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浙江省杭州市萧山区2025年中考数学模拟试题（3月）
1．（2025·萧山模拟）实数2023的相反数是（　　）
A． B． C． D．2023
2．（2025·萧山模拟）2023年5月21日，以“聚力新南通、奋进新时代”为主题的第五届通商大会暨全市民营经济发展大会召开，40个重大项目集中签约，计划总投资约元．将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·萧山模拟）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·萧山模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·萧山模拟） 下列说法正确的是（　　）
A．检测“神州十八号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其外角和是是必然事件
C．数据6，5，8，9的中位数是7
D．甲、乙两组数据的方差分别是，则乙组数据比甲组数据稳定
6．（2025·萧山模拟）下列不等式说法中，不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7．（2025·萧山模拟）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是 （　　）
A． B． C． D．
8．（2025·萧山模拟）如图，是的内接三角形，是的直径，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·萧山模拟）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+6
C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+2
10．（2025·萧山模拟）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．（2025·萧山模拟）因式分解：　 　．
12．（2025·萧山模拟） 玉米是山西省主要农作物之一.某种业公司在选育玉米种子时，在同一条件下对某个品种的玉米种子进行了发芽试验，统计数据如下表：
试验种子粒数 100 200 500 1000 2000 5000
发芽种子粒数 92 188 476 951 1900 4752
据此估计该品种的玉米种子发芽的概率为　 　.（结果精确到0.01）
13．（2025·萧山模拟）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已，，．则的度数是　 　．
14．（2025·萧山模拟）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　 　（不必化简）．
15．（2025·萧山模拟）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为　 　．
16．（2025·萧山模拟）如图，正方形的边长为，，，，则线段的长为　 　．
17．（2025·萧山模拟）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
18．（2025·萧山模拟）计算和化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
19．（2025·萧山模拟）为庆祝伟大的中国共产党建党100周年，我市某校组织学生开展以“学党史，感党恩”为主题的系列活动A：学红色历史，传承“红色基因”；B：读红色经典，领悟“红色精神”；C：讲红色故事续“红色血脉”；D：唱红色歌曲，重温“红色岁月”．学校为了解“学党史，感党恩”系列活动开展情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制出如下不完整的统计图．
（1）本次调查的总人数为 　 　人，扇形统计图中B部分的圆心角是 　 　度，请补全条形统计图；
（2）根据本次调查，估计该校800名学生中，参加活动A的学生有多少人？
（3）参加活动D的5名学生中，有两名男生和三名女生，若从这5名学生中随机抽取2名学生参加市级唱红歌比赛，请用画树状图或列表的方法，求正好抽到1男1女的概率．
20．（2025·萧山模拟）综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量．
素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环．
素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示．
当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数．
链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）．
任务1：求时，关于的函数表达式．
任务2：求该冷柜一天的耗电量．
21．（2025·萧山模拟）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交与点O、与交于点P、与交于点Q．
求证：
（1）；
（2）是等边三角形
22．（2025·萧山模拟）已知二次函数，其中a为常数．
（1）求证：点在二次函数图象上；
（2）当a为何值时，二次函数图象与x轴只有一个交点；
（3）当时，y的最小值为1，求a值．
23．（2025·萧山模拟）综合与探究
折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，八（4）班数学兴趣小组的同学们在活动课进行了折纸问题探究．
【方法提示】
数学折纸问题的解决通常结合轴对称和全等的相关知识性质，要关注折叠前后对应的边和对应的角等一些不变的关系．
【动手操作】
如图，将一张矩形纸片沿长边进行折叠（已知），使点落在边上，折痕为（点在边上，点在边上），折叠后点，的对应点分别为点，．
【问题探究】
（1）判断图中四边形的形状，并证明你的结论．
（2）随着点落在不同的位置，折痕位置也在变化，若矩形纸片中，，求线段长度的取值范围．
24．（2025·萧山模拟）如图1，是平行四边形的一条对角线，且，的外接圆⊙O与边交于点E，连结．
（1）若，的面积为，求的半径．
（2）如图2，过点作于，直线与直线交于点，若时，求的值．．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：实数2023的相反数是，
故选：A．
【分析】
只把符号不同的两个数叫相反数，特殊地，0的相反数是0．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：41800000000=4.18×1010.
