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绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）半期考试试题 数 学
完成时间：120分钟 满分：150分
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知数列的首项为1，，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．已知函数，则（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
3．某城市的汽车牌照号码由个英文字母后接个数字组成，其中个数字互不相同的牌照号码共有（ ）个
A． B． C． D．
4．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在处取得极小值
B．函数在处取得极大值
C．函数在上单调递增
D．函数的递减区间为
5．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）
A．140种 B．120种 C．35种 D．34种
6．在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ）
A．3 B． C． D．9
7．高二某班为了准备校园樱花文化节活动的展示牌，计划用5种不同颜色的笔书写图中A、B、C、D四个区域的文字，规定每个区域只用一种颜色的笔书写文字，相邻区域书写的文字颜色不同,则不同的书写方法数为（ ）
A．120 B．160
C．180 D．240
8．设数列的前项之积为，满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．到了毕业季，我校科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（ ）
A．所有不同的排法种数为120种
B．如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种
C．如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种
D．如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种
10．设数列是以为公差的等差数列，是其前n项和，，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．使>0成立的的最大值为14 D．为的唯一最大值
11．已知不等式在上恒成立（当且仅当时等号成立），下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12.在的展开式中，常数项是 .
13.我校新采购了5套不同的实验器材，预计分配到高一、高二、高三三个年级的实验室，要求每个年级至少分到1套实验器材，那么共有 种不同的分配方案.
14．已知等差数列的前项和为，且.在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列.若对任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 .
四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.（13分）已知函数
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)若，求函数的最大值与最小值.
16.（15分）已知等差数列和正项等比数列满足：,,
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，数列的前项和为，求.
17.（15分）已知函数.
(1)设函数，若在定义域上存在减区间，求实数的取值范围；
(2)若对任意的，且，都有，求实数的取值范围．
18.（17分）已知数列，若，且．
(1)证明数列是等比数列，并求出的通项公式；
(2)若，且数列的前项和为，求；
(3)若，且数列的前项和为，求证：.
（17分）已知函数
讨论的单调性；
若在上恒成立，求的取值范围；
讨论在上的零点个数.
绵阳南山中学实验学校高2023级高二（下）半期考试 数学试题答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．A 2．D 3.D 4．B 5．D
6．【详解】由题得，
因为，是函数的极值点，则，是方程的两根，
所以从而可得，
又因为等比数列，可得，且，所以.
故选：B.
7．C
8．【详解】当时，，所以，
当时，，可得，即，即，
即，所以是首项为3，公差为2的等差数列，
所以，所以，所以.
故选：.
多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．【答案】ABD
10．【详解】根据题意可得，即．因为，，所以，所以数列是递减数列，所以A，B正确；
对于C，因为，，故C正确；
对于D，因为，所以，又为递减数列，所以或为的最大值，故D不正确．
故选：ABC．
11．【详解】对于A，将替换为，则，所以，所以A正确；
对于B，由A可得，故，又由题设得，
故，即，故B正确；
对于C，D由已知和 A得，令得，
即，所以C，D错误；
故选：AB.
填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
15 13. 150
14 【详解】设等差数列的首项为，公差为.
由，得：
由，得：
将代入上式：化简得：
因此，公差，通项公式为：
在与之间插入个数，构成项的等差数列，其公差为：
数列的单调性：设，则
故单调递增，最小值为.数列的最小值：，当时，.
对任意，存在，使得.由于且，只需保证，即.
故答案为：.
四、解答题：(本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.【详解】（1）由题，则切线的斜率为， （2分）
故曲线在点处的切线方程为，即为； （4分）
（2）∵，令，解得：或，
令，解得：，
∴在单调递增，在单调递减，在单调递增； （6分）
∴，， （8分）
又，，，， （12分）
所以在上的最大值为，最小值为. （13分）
16.【详解】（1）设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为；
由，，可得， （2分）
解得或（舍），则； （4分）
所以，； （6分）
可得数列的通项公式为，的通项公式为；（8分）
（2）易知，
则，
； （11分）
两式相减可得
；（14分）
所以数列的前项和为. （15分）
【详解】(1)由函数f(x)＝x2＋(a－2)x－2a ln x，x>0，
，可得， （2分）
函数在上存在减区间在上有解. （4分）
在上成立，解得. （7分）
(2)由函数f(x)＝x2＋(a－2)x－2a ln x，
因为对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都有，
不妨设，则等价于. （9分）
设，等价于在(0，＋∞)上是增函数， （10分）
可得，
依题意，对任意x>0有x2－2x－2a≥0恒成立， （12分）
又由，可得，即实数a的取值范围为. （15分）
【详解】（1）因为，所以，又，所以，
所以是以为首项、为公比的等比数列，所以，则. （5分）
（2）由（1）可得，
所以， （7分）
所以. （10分）
（3）由（1）可得 （12分）
（15分）
易知在上单调递增，且恒成立，所以
故得证. （17分）
19.【详解】（1）的定义域为R,
①当时，，在R上单调递减. （2分）
②当时，令，解得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（4分）
综上：若，在R上单调递减；若，在上单调递减，
在上单调递增. （ 5分）
（2）由（1）可知，①当时，在上单调递减，所以，不满足在上恒成立. （7分）
②当时，在上单调递减，在上单调递增.
1）若，即，在上单调递增，那么，满足在上恒成立. （9分）
2）若，即，，则在上单调递减，在上单调递增.。不满足在上恒成立.
综上，的取值范围是 （11分）
（3）①当，在R上单调递减，当；当，所以有一个零点. （12分）
②当时，在上单调递减，在上单调递增.
（13分）
令所以在上单调递增，又
所以当时，，函数有一个零点.
当时，，函数无零点.
当时，，
当；当函数有两个零点.
综上：当，有一个零点；
当时，函数有两个零点；
当时，函数有一个零点；
当时，函数无零点. （17分）

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