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四川省成都市成华区2025年中考数学二诊试题
1．（2025·成华模拟）在下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是整数，属于有理数，∴此选项故不符合题意；
B.0是整数，属于有理数，∴此选项不符合题意；
C．是无理数，∴此选项符合题意；
D．是分数，属于有理数，∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义"无限不循环小数叫无理数"并结合各选项即可判断求解．
2．（2025·成华模拟）如图所示的几何体是由个相同的小立方块搭成的，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体可知，从几何体的上面看到的平面图形是由三个小正方形组成的，上面有两个横向摆放的小正方形，其中右侧小正方形的下方有一个小正方形，
俯视图的形状如下图所示，
故答案为：B．
【分析】俯视图是从几何体的上面看到的平面图形，根据几何体中小立方块的位置和个数画出俯视图即可．
3．（2025·成华模拟）年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法可得：万．
故答案为：．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.
4．（2025·成华模拟）下列运算中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠a2-b2，∴此选项不符合题意；
B、≠6a6，∴此选项不符合题意；
C、，∴此选项符合题意；
D、≠a5，∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”可求解；
B、根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解；
C、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
5．（2025·成华模拟）为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是
A．2.2，2.2 B．2.1，2.2 C．2.15，2.2 D．1.7，2.7
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数是，众数是．
故答案为：A ．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据众数和中位数的定义并结合题意即可求解．
6．（2025·成华模拟） 《九章算术》是我国古代重要的数学著作， 其中记载了一个问题， 大致意思为： 现有田出租， 第一年 3 亩 1 钱，第二年 4 亩 1 钱， 第三年 5 亩 1 钱. 三年共得 100 钱. 问：出租的田有多少亩 设出租的田有 亩， 可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：出租的田有 亩，第一年的租金为：，第二年的租金为：，第三年的租金为：，由题意可得： .
故答案为：B.
【分析】根据题意分别表示出第一年，第二年，第三年的租金，和为100，即可得到关于x的方程.
7．（2025·成华模拟）如图，是的直径，若，则的度数等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是的直径，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角得∠ACB的度数，然后根据圆周角定理得∠A=∠CDB的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出答案.
8．（2025·成华模拟）如图，在中，是的中点．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A：由作图可知，
∴此选项不符合题意；
B：∵，
∴，，
∴此选项不符合题意；
C：∵是的中点，，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
D：根据已知条件不能得出，
∴此选项符合题意．
故答案为：D ．
【分析】A、作图过程可知；
B、根据“同位角相等，两直线平行”可得，由“两直线平行，同旁内角互补”可得；
C 、由B可得MN∥BC，并结合M是AB的中点可得是的中点，然后根据线段中点的定义即可求解；
D、根据已知条件不能得AB=2MN.
9．（2025·成华模拟）因式分解：2a2﹣8=　 　．
【答案】2（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4）=2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
10．（2025·成华模拟）函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x＞1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得到：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故答案为：x＞1．
【分析】从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
11．（2025·成华模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵点，
∴，
∵点在第一象限，
故点，
故答案为：．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，由同角的余角相等可得∠CAO=∠DOA ，结合已知，用角角边可证△CAO≌△DOA ，由全等三角形的对应边相等可得CA=DO，CO=DA ，结合点A 在第一象限即可求解．
12．（2025·成华模拟）二十四节气是中国古人智慧的结晶，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律．二十四节气中，春季的节气有：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨；夏季的节气有：立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑；秋季的节气有：立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降；冬季的节气有：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．若从二十四个节气中随机抽一个节气，则抽到的节气在春季的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一共有个节气，其中在春季的节气有个，
从二十四个节气中随机抽一个节气，则抽到的节气在春季的概率为：
．
故答案为： ．
【分析】根据题意可知，一年中所有的节气，找出其中在春季的节气的个数，然后根据概率公式计算即可求解.
13．（2025·成华模拟）由火柴棒摆成的3个图案如图所示，按图中规律摆放，则第2025个图案需要　 　根火柴棒．
【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
14．（2025·成华模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：原式；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组解集为．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）由算术平方根的定义“若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根”可得=3，根据特殊角的三角函数值可得cos60°=，由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-2025）0=1，再根据有理数的混合运算法则计算即可求解；
（2）分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”可求解.