故答案为：B
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图形可知，主视图为
故答案为：D．
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】分式的加减法；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：和不是同类二次根式不能合并，故A计算错误，不符合题意；
和不是同类项，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用同类二次根式，同类项，分式的加法法则计算求解即可。
5．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；中位数；方差
【解析】【解答】解：A、检测“神州十八号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故不正确；
B、任意画一个三角形，其外角和是是必然事件，故不正确；
C、∵从小到大排列为5，6，8，9，∴数据6，5，8，9的中位数是，正确；
D、∵甲、乙两组数据的方差分别是，∴$${s}_{\mathrm{甲}}^{2}< {s}_{\mathrm{乙}}^{2}$$，则甲组数据比乙组数据稳定，故不正确；
故答案为：C．
【分析】根据调查范围较广，或具有破坏性的，适合抽样调查；调查范围较小，需要的数据更精确的，适合全面调查即可判断A选项；根据必然事件是在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生即可判断B选项；根据中位数的定义即可判断C选项；根据方差越小数据越稳定，据此即可判断D项．
6．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴选项B符合题意；
∵，
∴，
∴选项C不符合题意；
∵，
∴，
∴
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【分析】
不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
、、，
，
，
于点，
，
，
，
故选：A．
【分析】
由于菱形的对角线平分一组对角，所以；因为菱形的对角线互相垂直平分，又，则由同角的余角相等可得；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD=OH，则．
8．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，
∴图中阴影部分的面积为
，
故选：C．
【分析】
连接CD，由圆周角定理知是直角三角形，且，则是等边三角形；由于OC是斜边AD的中线，则图中阴影部分的面积为列式计算即可求解．
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴△ABG≌△AFG；
②正确．因为：EF=DE=CD=2，
设BG=FG=x，则CG=6﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，
解得x=3．
所以BG=3=6﹣3=GC；
③正确．
因为CG=BG=GF，
所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG//CF；④错误．
过F作FH⊥DC，
∵BC⊥DH，
∴FH//GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴，
∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=，故④错误，
故答案为：C．
【分析】
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证 在直角 中，根据勾股定理可证 通过证明 由平行线的判定可得AG∥CF；由于 求得面积比较即可.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】
先提公因式，再利用平方差公式继续分解因式即可．
12．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由表格得出：
所以该品种的玉米种子发芽的频率接近于0.95，则该种子发芽的概率为0.95。
故答案为：0.95.
【分析】分别计算出发芽率，根据种子的粒数从100粒增加到5000粒时，种子发芽的频率接近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95。
13．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，作，
，
，
，
，，
，
，
，
即的度数是，
故答案为：．
【分析】作，先利用平行线的性质及角的运算求出，再结合，求出，最后利用角的运算求出即可.
