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湖南省长沙市宁乡市2025年九年级第一次中考模拟数学试题
1．（2025·宁乡市模拟）如图，数轴上点P表示的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
2．（2025·宁乡市模拟）中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·宁乡市模拟）篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·宁乡市模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·宁乡市模拟）在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·宁乡市模拟）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·宁乡市模拟）已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（　　）
A． B．2 C．5 D．
8．（2025·宁乡市模拟）如图，的半径与弦互相垂直平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·宁乡市模拟）甲、乙两种物质的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，下列说法：①甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大；②当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为时，甲、乙的溶解度都小于；④当温度为时，甲、乙的溶解度相同．其中正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②④
10．（2025·宁乡市模拟）如图，在矩形中，，点分别在边上，点在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·宁乡市模拟）分解因式：　 　．
12．（2025·宁乡市模拟）如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为　 　．
13．（2025·宁乡市模拟）不等式组的解集是　 　．
14．（2025·宁乡市模拟）现有分别标有汉字“喜”“乐”“安”“宁”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”的概率是　 　．
15．（2025·宁乡市模拟）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数，）．若某乐器的弦长l为米，振动频率f为200赫兹，则k的值为　 　．
16．（2025·宁乡市模拟）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数： ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是　 　．
17．（2025·宁乡市模拟）计算：
18．（2025·宁乡市模拟）已知，求代数式的值．
19．（2025·宁乡市模拟）如图，在中，．
（1）尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若（1）中，，求的度数．
20．（2025·宁乡市模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，
（1）求点与的水平距离的长；
（2）求阴影的长．（结果都精确到米；参考数据：，，）
21．（2025·宁乡市模拟）为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
22．（2025·宁乡市模拟）某校开学期间组织学生参加“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
七年级20名学生在组的分数为91，92，93，94
八年级20名学生在组的分数为90，93，93，93，94，94，94，94，94．
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 91 95 %
八年级 91 93 65%
（1）填空：___________，___________，___________，并把条形统计图补充完整；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校七年级有学生1200人，八年级有学生1400人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人．
23．（2025·宁乡市模拟）如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接、．
（1）若，求证：是的切线．
（2）连接，若，，求的半径长．
24．（2025·宁乡市模拟）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，，
又，，，即
（1）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；
（2）【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
（3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
25．（2025·宁乡市模拟）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：根据题意可知点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】根据数轴的定义“规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴”并结合点P所在的位置即可求解．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得
，
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知：主视图为：
故答案为：B．
【分析】根据主视图的意义"主视图是从正面看到的图形"并结合各选项即可判断求解．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解.
5．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：在半径为的中，的圆心角所对的弧长是：
，
故答案为：B．
【分析】根据弧长公式计算即可求解．
6．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵重力的方向竖直向下，
∴，
∴，
∵摩擦力的方向与斜面平行，
∴，
故答案为：．
【分析】由已知得，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得，再根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求解．
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的一根为，则另一根为，
，
解得：，
又，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】由题意设方程的一根为，则另一根为，根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系"若，是一元二次方程的两根，则，"可得关于m、a的方程组，解方程组即可求解．
8．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；求特殊角的三角函数值；求余弦值
【解析】【解答】解：连接，
∵的半径与弦互相垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，在Rt△BOD中，由锐角三角函并结合特殊角的三角函数值可求得∠BOD的度数，然后根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上对的圆心角的一半”即可求解．
9．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①、根据图像，可知：甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大，
∴此结论正确；
②、根据图像，可知：当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大，
∴此结论错误；
③、根据图像，可知：当温度为时，甲、乙的溶解度都小于，
∴此结论正确；
④、根据图像，可知：当温度为时，甲、乙的溶解度相同，
∴此结论错误.