15．（2025·成华模拟）某校为了解九年级同学的体考准备情况，随机抽取了部分九年级男生进行米跑测试，并根据测试成绩（按测试成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级）绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是_____；请补全条形统计图；
（2）该校九年级共有名男生，请你根据抽查结果估计成绩为合格的男生人数；
（3）班甲、乙两位成绩获“优秀”的男生报名参加即将举行的学校运动会米跑比赛，预赛分为，，三组进行，由抽签确定分组情况．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
【答案】（1），
补全条形统计图如图：
（2）解：成绩为合格的男生人数为（名）．
答：估计成绩为合格的男生人数为名．
（3）解：画树状图可得：
共有种等可能结果，其中两人恰好分在同一组的结果有种，
（甲乙同组），
即甲、乙两人恰好分在同一组的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：“良好”所对应的圆心角度数是，
抽取的总人数为（人），
合格人数为（人），
则补全条形统计图如图：
故答案为：；
【分析】
（1）由“良好”所占的百分比即可得到“良好”所对应的圆心角度数；结合条形统计图和扇形统计图求出抽取的总人数后即可得到合格人数的频数，补全 条形统计图即可；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息找出所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可求解．
（1）解：“良好”所对应的圆心角度数是，
抽取的总人数为（人），
合格人数为（人），
则补全条形统计图如图：
故答案为：；
（2）解：成绩为合格的男生人数为（名）．
答：估计成绩为合格的男生人数为名．
（3）解：画树状图可得：
共有种等可能结果，其中两人恰好分在同一组的结果有种，
（甲乙同组），
即甲、乙两人恰好分在同一组的概率是．
16．（2025·成华模拟）如图，将高度为的长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽上边沿处投射到底部处．向水槽注水，水面上升到的中点处时停止注水，光线射到水面处后发生折射落到底部处．已知，直线为法线，，求，两点之间的距离．（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】解：是的中点，为，
，
由题意可知，在中，，，
，
，
由题意可知，在中，，，
，
，
由题可知，，，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
，
答：，两点之间的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由题意易得、为等腰直角三角形，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，由矩形的对边相等可得ON=EC，CN=EO，在Rt△OND中，由锐角三角函数tan∠DON=求得的长度，然后由线段的和差即可求解.
17．（2025·成华模拟）如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点．
（1）求证：；
（2）若半径为5，，求的长和的值．
【答案】（1）证明：连结，如图，
∵为的切线，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：是的直径，
半径为5
在中，
在和中，
∵∠A=∠A，∠AOD=∠ACB，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
∴，
在中，
.
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）连结，先根据切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，结合已知，根据等角的余角相等可得，然后根据对顶角相等得到，然后由等角对等边可求解；
（2）先根据圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得，在Rt△ABC中，用勾股定理求出BC的值，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求出OD的值，在中，设，则，在Rt△OCF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求得的长，然后在Rt△OCF中，根据正切的定义tan∠F=可求解．
（1）证明：连结，如图
，
∵为的切线，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：是的直径
半径为5
在中，
在和中
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
∴，
在中，
18．（2025·成华模拟）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．
（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；
（3）对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上 若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：把代入，
可得：，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，
可得：，
，
直线的解析式为；
（2）解：，
点的坐标是，
，
如下图所示，
将直线沿轴方向向上平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
将直线沿轴方向向下平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（3）存在 ，理由如下：
解：点的坐标为或，
点在图象上，点在直线上，
设点，点，
点是点的等和点，
，
，
，
，，
经检验，，均是原分式方程的根，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
综上可得，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；相似三角形的性质-对应面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可把代入，求出值，即可求得反比例函数的解析式；把代入，求出值，即可求得一次函数的解析式；
由题意分两种情况求解：①将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；
②将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数；
根据等和点的定义和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标．
（1）解：把代入，
可得：，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，
可得：，
，
直线的解析式为；
（2）解：，
点的坐标是，
，
如下图所示，
将直线沿轴方向向上平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
将直线沿轴方向向下平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（3）解：点的坐标为或，
点在图象上，点在直线上，
设点，点，
点是点的等和点，
，
，
，
，，
经检验，，均是原分式方程的根，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或．
19．（2025·成华模拟）已知，那么的值是　 　．
【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】将已知的等式整理得，将所求代数式通分括号内，根据除以一个数等于乘以这个数的相反数将除法转化为乘法，将分子分母分解因式并约分可将代数式化简，然后整体代换即可求解.