14．【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】由包装盒容积为360cm3可得，，
故答案为：．
【分析】
利用四棱柱的展开图分别确定出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
15．【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A（-3，9），B（1，1），令，
∴的解为，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
【分析】令，根据二次函数与一次函数的交点坐标即可求出x的值，从而将化为，即可求解.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
17．【答案】解：（1）
；
（2），
方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，所以不是分式方程的解；
当时，，所以是分式方程的解；
所以原分式方程的解是．
【知识点】解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算先乘方，再乘除，最后加减，即先根据有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可；
（2）分式方程两边同乘，将分式方程化为整式方程并求解，再验根，最后根据验根情况再写根即可．
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；整式的加减运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】
（1）根据有理数的乘法分配律计算即可得解；
（2）实数的混合运算顺序是先计算乘方，再计算括号里面的，然后计算乘除，最后计算减法即可；
（3）整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可得解；
（4）整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可得解．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．【答案】（1）50；；统计图见解析
（2）解：800×＝192（人），
答：估计该校800名学生中，参加活动A的学生有192人；
（3）解：列表如下：设B表示男生，G表示女生
--
--
--
--
--
共有20种等可能的结果，其中正好抽到1男1女的结果数为12，
所以正好抽到1男1女的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）本次调查的总人数为5÷10%＝50（人），扇形统计图中B部分的圆心角是360°×＝108°，
C活动项目的人数为50 （12＋15＋5）＝18（人），
补全图形如下：
故答案为：50、108；
【分析】
（1）观察两个统计图，可发现由D项目人数及其所占百分比求得总人数，用360°乘以B项目人数所占比例可得其对应圆心角度数，总人数减去A、B、D人数求出C的人数即可补全图形；
（2）用总人数乘以样本中A项目人数所占比例即可；
（3）列表求概率，共有20种等可能的结果，刚好抽到1男1女的有12种情况，再利用概率公式即可求得答案．
（1）本次调查的总人数为5÷10%＝50（人），扇形统计图中B部分的圆心角是360°×＝108°，
C活动项目的人数为50 （12＋15＋5）＝18（人），
补全图形如下：
故答案为：50、108；
（2）800×＝192（人），
答：估计该校800名学生中，参加活动A的学生有192人；
（3）列表如下：设B表示男生，G表示女生
　
--
--
--
--
--
共有20种等可能的结果，其中正好抽到1男1女的结果数为12，
所以正好抽到1男1女的概率为
20．【答案】任务1：设时，关于的函数表达式为，将点代入，可得，
∴时，关于的函数表达式为；
任务2：当时，可有，解得，
∵冷柜每20分钟为一个循环，
∴每天共有循环个数：（个），
∴冷柜每天运行的时间为分钟，
∴每天耗电量为：（度）．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：利用待定系数法求函数解析式即可；
任务2：得到冷柜每20分钟为一个循环，然后求出循环次数即可得到运行时间，利用公式解题即可．
21．【答案】（1）证明：，是等边三角形，
，
，即，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
又，
是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（1）由等边三角形的性质得，，，再由等式性质推出，从而利用可证明，再根据全等三角形的对应边相等得；
（2）由全等三角形的性质可得，由平角的概念可推出，从而证明，根据全等三角形的对应边相等得即可得结论．
（1）证明：，是等边三角形，
，
，即，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
又，
是等边三角形．
22．【答案】（1）证明：将代入，
∴点在二次函数图象上；
（2）解：∵二次函数图象与x轴只有一个交点
∴判别式
∴解得或；

（3）解：二次函数的对称轴为当时，即，此时在对称轴的右侧，
又∵，图象开口向上
∴当时，随的增大而增大，
当时，最小，即；
当时，即，此时对称轴在之间
当时，最小，即
解得或（舍去）；
当时，即，此时对称轴在的右边
当时，最小，即，
解得，不符合题意，舍去；
综上，a值为1或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把代入二次函数解析式求出y值判断即可；
（2）根据根的判别式得到关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值；
（3）分对称轴在左边，之间以及右边三种情况，根据最值列方程解题即可．
（1）解：将代入，
∴点在二次函数图象上；
（2）∵二次函数图象与x轴只有一个交点
∴判别式
∴解得或；
（3）解：二次函数的对称轴为
当时，即，此时在对称轴的右侧，
又∵，图象开口向上
∴当时，随的增大而增大，
当时，最小，即；
当时，即，此时对称轴在之间
当时，最小，即
解得或（舍去）；
当时，即，此时对称轴在的右边
当时，最小，即，
解得，不符合题意，舍去；
综上，a值为1或．
23．【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
图形翻折后点与点重合，为折线，
，
，
，
图形翻折后与完全重合，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形；
（2）解：如图，当与重合时，取最小值，
由折叠的性质得，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
；
如图，当与重合时，取最大值，
由折叠的性质得，
，
，即，
，
线段的取值范围．

【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【分析】（1）先证出四边形为平行四边形，再结合GF=GE，即可得到四边形为菱形；
（2）分类讨论：①当与重合时，取最小值，②当与重合时，取最大值，再分别画出图形并利用勾股定理列出方程求解即可.