故答案为：B．
【分析】根据图中的函数关系依次判断即可求解．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接交于，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在与中，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
即，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】连接交于，由题意，根据角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，在Rt△ABC中，由勾股定理求得的长，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的性质可得比例式可求得的长，然后根据线段的和差DH=AD-AH可求解.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】观察多项式，每一项含有公因式a，用提公因式法分解因式即可．
12．【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过O点作于H点，如图，
平分，
，
∵点E为射线上一动点，
∴的最小值为的长，
即的最小值为3．
故答案为：3．
【分析】过O点作于H点，先利用角平分线的性质可得，再利用垂线段最短的性质可得的最小值为3．
13．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：；
所以不等式组的解集为：．
故答案为：
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：“喜”“乐”“安”“宁”的四张卡片分别用、、、表示，
画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”有2种，
两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”概率是，
故答案为：．
【分析】由题意画出树状图，根据树状图的信息可得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可求解．
15．【答案】160
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：把，代入，得，
解得，
故答案为：160．
【分析】由题意，用待定系数法可求解.
16．【答案】
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ．
则弦为，
故答案为：．
【分析】根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可求解．
17．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=4，由特殊角的三角函数值可得sin45°=，由立方根的定义可得=-2，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．【答案】解：∵，
∴，
∴原式
．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】由已知得，然后将括号内的分式通分，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将出发转化为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再整体代换即可求解．
19．【答案】（1）解：如图即为所求作；
（2）解：，，
，
平分，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）利用基本作图并结合题意画出的平分线即可；
（2）由三角形的内角和等于180°求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义得∠ABD=∠ABC，然后根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”即可求解．
（1）解：如图即为所求作；
（2）解：，，
，
平分，
，
．
20．【答案】（1）解：由题意知：，，
，
在中，米，
点与的水平距离的长为米；
（2）解：过A作于K，则，
在中，米，
米，
，
四边形是矩形，
米，米，
由题意知：，
，
米，
米，
阴影的长为米．
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据余弦的定义得cos∠BAF=计算即可求解；
（2）过A作于K，根据正弦的定义sin∠BAF=求出的值，结合已知根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的对边相等可得，再证明是等腰三角形，由等腰三角形的两腰相等可得，再根据线段的和差CD=CK-DK计算即可求解．
（1）解：由题意知：，，
，
在中，米，
点与的水平距离的长为米；
（2）解：过A作于K，则，
在中，米，
米，
，
四边形是矩形，
米，米，
由题意知：，
，
米，
米，
阴影的长为米．
21．【答案】（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：设购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题中的两个相等关系“3件A种农产品的费用+2件B种农产品的费用=660，4件A种农产品的费用+1件B种农产品的费用=630”列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题中的两个不等关系“A种农产品的件数≤B种农产品件数的3倍，m件种农产品的费用+（40-m）件B种农产品的费用≤5400”列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的范围，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，根据总利润=m件种农产品的利润+（40-m）件B种农产品的利润可得总利润w与m之间的函数关系式，然后由一次函数的性质即可求解．
（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
22．【答案】（1）92.5，94，60，补全条形统计图如下：
（2）解：八年级的学生成绩更好，理由如下：
因为两个年级的平均数都是91，八年级学生的中位数和优秀率都高于七年级，所以八年级的学生成绩更好；
（3）解：
（人，
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有1630人．
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分，
∴中位数，
∵八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多，
∴众数，
，即，
七年级组的人数为（人，
补全条形统计图如下：
故答案为：92.5，94，60；
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.”并结合题意即可求出、的值，用七年级优秀的人数除以总人数即可得的值，用总人数减去其它组的人数求出组的人数即可补全条形统计图；
（2）根据中位数和优秀率进行判断即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解．
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．

【知识点】解直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）连接，根据圆周角定理和已知可得，根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可得，由平行线的性质可得CE⊥OC，再根据圆的切线的判定可求解；
（2）由直径所对的圆周角是直角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得=，结合已知求得AC的值，在Rt△ABC中，用勾股定理求出直径AB的值，由圆的性质即可求解．
（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．
24．【答案】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图3，在上取，连接、、、，
点M是中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：是的直径，