20．（2025·成华模拟）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　 　．
【答案】14
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的解，
∴x1+x2=3，x1x2=-5，
∴(x1-x2)2+3x1x2=(x1+x2)2-x1x2=32-(-5)=14.
故答案为：14.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，然后利用配方法将待求式子变形为(x1+x2)2-x1x2后整体代入计算可得答案.
21．（2025·成华模拟）如图，在菱形中，，其顶点落在反比例函数的图象上，顶点落在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数的图象上，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作轴于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，负值舍去，
经检验是方程的解，
∴，
∴，
∵菱形中，
∴，
∵顶点落在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】过点A作轴于点D，在Rt△AOD中，根据锐角三角函数tan∠AOB=可将AD用含OD的代数式表示出来，设，则，得出，根据点A在反比例函数的图象上可将点A的坐标代入反比例函数的解析式得关于m的方程，解方程求出m的值，根据勾股定理求出，根据菱形性质得点C的坐标，把点C的坐标代入反比例函数的解析式计算即可求解．
22．（2025·成华模拟）如图，在矩形中，，，，是边上两点，且，，连接，，和交于点，连接，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作交于点，交于点，作交于点，
矩形中，，，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
中，
，
，
中，
，
，，
，，，
四边形是矩形，
，
在中，．
故答案为：．
【分析】作交于点，交于点，作交于点，由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形AMNB是矩形，由矩形的性质可得MN=AB，GM⊥AM，由线段的和差EF=BC-BE-CF求得EF的值，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求出NG的值，在Rt△CDE中，用勾股定理求得DE的值，在Rt△ENG中，用勾股定理求得EN的值，由线段的和差BN=BE+EN求得B你的值，用勾股定理求得BG的值，同理可得四边形PBNG是矩形，于是BP=NG，在Rt△BPG中，根据锐角三角函数计算即可求解．
23．（2025·成华模拟）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”.在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，二倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
∴，
解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】由题意得，二倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求解．
24．（2025·成华模拟）在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米．
（1）若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？
（2）若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？
【答案】（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本，
由题意得：，
解得，
答：数学书有本，语文书有本．
（2）解：设再摆本语文书，
根据题意得：，
解得：，
答：最多还可以摆本语文书．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）设书架上数学书有本，语文书有本，由题中的两个相等关系“x本数学书+y本语文书=100，x本数学书的费用+y本语文书的费用=100”可列关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设再摆本语文书，根据题中的不等关系列出关于m的不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本，
由题意得：，
解得，
答：数学书有本，语文书有本．
（2）解：设再摆本语文书，
根据题意得：，
解得：，
答：最多还可以摆本语文书．
25．（2025·成华模拟）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为．
（1）求新抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）若点在第三象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值．
【答案】（1）解：抛物线平移得到新抛物线，
设新抛物线的表达式为，
把和代入可得：
，
解得：，
新抛物线的表达式为；

（2）解：新抛物线的表达式为，
抛物线的顶点平移到抛物线的顶点，
抛物线平移得抛物线的平移方式为：向右平移2个单位，向下平移4个单位，
设，则，
设的解析式为，它过和，
则，
解得：，
设解析式为，它过和，
则，
解得：，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
当时，，，
；
（3）解：连接，，，设和交于点，和的交点为E，
设的解析式为，它过，
则，
解得，
∴的解析式为；
设的解析式为，它过和，
则，
解得，
∴设的解析式为，
联立方程组，
解得，，
∴，
∴，，，
∵，
是直角三角形，
，
平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为，
，，
，
四边形的面积是定值，这个定值为15．
四边形的面积是定值，这个定值为15
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）由题意，设平移后的新抛物线的表达式为，然后把和代入解析式可得关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出的值即可；
