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浙江省台州市2025年中考数学一模模拟试题
1．（2025·台州模拟）下列关于近似数和精确度的说法不正确的是（　　）
A．3.2万精确到万位
B．0.0230精确到万分位
C．近似数1.6与1.60表示的意义不同
D．精确到百位
2．（2025·台州模拟）下列标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·台州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·台州模拟）如图，，平分，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·台州模拟）如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（　　）
A．绕点C逆时针旋转90度 B．沿AB的垂直平分线翻折
C．绕AB的中点M顺时针旋转90度 D．沿DE方向平移
6．（2025·台州模拟）一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是（　　）
A．3，3，0.4 B．2，3，2 C．3，2，0.4 D．3，3，2
7．（2025·台州模拟）在直角三角形中，，，，则的取值范围在（　　）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
8．（2025·台州模拟）观察下面三行数：
①
②
③
设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　）
A．0 B． C． D．
9．（2025·台州模拟）一项工程，甲单独做需8天完成，乙单独做需6天完成，现在甲先做3天，然后乙再加入，设此项工程共用x天完成，由题意得方程（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·台州模拟）如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（　　）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
11．（2025·台州模拟）把多项式分解因式结果是　 　．
12．（2025·台州模拟）一个口袋中有2个红色球，有1个白色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是　 　．
13．（2025·台州模拟）如图，在中，，是的中点，若，则的长为　 　．
14．（2025·台州模拟） 已知某船从甲港口到乙港口的距离为 千米， 船速为 千米/时， 返回时的速度是去时的 2 倍，则船往返的总时间为　 　小时．
15．（2025·台州模拟）如图，在中，点E是AD边上的一点，CD=CE，将沿CE翻折得到，若∠B=55°．那么的度数为　 　．
16．（2025·台州模拟）若点，是二次函数图象上的两点，则　 　（填）．
17．（2025·台州模拟）计算：．
18．（2025·台州模拟）解下列不等式（组）：
（1）．
（2）．
19．（2025·台州模拟）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具．
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图1．
【问题解决】（1）计算，两点间的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，，）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且米，米，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可．
（2）利用（1）中求得的的长，推测乙小组的方案中的长．
20．（2025·台州模拟）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线（、为常数，且）交于两点．
（1）求与的值；
（2）如图，直线交轴于点，交轴于点，若点为的中点，求的面积．
21．（2025·台州模拟）如图，在四边形中，已知，平分，平分．
（1）求的度数；
（2）求证：．
22．（2025·台州模拟）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组
B组
C组 a
D组
E组
成绩条形统计图
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
23．（2025·台州模拟）跳长绳时，当绳甩到最高处时的形状是抛物线，如图正在甩绳的两名同学拿绳的手间距为8米，手到地面的距离和均为米，身高为米的小红站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）当绳子甩到最高处时，计算绳子与地面的最大距离．
（3）如果小明站在之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶正上方0.6米处，求小明的身高．
24．（2025·台州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
（1）求证：；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数；近似数与准确数
【解析】【解答】解：A.3.2万精确到千位，故不正确，符合题意；
B.0.0230精确到万分位，正确，不符合题意；
C．近似数1.6与1.60表示的意义不同，正确，不符合题意；
D．精确到百位，正确，不符合题意；
故选：A．
【分析】
近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意；
B．是轴对称图形不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，此选项不符合题意．
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据定义并结合各选项即可判断求解.