，
的半径为10，
，
，
由勾股定理得：，
，
①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、，
，
，
，
，
，
，即点是的中点，
，
，
；
②当点在下方时，如图，过点作于点，
，，
，
，即点是的中点，
由（2）可知，，
，
在中，，
综上可得，长为或．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）根据阿基米德折弦定理即可求解；
（2）在上取，连接、、、，由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一可得，然后根据线段的和差CD=BD-BG变形即可求解；
（3）先利用圆周角和勾股定理，求得AC的值，由题意分两种情况讨论：①当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可．
（1）解：由阿基米德折弦定理可知，，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图3，在上取，连接、、、，
点M是中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：是的直径，
，
的半径为10，
，
，
由勾股定理得：，
，
①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、，
，
，
，
，
，
，即点是的中点，
，
，
；
②当点在下方时，如图，过点作于点，
，，
，
，即点是的中点，
由（2）可知，，
，
在中，，
综上可知，长为或．
25．【答案】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．

（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，，
；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，
连接、，过作轴，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；
综上可得：的坐标为或或．
（3）解：是定值，
理由如下：如图，直线经过，
可设直线的解析式为，
、在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
当与对调位置后，同理可求；
故的定值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，由题意分三种情况讨论：
①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，由平行线的性质可得点C与点P1的纵坐标相等和点P1在抛物线线上可得关于x的一元二次方程，解方程可求解；
②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，由题意，用边角边可证△CBQ2≌△P2Q2B，由全等三角形的对应边相等得P2D=CO，于是可得关于x的一元二次方程，解方程可求解；
③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标；
（3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解．
1 / 1湖南省长沙市宁乡市2025年九年级第一次中考模拟数学试题
1．（2025·宁乡市模拟）如图，数轴上点P表示的数是（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：根据题意可知点P表示的数为，
故答案为：A．
【分析】根据数轴的定义“规定了原点、正方向、单位长度的直线叫数轴”并结合点P所在的位置即可求解．
2．（2025·宁乡市模拟）中国国家大剧院位于人民大会堂西侧，西长安街以南，由主体建筑及南北两侧的水下长廊、人工湖、绿地等组成，其中人工湖面积约，将数据用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得
，
故答案为：B．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3．（2025·宁乡市模拟）篆刻是中华传统艺术之一．如图是一块雕刻印章的材料，则该材料对应几何体的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由图可知：主视图为：
故答案为：B．
【分析】根据主视图的意义"主视图是从正面看到的图形"并结合各选项即可判断求解．
4．（2025·宁乡市模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项不符合题意；
B、，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项不符合题意；
D、，
∴此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同底数幂的除法法则“同底数幂相除，底数不变，指数相减”可求解；
D、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解.
5．（2025·宁乡市模拟）在半径为的中，的圆心角所对的弧长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：在半径为的中，的圆心角所对的弧长是：
，
故答案为：B．
【分析】根据弧长公式计算即可求解．
6．（2025·宁乡市模拟）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，支持力的方向与斜面垂直，摩擦力的方向与斜面平行．若斜面的坡角，则摩擦力与重力方向的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵重力的方向竖直向下，
∴，
∴，
∵摩擦力的方向与斜面平行，
∴，
故答案为：．
【分析】由已知得，由三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”可得，再根据平行线的性质“两直线平行，同位角相等”即可求解．
7．（2025·宁乡市模拟）已知关于x的一元二次方程，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（　　）
A． B．2 C．5 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设方程的一根为，则另一根为，
，
解得：，
又，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】由题意设方程的一根为，则另一根为，根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系"若，是一元二次方程的两根，则，"可得关于m、a的方程组，解方程组即可求解．
8．（2025·宁乡市模拟）如图，的半径与弦互相垂直平分，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；圆周角定理；求特殊角的三角函数值；求余弦值
【解析】【解答】解：连接，
∵的半径与弦互相垂直平分，
∴，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，在Rt△BOD中，由锐角三角函并结合特殊角的三角函数值可求得∠BOD的度数，然后根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上对的圆心角的一半”即可求解．
9．（2025·宁乡市模拟）甲、乙两种物质的溶解度y（）与温度t（）之间的对应关系如图所示，下列说法：①甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大；②当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度小；③当温度为时，甲、乙的溶解度都小于；④当温度为时，甲、乙的溶解度相同．其中正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①③④ D．②④
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①、根据图像，可知：甲、乙两种物质的溶解度都随着温度的升高而增大，
∴此结论正确；
②、根据图像，可知：当温度升高至时，甲的溶解度比乙的溶解度大，
∴此结论错误；
③、根据图像，可知：当温度为时，甲、乙的溶解度都小于，
∴此结论正确；
④、根据图像，可知：当温度为时，甲、乙的溶解度相同，
∴此结论错误.