（2）根据（1）中求得的新抛物线的解析式，将新的解析式配成顶点式可得抛物线的顶点平移到抛物线的顶点，由这两个顶点坐标可得平移方式，设，根据平移方式可得，运用待定系数法求出和的解析式，根据并结合两直线平行其k值相等可得，解方程求出的值即可；
（3）连接，，，设和交于点，和的交点为E，用待定系数法求出直线AB的解析式，将直线AB和y=-2x联立解方程组可求得两直线的交点E的坐标，用两点间的距离公式求出OE、BE的长，根据勾股定理的逆定理可得△OEB是直角三角形，即，由平移的性质可得MM ⊥AB，根据四边形AMBM 的面积的构可求解．
（1）解：抛物线平移得到新抛物线，
设新抛物线的表达式为，
把和代入可得：，
解得，
新抛物线的表达式为；
（2）解：新抛物线的表达式为，
抛物线的顶点平移到抛物线的顶点，
抛物线平移得抛物线的平移方式为：向右平移2个单位，向下平移4个单位，
设，则，
设的解析式为，它过和，
则，
解得，
设解析式为，它过和，
则，
解得，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
当时，，，
；
（3）解：连接，，，设和交于点，和的交点为E，
设的解析式为，它过，
则，
解得，
∴的解析式为；
设的解析式为，它过和，
则，
解得，
∴设的解析式为，
联立方程组，
解得，，
∴，
∴，，，
∵，
是直角三角形，
，
平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为，
，，
，
四边形的面积是定值，这个定值为15．
26．（2025·成华模拟）在中，，，是边上一动点（不与点重合），在射线上取点，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
【初步感知】
（1）如图，当点和点重合时，求的长；
【深入探究】
（2）如图，当点落在的延长线上时，求的长；
【拓展延伸】
（3）是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的两倍？若存在，请求出的长；若不存在，说明理由．
【答案】解：（1）如图，当点和点重合时，
根据题意得，
，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（2）如图，当点落在的延长线上时，过点作，垂足为点，
过点作，垂足为点，
设，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，
根据题意得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，；
（3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
过点作，垂足为点，设交于点，
设，
分两种情况讨论：
①如备用图，点，在异侧时，若，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
在中，；
②如备用图，点，在同侧时，若，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
在中，
综上可得，存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的倍，的长为或．
【知识点】解直角三角形；三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，结合已知，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似
”可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，由三线合一定理可得，在Rt△ABM中，用勾股定理求出的值，在Rt△ACM中，由锐角三角函数可将CH用含x的代数式表示出来，根据线段的和差AC=AH+CH可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后在Rt△CPH中，用勾股定理即可求解；
（3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设交于点，设，分两种情况讨论：①点，在异侧时；②点，在同侧时．
1 / 1四川省成都市成华区2025年中考数学二诊试题
1．（2025·成华模拟）在下列四个实数中，是无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2025·成华模拟）如图所示的几何体是由个相同的小立方块搭成的，它的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·成华模拟）年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·成华模拟）下列运算中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·成华模拟）为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是
A．2.2，2.2 B．2.1，2.2 C．2.15，2.2 D．1.7，2.7
6．（2025·成华模拟） 《九章算术》是我国古代重要的数学著作， 其中记载了一个问题， 大致意思为： 现有田出租， 第一年 3 亩 1 钱，第二年 4 亩 1 钱， 第三年 5 亩 1 钱. 三年共得 100 钱. 问：出租的田有多少亩 设出租的田有 亩， 可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·成华模拟）如图，是的直径，若，则的度数等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·成华模拟）如图，在中，是的中点．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点；③以点为圆心，长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；④作直线，交于点．则下列结论不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·成华模拟）因式分解：2a2﹣8=　 　．
10．（2025·成华模拟）函数y= 中，自变量x的取值范围是　 　．
11．（2025·成华模拟）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为　 　．