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式乘单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意；
B、，故本选项计算错误，不符合题意；
C、，故本选项计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
A、
B、
C、
D、单项式除以单项式，把系数的商作商的系数，相同字母作同底数幂的除法运算，并把所得的幂作为商的一个因式，对于只在被除式中出现的字母连同它的指数一并作为商的因式．
4．【答案】D
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，，
，，
平分，
，
，
故选：D．
【分析】
由平行线的性质和角平分线的定义可知等于的2倍，再由两直线平行同旁内角互补即可求得．
5．【答案】C
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
6．【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据题意， =3，解得：x=3，
∴这组数据从小到大排列为：2，3，3，3，4；
则这组数据的中位数为3，
这组数据3出现的次数最多，出现了3次，故众数为3；
其方差是： ×[（2﹣3）2+3×（3﹣3）2+（4﹣3）2]=0.4，
故选A．
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再根据众数、中位数的定义和方差公式分别进行解答即可．本题考查了众数、中位数和方差，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]．
7．【答案】C
【知识点】无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴的取值范围在6到7之间．
故选：C
【分析】根据勾股定理求出，再估算无理数的范围即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；探索数与式的规律
【解析】【解答】由题知，第①行是以2为底数，从1开始的连续自然数为指数，奇数位置为负，偶数位置为正的数，所以第①行的第20个数为，
第②行的数比第①行对应的数大2，所以第②行的第20个数为，即，
第③行的数由第①行对应的数除以2所得，所以第③行的第10个数为，
所以
．
故选B．
【分析】
先观察数据，寻找规律，可得、、，然后代入计算即可．
9．【答案】A
【知识点】列分式方程；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：由题意可得方程为；
故选：A ．
【分析】
由工程问题的总工作量为1得甲的工作效率为，乙的工作效率为，则由此项工程共用x天完成可知甲的工作量为，乙的工作量为，则甲、乙的总工作量为1可列方程即可.
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】先提出公因数4，再根据平方差公式化简即可.
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵口袋中一共有3个球，其中2个红色球，
∴从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是：，
故答案为：．
【分析】
简单事件的概率，由口袋中一共有3个球，其中2个红色球，直接计算概率即可．
13．【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
14．【答案】
【知识点】分式的加减法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵船去时所用时间为：( 小时 )
∵船返回时所用时间为：( 小时 )
则船往返的总时间为+( 小时 )
故答案为：( 小时 ).
【分析】本题根据时间=路程÷速度，把往返的时间分别相加，再化简即可.
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】四边形ABCD是平行四边形，，
，
，
，
，
由翻折的性质得：，
，
，
故答案为：．
【分析】
先由平行四边形的对角相等得，再由平行四边形的邻角互补得，再根据等腰三角形的性质可得，则由三角形内角和得，再由翻折的性质可得，，最后根据角的和差即可得．
16．【答案】＞
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，
，对称轴为：，
∴抛物线的开口向上，图象的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】
由解析式可得对称轴为，抛物线开口向上，因此图象上的点离对称轴越远，函数值越大．
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先乘方，再乘除、最后加减，即先求算术平方根，化简绝对值，零指数幂，然后进行加减运算即可．
18．【答案】（1）解：
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：；
（2）解：，由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
（1）解一元一次不等式的一般步骤是，去分母、去括号、移项合并同类项，系数化为1；
（2）解一元一次不等式组的一般步骤是，先求出每一个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”取两个解集的公共部分即可.
（1）去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：；
（2），
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为．
19．【答案】解：（1）过点作交于点，∵，
∴，
∵（米），
∴（米），
∵，
∴，
∴（米），
答：计算，两点间的距离约米；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米．
答：的长为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过点作交于点构造直角三角形，解直角三角形，即可求出，再根据三角形的内角和求出，再解直角三角形即即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质，则，得到，再把米，米，代入即可求解．
20．【答案】（1）解：点在直线上，
解得：
，
代入反比例函数解析式，即，得
；
（2）解：由（1）可得直线的解析式为，
令，
解得，
令，
解得，
，
点为的中点，
，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
21．【答案】（1）解：∵，，
∴.
（2）证明：设，
∵平分，
∴，
∵
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用四边形的内角和公式求出即可；
（2）设，先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，即可得到，从而可证出.