故答案为：B．
【分析】根据图中的函数关系依次判断即可求解．
10．（2025·宁乡市模拟）如图，在矩形中，，点分别在边上，点在对角线上．如果四边形是菱形，那么线段的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接交于，如图，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
在与中，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴，
即，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】连接交于，由题意，根据角角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，在Rt△ABC中，由勾股定理求得的长，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的性质可得比例式可求得的长，然后根据线段的和差DH=AD-AH可求解.
11．（2025·宁乡市模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】观察多项式，每一项含有公因式a，用提公因式法分解因式即可．
12．（2025·宁乡市模拟）如图，平分，于点，点为射线上一动点，若，则的最小值为　 　．
【答案】3
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过O点作于H点，如图，
平分，
，
∵点E为射线上一动点，
∴的最小值为的长，
即的最小值为3．
故答案为：3．
【分析】过O点作于H点，先利用角平分线的性质可得，再利用垂线段最短的性质可得的最小值为3．
13．（2025·宁乡市模拟）不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：；
所以不等式组的解集为：．
故答案为：
【分析】利用不等式的性质及不等式组的解法求解即可。
14．（2025·宁乡市模拟）现有分别标有汉字“喜”“乐”“安”“宁”的四张卡片，它们除汉字外完全相同，若把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，然后随机抽出一张，不放回，再随机抽出一张，两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：“喜”“乐”“安”“宁”的四张卡片分别用、、、表示，
画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”有2种，
两次抽出的卡片上的汉字恰好是“安”“宁”概率是，
故答案为：．
【分析】由题意画出树状图，根据树状图的信息可得所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算即可求解．
15．（2025·宁乡市模拟）在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即（k为常数，）．若某乐器的弦长l为米，振动频率f为200赫兹，则k的值为　 　．
【答案】160
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：把，代入，得，
解得，
故答案为：160．
【分析】由题意，用待定系数法可求解.
16．（2025·宁乡市模拟）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数： ；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如： …，若此类勾股数的勾为 ，则其弦是　 　．
【答案】
【知识点】勾股数；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ．
则弦为，
故答案为：．
【分析】根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可求解．
17．（2025·宁乡市模拟）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=4，由特殊角的三角函数值可得sin45°=，由立方根的定义可得=-2，然后根据实数的运算法则计算即可求解．
18．（2025·宁乡市模拟）已知，求代数式的值．
【答案】解：∵，
∴，
∴原式
．
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】由已知得，然后将括号内的分式通分，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将出发转化为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再整体代换即可求解．
19．（2025·宁乡市模拟）如图，在中，．
（1）尺规作图，作的角平分线与相交于点D（不要求写作法，保留作图痕迹）；
（2）若（1）中，，求的度数．
【答案】（1）解：如图即为所求作；
（2）解：，，
，
平分，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】
（1）利用基本作图并结合题意画出的平分线即可；
（2）由三角形的内角和等于180°求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义得∠ABD=∠ABC，然后根据三角形外角性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”即可求解．
（1）解：如图即为所求作；
（2）解：，，
，
平分，
，
．
20．（2025·宁乡市模拟）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷长为5米，与水平面的夹角为，且靠墙端离地高为4米，当太阳光线与地面的夹角为时，
（1）求点与的水平距离的长；
（2）求阴影的长．（结果都精确到米；参考数据：，，）