12．（2025·成华模拟）二十四节气是中国古人智慧的结晶，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律．二十四节气中，春季的节气有：立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨；夏季的节气有：立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑；秋季的节气有：立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降；冬季的节气有：立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒．若从二十四个节气中随机抽一个节气，则抽到的节气在春季的概率为　 　．
13．（2025·成华模拟）由火柴棒摆成的3个图案如图所示，按图中规律摆放，则第2025个图案需要　 　根火柴棒．
14．（2025·成华模拟）（1）计算：；
（2）解不等式组：
15．（2025·成华模拟）某校为了解九年级同学的体考准备情况，随机抽取了部分九年级男生进行米跑测试，并根据测试成绩（按测试成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级）绘制了如下两幅尚不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：
（1）扇形统计图中“良好”所对应的圆心角度数是_____；请补全条形统计图；
（2）该校九年级共有名男生，请你根据抽查结果估计成绩为合格的男生人数；
（3）班甲、乙两位成绩获“优秀”的男生报名参加即将举行的学校运动会米跑比赛，预赛分为，，三组进行，由抽签确定分组情况．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好分在同一组的概率．
16．（2025·成华模拟）如图，将高度为的长方体空水槽放置在水平桌面上，一束光线从水槽上边沿处投射到底部处．向水槽注水，水面上升到的中点处时停止注水，光线射到水面处后发生折射落到底部处．已知，直线为法线，，求，两点之间的距离．（结果精确到；参考数据：，，）
17．（2025·成华模拟）如图，点在以为直径的上，过点作的垂线交于点，交于点，交过点的切线于点．
（1）求证：；
（2）若半径为5，，求的长和的值．
18．（2025·成华模拟）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点．
（1）求直线和反比例函数的解析式；
（2）将直线平移得到直线，若直线与两坐标轴围成的三角形面积是面积的倍，求直线的解析式；
（3）对于点，我们定义：当点满足时，称点是点的等和点．试探究在反比例函数图象上是否存在点，使点的等和点在直线上 若存在，请求出点的坐标；若不存在，说明理由．
19．（2025·成华模拟）已知，那么的值是　 　．
20．（2025·成华模拟）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是　 　．
21．（2025·成华模拟）如图，在菱形中，，其顶点落在反比例函数的图象上，顶点落在轴的正半轴上，顶点落在反比例函数的图象上，则的值为　 　．
22．（2025·成华模拟）如图，在矩形中，，，，是边上两点，且，，连接，，和交于点，连接，则的值是　 　．
23．（2025·成华模拟）若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”.在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是　 　．
24．（2025·成华模拟）在长为米的书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚厘米，每本语文书厚厘米．
（1）若数学书和语文书共本恰好摆满该书架，问数学书和语文书各有多少本？
（2）若书架上已摆放了本数学书，那么最多还可以摆多少本语文书？
25．（2025·成华模拟）如图，将抛物线平移，得到的新抛物线经过点和．在第三象限内新抛物线上取点，设点在原抛物线上的对应点为．
（1）求新抛物线的表达式；
（2）若，求点的坐标；
（3）若点在第三象限内新抛物线上移动，试探究四边形的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值．
26．（2025·成华模拟）在中，，，是边上一动点（不与点重合），在射线上取点，使，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．
【初步感知】
（1）如图，当点和点重合时，求的长；
【深入探究】
（2）如图，当点落在的延长线上时，求的长；
【拓展延伸】
（3）是否存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的两倍？若存在，请求出的长；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A．是整数，属于有理数，∴此选项故不符合题意；
B.0是整数，属于有理数，∴此选项不符合题意；
C．是无理数，∴此选项符合题意；
D．是分数，属于有理数，∴此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据无理数的定义"无限不循环小数叫无理数"并结合各选项即可判断求解．
2．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体可知，从几何体的上面看到的平面图形是由三个小正方形组成的，上面有两个横向摆放的小正方形，其中右侧小正方形的下方有一个小正方形，
俯视图的形状如下图所示，
故答案为：B．
【分析】俯视图是从几何体的上面看到的平面图形，根据几何体中小立方块的位置和个数画出俯视图即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：根据科学记数法可得：万．
故答案为：．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义并结合题意即可求解.
4．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠a2-b2，∴此选项不符合题意；
B、≠6a6，∴此选项不符合题意；
C、，∴此选项符合题意；
D、≠a5，∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、根据完全平方公式“（a-b）2=a2-2ab+b2”可求解；
B、根据单项式乘以单项式法则"单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式"可求解；
C、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
D、根据幂的乘方法则“幂的乘方，底数不变，指数相乘”可求解.