（1）解：∵，，
∴；
（2）证明：设，
∵平分，
∴，
∵
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：20
因为·，
所以C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：因为·，，
所以200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）解：（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
【知识点】频数与频率；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：20
因为·，
故填：20
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可．
（2）按照中位数的定义（按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数）解答即可．
（3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可．
（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：20
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
23．【答案】（1）解：由题意可得，点E的坐标为，点B的坐标为，
∵点E和点B均在抛物线的图像上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线的解析式为，
当时，，
绳子与地面的最大距离为米．
（3）解：把代入，
得：，
（米），
小明的身高是米．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）对于二次函数，其对称轴为，当时，y有最大值，最大值为时对应的y的值．
（3）把代入，求得y的值，再减去0.6米即可求解．
（1）解：由题意可得，点E的坐标为，点B的坐标为，
∵点E和点B均在抛物线的图像上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线的解析式为，
当时，，
绳子与地面的最大距离为米．
（3）解：把代入，
得：，
（米），
小明的身高是米．
24．【答案】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）解：存在，设点Q的坐标为．由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据可证明；
（2）先由直线解析式可分别求出，再根据（1）中的结论可得，设，则点D的坐标为，再由点D在直线上，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，可分别设出点Q、P的坐标，再根据平行四边形对角线互相平分，即平面直角坐标系上两点的中点公式求解即可．
（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）解：存在，设点Q的坐标为．
由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
1 / 1浙江省台州市2025年中考数学一模模拟试题
1．（2025·台州模拟）下列关于近似数和精确度的说法不正确的是（　　）
A．3.2万精确到万位
B．0.0230精确到万分位
C．近似数1.6与1.60表示的意义不同
D．精确到百位
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数；近似数与准确数
【解析】【解答】解：A.3.2万精确到千位，故不正确，符合题意；
B.0.0230精确到万分位，正确，不符合题意；
C．近似数1.6与1.60表示的意义不同，正确，不符合题意；
D．精确到百位，正确，不符合题意；
故选：A．
【分析】
近似数的最后一个数字实际在什么位上，即精确到了什么位，要求精确到某一位，应当对下一位的数字进行四舍五入．
2．（2025·台州模拟）下列标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意；
B．是轴对称图形不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，此选项不符合题意．
故答案为：D．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据定义并结合各选项即可判断求解.
3．（2025·台州模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；单项式乘单项式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意；
B、，故本选项计算错误，不符合题意；
C、，故本选项计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】
A、
B、
C、
D、单项式除以单项式，把系数的商作商的系数，相同字母作同底数幂的除法运算，并把所得的幂作为商的一个因式，对于只在被除式中出现的字母连同它的指数一并作为商的因式．
4．（2025·台州模拟）如图，，平分，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：，，
，，
平分，
，
，
故选：D．
【分析】
由平行线的性质和角平分线的定义可知等于的2倍，再由两直线平行同旁内角互补即可求得．
5．（2025·台州模拟）如图，△ABC是等腰直角三角形，DE是过点C的直线，BD⊥DE，AE ⊥DE ，则△BDC通过下列变换能与△ACE重合的是（　　）
A．绕点C逆时针旋转90度 B．沿AB的垂直平分线翻折
C．绕AB的中点M顺时针旋转90度 D．沿DE方向平移
【答案】C
【知识点】旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
6．（2025·台州模拟）一组数据2，x，4，3，3的平均数是3，则这组数据的中位数、众数、方差分别是（　　）
A．3，3，0.4 B．2，3，2 C．3，2，0.4 D．3，3，2
【答案】A
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：根据题意， =3，解得：x=3，
∴这组数据从小到大排列为：2，3，3，3，4；
则这组数据的中位数为3，
这组数据3出现的次数最多，出现了3次，故众数为3；
其方差是： ×[（2﹣3）2+3×（3﹣3）2+（4﹣3）2]=0.4，
故选A．
【分析】先根据平均数的定义求出x的值，再根据众数、中位数的定义和方差公式分别进行解答即可．本题考查了众数、中位数和方差，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]．
7．（2025·台州模拟）在直角三角形中，，，，则的取值范围在（　　）
A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∵，
∴，
∴的取值范围在6到7之间．
故选：C
【分析】根据勾股定理求出，再估算无理数的范围即可求出答案.