【答案】（1）解：由题意知：，，
，
在中，米，
点与的水平距离的长为米；
（2）解：过A作于K，则，
在中，米，
米，
，
四边形是矩形，
米，米，
由题意知：，
，
米，
米，
阴影的长为米．
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据余弦的定义得cos∠BAF=计算即可求解；
（2）过A作于K，根据正弦的定义sin∠BAF=求出的值，结合已知根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的对边相等可得，再证明是等腰三角形，由等腰三角形的两腰相等可得，再根据线段的和差CD=CK-DK计算即可求解．
（1）解：由题意知：，，
，
在中，米，
点与的水平距离的长为米；
（2）解：过A作于K，则，
在中，米，
米，
，
四边形是矩形，
米，米，
由题意知：，
，
米，
米，
阴影的长为米．
21．（2025·宁乡市模拟）为了进一步抓好“三农”工作，助力乡村振兴，某经销商计划从建档贫困户家购进A，B两种农产品．已知购进A种农产品3件，B种农产品2件，共需660元；购进A种农产品4件，B种农产品1件，共需630元．
（1）A，B两种农产品每件的价格分别是多少元？
（2）该经销商计划用不超过5400元购进A，B两种农产品共40件，且A种农产品的件数不超过B种农产品件数的3倍．如果该经销商将购进的农产品按照A种每件160元，B种每件200元的价格全部售出，那么购进A，B两种农产品各多少件时获利最多？
【答案】（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：设购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，根据题中的两个相等关系“3件A种农产品的费用+2件B种农产品的费用=660，4件A种农产品的费用+1件B种农产品的费用=630”列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进件种农产品，则购进件种农产品，根据题中的两个不等关系“A种农产品的件数≤B种农产品件数的3倍，m件种农产品的费用+（40-m）件B种农产品的费用≤5400”列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组求出m的范围，设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，根据总利润=m件种农产品的利润+（40-m）件B种农产品的利润可得总利润w与m之间的函数关系式，然后由一次函数的性质即可求解．
（1）解：设种农产品每件的进价是元，种农产品每件的进价是元，
根据题意得：，
解得：，
答：种农产品每件的进价是120元，种农产品每件的进价是150元；
（2）解：购进件种农产品，则购进件种农产品，
根据题意得：，
解得：．
设购进的、两种农产品全部售出后获得的总利润为元，则
，即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，此时．
答：当购进20件种农产品、20件种农产品时，获利最多．
22．（2025·宁乡市模拟）某校开学期间组织学生参加“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛，现从该校七、八年级中各选取了20名学生的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用表示，其中：，：，：，：，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
七年级20名学生在组的分数为91，92，93，94
八年级20名学生在组的分数为90，93，93，93，94，94，94，94，94．
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
七年级 91 95 %
八年级 91 93 65%
（1）填空：___________，___________，___________，并把条形统计图补充完整；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“时时抓防火，处处保平安”的安全消防知识竞赛中，哪个年级的学生成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
（3）若该校七年级有学生1200人，八年级有学生1400人，估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生共有多少人．
【答案】（1）92.5，94，60，补全条形统计图如下：
（2）解：八年级的学生成绩更好，理由如下：
因为两个年级的平均数都是91，八年级学生的中位数和优秀率都高于七年级，所以八年级的学生成绩更好；
（3）解：
（人，
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数共有1630人．
【知识点】条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）七年级学生竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为（分，
∴中位数，
∵八年级学生竞赛成绩的94出现的次数最多，
∴众数，
，即，
七年级组的人数为（人，
补全条形统计图如下：
故答案为：92.5，94，60；
【分析】
（1）根据中位数和众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.”并结合题意即可求出、的值，用七年级优秀的人数除以总人数即可得的值，用总人数减去其它组的人数求出组的人数即可补全条形统计图；
（2）根据中位数和优秀率进行判断即可求解；
（3）用样本估计总体即可求解．
23．（2025·宁乡市模拟）如图，为的直径，点C、点D为上异于A、B的两点，连接，过点C作，交的延长线于点E，连接、．
（1）若，求证：是的切线．