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
图形翻折后点与点重合，为折线，
，
，
，
图形翻折后与完全重合，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形；
（2）解：如图，当与重合时，取最小值，
由折叠的性质得，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
；
如图，当与重合时，取最大值，
由折叠的性质得，
，
，即，
，
线段的取值范围．
24．【答案】（1）解： 连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，
设，
，，
是的垂直平分线，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
的面积为，
，
，
解得：或（舍去），
，，
设的半径为，
在中，，
，
解得：，
的半径为5；
（2）解： 连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
设，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
，
，，
，
，
，
的值为．

【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，设，即可得到，求出，，然后根据圆内接四边形对角互补可得，从而得到，然后推理得到，即可求出，的长，利用面积求出x值，利用勾股定理解题即可；
（2）连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设，，可得，，进而求出，然后推导，即可得到，再根据解题即可．
1 / 1浙江省杭州市萧山区2025年中考数学模拟试题（3月）
1．（2025·萧山模拟）实数2023的相反数是（　　）
A． B． C． D．2023
【答案】A
【知识点】相反数的意义与性质
【解析】【解答】解：实数2023的相反数是，
故选：A．
【分析】
只把符号不同的两个数叫相反数，特殊地，0的相反数是0．
2．（2025·萧山模拟）2023年5月21日，以“聚力新南通、奋进新时代”为主题的第五届通商大会暨全市民营经济发展大会召开，40个重大项目集中签约，计划总投资约元．将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：41800000000=4.18×1010.
故答案为：B
【分析】根据科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤|a|＜10，此题是绝对值较大的数，因此n=整数数位-1.
3．（2025·萧山模拟）如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由图形可知，主视图为
故答案为：D．
【分析】根据简单组合体的三视图即可求出答案.
4．（2025·萧山模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：和不是同类二次根式不能合并，故A计算错误，不符合题意；
和不是同类项，故B计算错误，不符合题意；
，故C计算正确，符合题意；
，故D计算错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用同类二次根式，同类项，分式的加法法则计算求解即可。
5．（2025·萧山模拟） 下列说法正确的是（　　）
A．检测“神州十八号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其外角和是是必然事件
C．数据6，5，8，9的中位数是7
D．甲、乙两组数据的方差分别是，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；中位数；方差
【解析】【解答】解：A、检测“神州十八号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故不正确；
B、任意画一个三角形，其外角和是是必然事件，故不正确；
C、∵从小到大排列为5，6，8，9，∴数据6，5，8，9的中位数是，正确；
D、∵甲、乙两组数据的方差分别是，∴$${s}_{\mathrm{甲}}^{2}< {s}_{\mathrm{乙}}^{2}$$，则甲组数据比乙组数据稳定，故不正确；
故答案为：C．
【分析】根据调查范围较广，或具有破坏性的，适合抽样调查；调查范围较小，需要的数据更精确的，适合全面调查即可判断A选项；根据必然事件是在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生即可判断B选项；根据中位数的定义即可判断C选项；根据方差越小数据越稳定，据此即可判断D项．
6．（2025·萧山模拟）下列不等式说法中，不正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴，
∴选项B符合题意；
∵，
∴，
∴选项C不符合题意；
∵，
∴，
∴
∴选项D不符合题意．
故选：B．
【分析】
不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
7．（2025·萧山模拟）如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