8．（2025·台州模拟）观察下面三行数：
①
②
③
设分别为第①②③行的第个数，则的值为（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；探索数与式的规律
【解析】【解答】由题知，第①行是以2为底数，从1开始的连续自然数为指数，奇数位置为负，偶数位置为正的数，所以第①行的第20个数为，
第②行的数比第①行对应的数大2，所以第②行的第20个数为，即，
第③行的数由第①行对应的数除以2所得，所以第③行的第10个数为，
所以
．
故选B．
【分析】
先观察数据，寻找规律，可得、、，然后代入计算即可．
9．（2025·台州模拟）一项工程，甲单独做需8天完成，乙单独做需6天完成，现在甲先做3天，然后乙再加入，设此项工程共用x天完成，由题意得方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程；一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【解答】解：由题意可得方程为；
故选：A ．
【分析】
由工程问题的总工作量为1得甲的工作效率为，乙的工作效率为，则由此项工程共用x天完成可知甲的工作量为，乙的工作量为，则甲、乙的总工作量为1可列方程即可.
10．（2025·台州模拟）如图，在中，，以为边向三角形外作正方形，作于点，交对角线于点，连接．要求的周长，只需知道（　　）
A．的长 B．的长 C．的长 D．的长
【答案】B
【知识点】正方形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
11．（2025·台州模拟）把多项式分解因式结果是　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】先提出公因数4，再根据平方差公式化简即可.
12．（2025·台州模拟）一个口袋中有2个红色球，有1个白色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵口袋中一共有3个球，其中2个红色球，
∴从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是：，
故答案为：．
【分析】
简单事件的概率，由口袋中一共有3个球，其中2个红色球，直接计算概率即可．
13．（2025·台州模拟）如图，在中，，是的中点，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，是的中点，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
14．（2025·台州模拟） 已知某船从甲港口到乙港口的距离为 千米， 船速为 千米/时， 返回时的速度是去时的 2 倍，则船往返的总时间为　 　小时．
【答案】
【知识点】分式的加减法；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：∵船去时所用时间为：( 小时 )
∵船返回时所用时间为：( 小时 )
则船往返的总时间为+( 小时 )
故答案为：( 小时 ).
【分析】本题根据时间=路程÷速度，把往返的时间分别相加，再化简即可.
15．（2025·台州模拟）如图，在中，点E是AD边上的一点，CD=CE，将沿CE翻折得到，若∠B=55°．那么的度数为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】四边形ABCD是平行四边形，，
，
，
，
，
由翻折的性质得：，
，
，
故答案为：．
【分析】
先由平行四边形的对角相等得，再由平行四边形的邻角互补得，再根据等腰三角形的性质可得，则由三角形内角和得，再由翻折的性质可得，，最后根据角的和差即可得．
16．（2025·台州模拟）若点，是二次函数图象上的两点，则　 　（填）．
【答案】＞
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，
，对称轴为：，
∴抛物线的开口向上，图象的点离对称轴越远，函数值越大，
∵，
∴；
故答案为：．
【分析】
由解析式可得对称轴为，抛物线开口向上，因此图象上的点离对称轴越远，函数值越大．
17．（2025·台州模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】实数的混合运算，先乘方，再乘除、最后加减，即先求算术平方根，化简绝对值，零指数幂，然后进行加减运算即可．
18．（2025·台州模拟）解下列不等式（组）：
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：
去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：；
（2）解：，由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】
（1）解一元一次不等式的一般步骤是，去分母、去括号、移项合并同类项，系数化为1；
（2）解一元一次不等式组的一般步骤是，先求出每一个不等式的解集，再根据“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”取两个解集的公共部分即可.
