ACE和△ABE的周长的差
=（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)
=AC+AE+CE-AB-AE-BE
=AC-AB
=8-6
=2(cm)
重要发现 三角形中线AE把原三角形分成的两个三角形的周长差就是AC与AB的差.
A
B
C
D
E
三角形中几条重要线段
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
中线
角平分线
高
三角形的角平分线是一条线段
课堂小结
5
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01

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