5．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，，
则中位数是，众数是．
故答案为：A ．
【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数；根据众数和中位数的定义并结合题意即可求解．
6．【答案】B
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：出租的田有 亩，第一年的租金为：，第二年的租金为：，第三年的租金为：，由题意可得： .
故答案为：B.
【分析】根据题意分别表示出第一年，第二年，第三年的租金，和为100，即可得到关于x的方程.
7．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵AB是的直径，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角得∠ACB的度数，然后根据圆周角定理得∠A=∠CDB的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：A：由作图可知，
∴此选项不符合题意；
B：∵，
∴，，
∴此选项不符合题意；
C：∵是的中点，，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
D：根据已知条件不能得出，
∴此选项符合题意．
故答案为：D ．
【分析】A、作图过程可知；
B、根据“同位角相等，两直线平行”可得，由“两直线平行，同旁内角互补”可得；
C 、由B可得MN∥BC，并结合M是AB的中点可得是的中点，然后根据线段中点的定义即可求解；
D、根据已知条件不能得AB=2MN.
9．【答案】2（a+2）（a﹣2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：2a2﹣8=2（a2﹣4）=2（a+2）（a﹣2）．
故答案为：2（a+2）（a﹣2）．
【分析】首先提取公因式2，进而利用平方差公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
10．【答案】x＞1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得到：x﹣1＞0，
解得x＞1．
故答案为：x＞1．
【分析】从两个角度考虑：分式的分母不为0；偶次根式被开方数大于或等于0；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
11．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；旋转的性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
∵点，
∴，
∵点在第一象限，
故点，
故答案为：．
【分析】过点作轴于点，过点作轴于点，由同角的余角相等可得∠CAO=∠DOA ，结合已知，用角角边可证△CAO≌△DOA ，由全等三角形的对应边相等可得CA=DO，CO=DA ，结合点A 在第一象限即可求解．
12．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：一共有个节气，其中在春季的节气有个，
从二十四个节气中随机抽一个节气，则抽到的节气在春季的概率为：
．
故答案为： ．
【分析】根据题意可知，一年中所有的节气，找出其中在春季的节气的个数，然后根据概率公式计算即可求解.
13．【答案】
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
14．【答案】（1）解：原式；
（2）解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组解集为．
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式组；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】
（1）由算术平方根的定义“若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根”可得=3，根据特殊角的三角函数值可得cos60°=，由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（π-2025）0=1，再根据有理数的混合运算法则计算即可求解；
（2）分别求出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集“同大取大、同小取小、大小小大取中间、大大小小无解”可求解.
15．【答案】（1），
补全条形统计图如图：
（2）解：成绩为合格的男生人数为（名）．
答：估计成绩为合格的男生人数为名．
（3）解：画树状图可得：
共有种等可能结果，其中两人恰好分在同一组的结果有种，
（甲乙同组），
即甲、乙两人恰好分在同一组的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；概率公式；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）
解：“良好”所对应的圆心角度数是，
抽取的总人数为（人），
合格人数为（人），
则补全条形统计图如图：
故答案为：；
【分析】
（1）由“良好”所占的百分比即可得到“良好”所对应的圆心角度数；结合条形统计图和扇形统计图求出抽取的总人数后即可得到合格人数的频数，补全 条形统计图即可；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图的信息找出所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，然后根据概率公式计算即可求解．
（1）解：“良好”所对应的圆心角度数是，
抽取的总人数为（人），
合格人数为（人），
则补全条形统计图如图：
故答案为：；
（2）解：成绩为合格的男生人数为（名）．
答：估计成绩为合格的男生人数为名．
（3）解：画树状图可得：
共有种等可能结果，其中两人恰好分在同一组的结果有种，
（甲乙同组），
即甲、乙两人恰好分在同一组的概率是．
16．【答案】解：是的中点，为，
，
由题意可知，在中，，，
，
，
由题意可知，在中，，，
，
，
由题可知，，，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
，
答：，两点之间的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】由题意易得、为等腰直角三角形，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形为矩形，由矩形的对边相等可得ON=EC，CN=EO，在Rt△OND中，由锐角三角函数tan∠DON=求得的长度，然后由线段的和差即可求解.