、、，
，
，
于点，
，
，
，
故选：A．
【分析】
由于菱形的对角线平分一组对角，所以；因为菱形的对角线互相垂直平分，又，则由同角的余角相等可得；由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OD=OH，则．
8．（2025·萧山模拟）如图，是的内接三角形，是的直径，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接，，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
由勾股定理得，即，
解得，
∴，
∴图中阴影部分的面积为
，
故选：C．
【分析】
连接CD，由圆周角定理知是直角三角形，且，则是等边三角形；由于OC是斜边AD的中线，则图中阴影部分的面积为列式计算即可求解．
9．（2025·萧山模拟）将抛物线y＝（x﹣1）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（　　）
A．y＝（x+2）2﹣2 B．y＝（x﹣4）2+6
C．y＝（x﹣3）2﹣2 D．y＝（x﹣3）2+2
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
10．（2025·萧山模拟）如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③AG//CF；④S△FGC=3．其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】①正确．因为AB=AD=AF，AG=AG，∠B=∠AFG=90°，
∴△ABG≌△AFG；
②正确．因为：EF=DE=CD=2，
设BG=FG=x，则CG=6﹣x．
在直角△ECG中，根据勾股定理，得（6﹣x）2+42=（x+2）2，
解得x=3．
所以BG=3=6﹣3=GC；
③正确．
因为CG=BG=GF，
所以△FGC是等腰三角形，∠GFC=∠GCF．
又∠AGB=∠AGF，∠AGB+∠AGF=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF，
∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF，
∴AG//CF；④错误．
过F作FH⊥DC，
∵BC⊥DH，
∴FH//GC，
∴△EFH∽△EGC，
∴，
EF=DE=2，GF=3，
∴EG=5，
∴，
∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=，故④错误，
故答案为：C．
【分析】
根据翻折变换的性质和正方形的性质可证 在直角 中，根据勾股定理可证 通过证明 由平行线的判定可得AG∥CF；由于 求得面积比较即可.
11．（2025·萧山模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】
先提公因式，再利用平方差公式继续分解因式即可．
12．（2025·萧山模拟） 玉米是山西省主要农作物之一.某种业公司在选育玉米种子时，在同一条件下对某个品种的玉米种子进行了发芽试验，统计数据如下表：
试验种子粒数 100 200 500 1000 2000 5000
发芽种子粒数 92 188 476 951 1900 4752
据此估计该品种的玉米种子发芽的概率为　 　.（结果精确到0.01）
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由表格得出：
所以该品种的玉米种子发芽的频率接近于0.95，则该种子发芽的概率为0.95。
故答案为：0.95.
【分析】分别计算出发芽率，根据种子的粒数从100粒增加到5000粒时，种子发芽的频率接近于0.95，所以估计种子发芽的概率为0.95。
13．（2025·萧山模拟）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已，，．则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，作，
，
，
，
，，
，
，
，
即的度数是，
故答案为：．
【分析】作，先利用平行线的性质及角的运算求出，再结合，求出，最后利用角的运算求出即可.
14．（2025·萧山模拟）将一个容积为360cm3的包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中x（cm）满足的一元二次方程：　 　（不必化简）．
【答案】
【知识点】几何体的展开图；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】由包装盒容积为360cm3可得，，
故答案为：．
【分析】
利用四棱柱的展开图分别确定出包装盒的长、宽、高，再利用长方体的体积即可列出关于x的方程．
15．（2025·萧山模拟）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为A（-3，9），B（1，1），令，
∴的解为，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
【分析】令，根据二次函数与一次函数的交点坐标即可求出x的值，从而将化为，即可求解.