（2）连接，若，，求的半径长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．

【知识点】解直角三角形；圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）连接，根据圆周角定理和已知可得，根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可得，由平行线的性质可得CE⊥OC，再根据圆的切线的判定可求解；
（2）由直径所对的圆周角是直角可得，再根据同弧所对的圆周角相等可得=，结合已知求得AC的值，在Rt△ABC中，用勾股定理求出直径AB的值，由圆的性质即可求解．
（1）证明：如图，连接，
，
，
，
，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
（2）解：是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径长为．
24．（2025·宁乡市模拟）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程．
证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，，
又，，，即
（1）【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长；
（2）【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明．
（3）【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长．
【答案】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，，
，
，
，
；
（2）解：，理由如下：
如图3，在上取，连接、、、，
点M是中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：是的直径，
，
的半径为10，
，
，
由勾股定理得：，
，
①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、，
，
，
，
，
，
，即点是的中点，
，
，
；
②当点在下方时，如图，过点作于点，
，，
，
，即点是的中点，
由（2）可知，，
，
在中，，
综上可得，长为或．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】
（1）根据阿基米德折弦定理即可求解；
（2）在上取，连接、、、，由题意，用边角边可证，由全等三角形的对应边相等可得，再根据等腰三角形三线合一可得，然后根据线段的和差CD=BD-BG变形即可求解；
（3）先利用圆周角和勾股定理，求得AC的值，由题意分两种情况讨论：①当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可．
（1）解：由阿基米德折弦定理可知，，
，
，
，
；
（2）解：，证明如下：
如图3，在上取，连接、、、，
点M是中点，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，即；
（3）解：是的直径，
，
的半径为10，
，
，
由勾股定理得：，
，
①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、，
，
，
，
，
，
，即点是的中点，
，
，
；
②当点在下方时，如图，过点作于点，
，，
，
，即点是的中点，
由（2）可知，，
，
在中，，
综上可知，长为或．
25．（2025·宁乡市模拟）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】（1）解：抛物线与x轴交于两点，
，
解得，
故抛物线的解析式为．

（2）解：①如图，过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
，
解得：，，
；
②如图，在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，
连接、，过作轴，交轴于，
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
()，
，
，
，
解得：，，
；
如上图，根据对称性：，
③当为平行四边形的对角线时，由①知，点Q在点B的左边，且时，也满足条件，此时点P的坐标仍为；
综上可得：的坐标为或或．
（3）解：是定值，
理由如下：如图，直线经过，
可设直线的解析式为，
、在抛物线上，
可设，，
，
整理得：，
，，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，则有
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
解得：，
，
，
同理可求：，
；
当与对调位置后，同理可求；
故的定值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；二次函数-动态几何问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意，用待定系数法即可求解；
（2）根据P，Q的不确定性，由题意分三种情况讨论：
①过作轴，交抛物线于，过作，交轴于，由平行线的性质可得点C与点P1的纵坐标相等和点P1在抛物线线上可得关于x的一元二次方程，解方程可求解；
②在轴的负半轴上取点，过作，交抛物线于，同时使，连接、，过作轴，交轴于，由题意，用边角边可证△CBQ2≌△P2Q2B，由全等三角形的对应边相等得P2D=CO，于是可得关于x的一元二次方程，解方程可求解；
③当为平行四边形的对角线时，在①中，只要点Q在点B的左边，且满足，也满足条件，只是点P的坐标仍是①中的坐标；
（3）可设直线的解析式为，，，可求，再求直线的解析式为，从而可求，同理可求，即可求解．
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