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10.2 三角形的内角和外角
第十章 三角形
1.经历探索三角形内角和定理的过程，能说明三角形内角和定理，提高推理能力。
2.理解三角形外角的概念，经历三角形外角与内角之间关系的探究过程，掌握三角形内角和定理的推论，并能应用三角形内角和定理及其推论解决相关问题。
3.了解锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的概念，能将三角形按角进行分类。
　　　　
学习目标
目录
问题引入
1
三角形内角和定理
2
当堂练习
3
课堂小结
4
在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？” 老二很纳闷.你知道其中的道理吗？
内角三兄弟之争
问题引入
1
问题1
问题2 三角形的三个内角和是多少 你有什么办法可以验证呢
想一想 从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗
问题引入
1
问题3：如下图所示是我们常用的三角板,它们的三个角之和为多少度
30°+60°+90°=180°
45°+45°+90°=180°
问题引入
1
验证：三角形三个内角的和等于180°.
F
2
1
E
C
B
A
试说明：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
A
C
B
C
B
解：过点A作EF∥BC，
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
想一想 同学们还有其他的方法吗？
三角形内角和定理
2
方法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(两直线平行，内错角相等)
∠B=∠2.
(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
三角形内角和定理
2
方法3：过A作AE∥BC，
∴∠B=∠BAE
(两直线平行,内错角相等).
∠EAB+∠BAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补).
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
C
B
A
E
三角形内角和定理
2
例1 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=65°，求∠C的度数.
A
B
C
解：∵∠A＋∠B+∠C=180°(三角形的内角和定理),
∴∠C=180°-(∠A＋∠B).
∵∠A=30°，∠B=65°，(已知)
∴∠C=180°-(30°＋65°)=85°.
三角形内角和定理
2
典例精析
(2) 在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 三角形 .
(1) 在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
(3) 在△ABC中， ∠A= ∠B+10°, ∠C= ∠A + 10°, 则
∠A= ， ∠ B= ，∠ C= .
102°
直角
60°
50°
70°
随堂训练
三角形内角和定理
2
如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解：由∠BAC=40 °, AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
随堂训练
三角形内角和定理
2
例2 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，试判断△ABC 的形状，并说明理由．
三角形内角和定理
2
典例精析
△ABC 是直角三角形．理由如下：
∵∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，
∴可设∠A，∠B，∠C 的度数分别为x °，2x °，3x °.在△ABC 中，∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形三个内角的和等于180°)，
∴x＋2x＋3x＝180，解得x＝30.
∴∠C＝3x°＝90°，
∴△ABC 是直角三角形．
解：
三角形内角和定理
2
配套练习
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
例3 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80 °方向，C岛在B岛的北偏西40 °方向，从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
典例精析
三角形内角和定理
2
解：∠CAB= ∠BAD-∠CAD=80 °-50°=30°.
由AD//BE,得∠BAD+ ∠ABE=180 °.
所以∠ABE=180 °-∠BAD=180°-80°
=100°,∠ABC= ∠ABE- ∠EBC=100°-40°=60°.
在△ABC中，
∠ACB=180 °-∠ABC-∠ CAB
=180°-60°-30° =90°,
答：从B岛看A,C两岛的视角∠ABC是60 °,从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90°.
北
.
A
D
北
.
C
B
.
东
E
三角形内角和定理
2
三角形内角和定理
2
配套练习
如图，A 点在B 点的北偏东40°方向，C 点在B 点的北偏东75°方向，A 点在C 点的北偏西50°方向．
(1)试说明△ABC 为直角三角形；
(2)求∠BCA 的度数．
三角形内角和定理
2
(1)如图，过A 作AF∥BD，∴∠BAF＝∠ABD＝40°.显然AF∥EC，
∴∠CAF＝∠ECA＝50°.
∴∠BAC＝∠BAF＋∠CAF＝40°＋50°＝90°.
∴△ABC 为直角三角形．
(2)∵∠DBC＝75°，∠DBA＝40°，
∴∠ABC＝∠DBC－∠DBA＝75°－40°＝35°.
∴在Rt△ABC中，∠BCA＝90°－∠ABC＝90°－35°＝55°.
解：
当堂练习
3
当堂练习
3
当堂练习
3
当堂练习
3
当堂练习
3
当堂练习
3
如图，说明∠A＋∠B＋∠C 与∠ADC 之间的关系．
易错点：非三角形问题用内角和定理而致错
当堂练习
3
易错提醒
解：
连接BD.∵∠A＋∠ABD＋∠ADB＝180°，
∠C＋∠DBC＋∠CDB＝180°，
∴∠A＋∠ABD＋∠ADB＋∠C＋∠DBC＋∠CDB＝360°，
又∵∠ADB＋∠CDB＋∠ADC＝360°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＋360°－∠ADC＝360°，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝∠ADC.
当堂练习
3
7.说出下列各图中的x值．
x=70
x=60
x=30
x=50
当堂练习
3
8.如图，则∠1+∠2+∠3+∠4=___________ .
B
A
C
D
4
1
3
2
E
40°
（
280 °
解析：根据三角形的内角和定理，∠A+∠1+∠2=180°，∠3+∠4+∠A=180°，∴∠1+∠2=∠3+∠4=180°-∠A
=140°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°.
当堂练习
3
9.如图，在△ABC 中，∠ ABC ，∠ ACB 的平分线BD，CE 交于点O．
变式1　若∠A =80°，则∠BOC = ．
　　变式2　你能直接写出∠BOC与∠A 之间的数量关
系吗？
A
B
C
O
E
D
130°
∠BOC = 90°+ ∠A .
当堂练习
3
三角形的内角和定理
内容
应用
三角形的内角和等于180°.
通过作辅助线，结合平行线的性质，验证定理
求三角形的内角度数.
课堂小结
4

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