16．（2025·萧山模拟）如图，正方形的边长为，，，，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
17．（2025·萧山模拟）（1）计算：；
（2）解分式方程：．
【答案】解：（1）
；
（2），
方程可化为，
方程两边同乘，得，
解得，
检验：当时，，所以不是分式方程的解；
当时，，所以是分式方程的解；
所以原分式方程的解是．
【知识点】解分式方程；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算先乘方，再乘除，最后加减，即先根据有理数的乘方、算术平方根、负整数指数幂的运算法则计算，再合并即可；
（2）分式方程两边同乘，将分式方程化为整式方程并求解，再验根，最后根据验根情况再写根即可．
18．（2025·萧山模拟）计算和化简：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；整式的加减运算；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】
（1）根据有理数的乘法分配律计算即可得解；
（2）实数的混合运算顺序是先计算乘方，再计算括号里面的，然后计算乘除，最后计算减法即可；
（3）整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可得解；
（4）整式的加减运算，先去括号，再合并同类项即可得解．
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
19．（2025·萧山模拟）为庆祝伟大的中国共产党建党100周年，我市某校组织学生开展以“学党史，感党恩”为主题的系列活动A：学红色历史，传承“红色基因”；B：读红色经典，领悟“红色精神”；C：讲红色故事续“红色血脉”；D：唱红色歌曲，重温“红色岁月”．学校为了解“学党史，感党恩”系列活动开展情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制出如下不完整的统计图．
（1）本次调查的总人数为 　 　人，扇形统计图中B部分的圆心角是 　 　度，请补全条形统计图；
（2）根据本次调查，估计该校800名学生中，参加活动A的学生有多少人？
（3）参加活动D的5名学生中，有两名男生和三名女生，若从这5名学生中随机抽取2名学生参加市级唱红歌比赛，请用画树状图或列表的方法，求正好抽到1男1女的概率．
【答案】（1）50；；统计图见解析
（2）解：800×＝192（人），
答：估计该校800名学生中，参加活动A的学生有192人；
（3）解：列表如下：设B表示男生，G表示女生
--
--
--
--
--
共有20种等可能的结果，其中正好抽到1男1女的结果数为12，
所以正好抽到1男1女的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）本次调查的总人数为5÷10%＝50（人），扇形统计图中B部分的圆心角是360°×＝108°，
C活动项目的人数为50 （12＋15＋5）＝18（人），
补全图形如下：
故答案为：50、108；
【分析】
（1）观察两个统计图，可发现由D项目人数及其所占百分比求得总人数，用360°乘以B项目人数所占比例可得其对应圆心角度数，总人数减去A、B、D人数求出C的人数即可补全图形；
（2）用总人数乘以样本中A项目人数所占比例即可；
（3）列表求概率，共有20种等可能的结果，刚好抽到1男1女的有12种情况，再利用概率公式即可求得答案．
（1）本次调查的总人数为5÷10%＝50（人），扇形统计图中B部分的圆心角是360°×＝108°，
C活动项目的人数为50 （12＋15＋5）＝18（人），
补全图形如下：
故答案为：50、108；
（2）800×＝192（人），
答：估计该校800名学生中，参加活动A的学生有192人；
（3）列表如下：设B表示男生，G表示女生
　
--
--
--
--
--
共有20种等可能的结果，其中正好抽到1男1女的结果数为12，
所以正好抽到1男1女的概率为
20．（2025·萧山模拟）综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量．
素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环．
素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示．
当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数．
链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）．
任务1：求时，关于的函数表达式．
任务2：求该冷柜一天的耗电量．
【答案】任务1：设时，关于的函数表达式为，将点代入，可得，
∴时，关于的函数表达式为；
任务2：当时，可有，解得，
∵冷柜每20分钟为一个循环，
∴每天共有循环个数：（个），
∴冷柜每天运行的时间为分钟，
∴每天耗电量为：（度）．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：利用待定系数法求函数解析式即可；
任务2：得到冷柜每20分钟为一个循环，然后求出循环次数即可得到运行时间，利用公式解题即可．
21．（2025·萧山模拟）如图，C为线段上一动点（不与点A、E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交与点O、与交于点P、与交于点Q．
求证：
（1）；
（2）是等边三角形
【答案】（1）证明：，是等边三角形，
，
，即，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