（1）去括号得：，
移项合并得：，
系数化为1得：；
（2），
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为．
19．（2025·台州模拟）【实践课题】测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离．
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具．
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况，在岸边选取合适的点．测量，两点间的距离以及和，测量三次取平均值，得到数据：米，，．画出示意图，如图1．
【问题解决】（1）计算，两点间的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，，）
【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：
如图2，选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且米，米，，当，，在同一条直线上时，只需测量即可．
（2）利用（1）中求得的的长，推测乙小组的方案中的长．
【答案】解：（1）过点作交于点，∵，
∴，
∵（米），
∴（米），
∵，
∴，
∴（米），
答：计算，两点间的距离约米；
（2）∵，，
∴，
∴，
∵米，米，米，
∴，
∴米．
答：的长为米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过点作交于点构造直角三角形，解直角三角形，即可求出，再根据三角形的内角和求出，再解直角三角形即即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质，则，得到，再把米，米，代入即可求解．
20．（2025·台州模拟）在平面直角坐标系中，已知直线与双曲线（、为常数，且）交于两点．
（1）求与的值；
（2）如图，直线交轴于点，交轴于点，若点为的中点，求的面积．
【答案】（1）解：点在直线上，
解得：
，
代入反比例函数解析式，即，得
；
（2）解：由（1）可得直线的解析式为，
令，
解得，
令，
解得，
，
点为的中点，
，
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
21．（2025·台州模拟）如图，在四边形中，已知，平分，平分．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵，，
∴.
（2）证明：设，
∵平分，
∴，
∵
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）利用四边形的内角和公式求出即可；
（2）设，先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，即可得到，从而可证出.
（1）解：∵，，
∴；
（2）证明：设，
∵平分，
∴，
∵
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，，
∴，
∴．
22．（2025·台州模拟）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组
B组
C组 a
D组
E组
成绩条形统计图
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
【答案】（1）解：20
因为·，
所以C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：因为·，，
所以200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）解：（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
【知识点】频数与频率；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：20
因为·，
故填：20
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可．
（2）按照中位数的定义（按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数）解答即可．
（3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可．
（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：20
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
23．（2025·台州模拟）跳长绳时，当绳甩到最高处时的形状是抛物线，如图正在甩绳的两名同学拿绳的手间距为8米，手到地面的距离和均为米，身高为米的小红站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）当绳子甩到最高处时，计算绳子与地面的最大距离．
（3）如果小明站在之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶正上方0.6米处，求小明的身高．
【答案】（1）解：由题意可得，点E的坐标为，点B的坐标为，
∵点E和点B均在抛物线的图像上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
（2）解：∵抛物线的解析式为，
当时，，
绳子与地面的最大距离为米．
（3）解：把代入，
得：，
（米），
小明的身高是米．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）对于二次函数，其对称轴为，当时，y有最大值，最大值为时对应的y的值．
（3）把代入，求得y的值，再减去0.6米即可求解．
（1）解：由题意可得，点E的坐标为，点B的坐标为，
∵点E和点B均在抛物线的图像上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线的解析式为，
当时，，
绳子与地面的最大距离为米．
（3）解：把代入，
得：，
（米），
小明的身高是米．
24．（2025·台州模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
（1）求证：；
（2）求点D的坐标；
（3）若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）解：存在，设点Q的坐标为．由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
【知识点】平行四边形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；一次函数的实际应用-几何问题；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据可证明；
（2）先由直线解析式可分别求出，再根据（1）中的结论可得，设，则点D的坐标为，再由点D在直线上，可得，即可求解；
（3）分两种情况讨论：当为平行四边形的边时，当为平行四边形的对角线时，可分别设出点Q、P的坐标，再根据平行四边形对角线互相平分，即平面直角坐标系上两点的中点公式求解即可．
（1）证明：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到，轴，
，
，，
，
在与中，
，
；
（2）解：令，；令，，
此时，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则点D的坐标为，
∵点D在直线上，
∴，
∴，
∴点D的坐标为；
（3）解：存在，设点Q的坐标为．
由（2）知，
∵动点C在线段上，
∴点C的坐标为，
分两种情况考虑，如图2所示：
①当为边时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴或，
∴或，
∴点Q的坐标为，点的坐标为；
②当为对角线时，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，点P的横坐标为0，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
综上所述：存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为或或．
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