又，
是等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】
（1）由等边三角形的性质得，，，再由等式性质推出，从而利用可证明，再根据全等三角形的对应边相等得；
（2）由全等三角形的性质可得，由平角的概念可推出，从而证明，根据全等三角形的对应边相等得即可得结论．
（1）证明：，是等边三角形，
，
，即，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
在和中，
，
，
又，
是等边三角形．
22．（2025·萧山模拟）已知二次函数，其中a为常数．
（1）求证：点在二次函数图象上；
（2）当a为何值时，二次函数图象与x轴只有一个交点；
（3）当时，y的最小值为1，求a值．
【答案】（1）证明：将代入，
∴点在二次函数图象上；
（2）解：∵二次函数图象与x轴只有一个交点
∴判别式
∴解得或；

（3）解：二次函数的对称轴为当时，即，此时在对称轴的右侧，
又∵，图象开口向上
∴当时，随的增大而增大，
当时，最小，即；
当时，即，此时对称轴在之间
当时，最小，即
解得或（舍去）；
当时，即，此时对称轴在的右边
当时，最小，即，
解得，不符合题意，舍去；
综上，a值为1或．
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把代入二次函数解析式求出y值判断即可；
（2）根据根的判别式得到关于a的一元二次方程，解方程即可求出a的值；
（3）分对称轴在左边，之间以及右边三种情况，根据最值列方程解题即可．
（1）解：将代入，
∴点在二次函数图象上；
（2）∵二次函数图象与x轴只有一个交点
∴判别式
∴解得或；
（3）解：二次函数的对称轴为
当时，即，此时在对称轴的右侧，
又∵，图象开口向上
∴当时，随的增大而增大，
当时，最小，即；
当时，即，此时对称轴在之间
当时，最小，即
解得或（舍去）；
当时，即，此时对称轴在的右边
当时，最小，即，
解得，不符合题意，舍去；
综上，a值为1或．
23．（2025·萧山模拟）综合与探究
折纸是一种艺术，其中也包含了高超的技术，数学折纸活动有益于开发智力，拓展思维，在折纸活动中体会数学知识的内涵，理解数学知识的应用，可以让我们感悟到严谨的数学之美，八（4）班数学兴趣小组的同学们在活动课进行了折纸问题探究．
【方法提示】
数学折纸问题的解决通常结合轴对称和全等的相关知识性质，要关注折叠前后对应的边和对应的角等一些不变的关系．
【动手操作】
如图，将一张矩形纸片沿长边进行折叠（已知），使点落在边上，折痕为（点在边上，点在边上），折叠后点，的对应点分别为点，．
【问题探究】
（1）判断图中四边形的形状，并证明你的结论．
（2）随着点落在不同的位置，折痕位置也在变化，若矩形纸片中，，求线段长度的取值范围．
【答案】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
图形翻折后点与点重合，为折线，
，
，
，
图形翻折后与完全重合，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形；
（2）解：如图，当与重合时，取最小值，
由折叠的性质得，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
；
如图，当与重合时，取最大值，
由折叠的性质得，
，
，即，
，
线段的取值范围．

【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；矩形翻折模型
【解析】【分析】（1）先证出四边形为平行四边形，再结合GF=GE，即可得到四边形为菱形；
（2）分类讨论：①当与重合时，取最小值，②当与重合时，取最大值，再分别画出图形并利用勾股定理列出方程求解即可.
（1）证明：四边形是矩形，
，
，
图形翻折后点与点重合，为折线，
，
，
，
图形翻折后与完全重合，
，
，
四边形为平行四边形，
四边形为菱形；
（2）解：如图，当与重合时，取最小值，
由折叠的性质得，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
；
如图，当与重合时，取最大值，
由折叠的性质得，
，
，即，
，
线段的取值范围．
24．（2025·萧山模拟）如图1，是平行四边形的一条对角线，且，的外接圆⊙O与边交于点E，连结．
（1）若，的面积为，求的半径．
（2）如图2，过点作于，直线与直线交于点，若时，求的值．．
【答案】（1）解： 连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，
设，
，，
是的垂直平分线，
，
在中，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
的面积为，
，
，
解得：或（舍去），
，，
设的半径为，
在中，，
，
解得：，
的半径为5；
（2）解： 连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
设，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理得：，
解得：或（舍去），
，
，，
，
，
，
的值为．

【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，设，即可得到，求出，，然后根据圆内接四边形对角互补可得，从而得到，然后推理得到，即可求出，的长，利用面积求出x值，利用勾股定理解题即可；
（2）连接并延长交于点，连接，，过点作，垂足为，过点作，垂足为，设，，可得，，进而求出，然后推导，即可得到，再根据解题即可．
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