17．【答案】（1）证明：连结，如图，
∵为的切线，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：是的直径，
半径为5
在中，
在和中，
∵∠A=∠A，∠AOD=∠ACB，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
∴，
在中，
.
【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）连结，先根据切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，结合已知，根据等角的余角相等可得，然后根据对顶角相等得到，然后由等角对等边可求解；
（2）先根据圆周角定理“直径所对的圆周角是直角”可得，在Rt△ABC中，用勾股定理求出BC的值，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求出OD的值，在中，设，则，在Rt△OCF中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求得的长，然后在Rt△OCF中，根据正切的定义tan∠F=可求解．
（1）证明：连结，如图
，
∵为的切线，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：是的直径
半径为5
在中，
在和中
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
∴，
在中，
18．【答案】（1）解：把代入，
可得：，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，
可得：，
，
直线的解析式为；
（2）解：，
点的坐标是，
，
如下图所示，
将直线沿轴方向向上平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
将直线沿轴方向向下平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（3）存在 ，理由如下：
解：点的坐标为或，
点在图象上，点在直线上，
设点，点，
点是点的等和点，
，
，
，
，，
经检验，，均是原分式方程的根，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
综上可得，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；相似三角形的性质-对应面积；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可把代入，求出值，即可求得反比例函数的解析式；把代入，求出值，即可求得一次函数的解析式；
由题意分两种情况求解：①将直线沿轴方向向上平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，的长度就是直线中的；
②将直线沿轴方向向下平行移动时，根据平移的性质可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得：，其中的长度是直线中的的相反数；
根据等和点的定义和点、点所在的解析式，设点，点，根据等和点的坐标之间的关系可得方程，解方程求出的值，再把的值代入反比例函数解析式，即可求出符合要求的点的坐标．
（1）解：把代入，
可得：，
，
反比例函数的解析式为，
把代入，
可得：，
，
直线的解析式为；
（2）解：，
点的坐标是，
，
如下图所示，
将直线沿轴方向向上平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
将直线沿轴方向向下平行移动时，
设直线与，轴分别交于点，，则，
，
，
，
，
直线与直线平行，，
直线的解析式为；
综上所述，直线的解析式为或；
（3）解：点的坐标为或，
点在图象上，点在直线上，
设点，点，
点是点的等和点，
，
，
，
，，
经检验，，均是原分式方程的根，
当时，，此时点的坐标为，
当时，，此时点的坐标为，
综上所述，在的图象上存在点，使点的等和点在直线上，点的坐标为或．
19．【答案】
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】将已知的等式整理得，将所求代数式通分括号内，根据除以一个数等于乘以这个数的相反数将除法转化为乘法，将分子分母分解因式并约分可将代数式化简，然后整体代换即可求解.
20．【答案】14
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；配方法的应用
【解析】【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2-3x-5=0的解，
∴x1+x2=3，x1x2=-5，
∴(x1-x2)2+3x1x2=(x1+x2)2-x1x2=32-(-5)=14.
故答案为：14.
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求出x1+x2与x1x2的值，然后利用配方法将待求式子变形为(x1+x2)2-x1x2后整体代入计算可得答案.
21．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作轴于点D，如图所示：
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
解得：，负值舍去，
经检验是方程的解，
∴，
∴，
∵菱形中，
∴，
∵顶点落在反比例函数的图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】过点A作轴于点D，在Rt△AOD中，根据锐角三角函数tan∠AOB=可将AD用含OD的代数式表示出来，设，则，得出，根据点A在反比例函数的图象上可将点A的坐标代入反比例函数的解析式得关于m的方程，解方程求出m的值，根据勾股定理求出，根据菱形性质得点C的坐标，把点C的坐标代入反比例函数的解析式计算即可求解．
22．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；求余弦值；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作交于点，交于点，作交于点，
矩形中，，，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
中，
，
，
中，
，
，，
，，，
四边形是矩形，
，
在中，．
故答案为：．
【分析】作交于点，交于点，作交于点，由题意，根据有三个角是直角的四边形是矩形可得四边形AMNB是矩形，由矩形的性质可得MN=AB，GM⊥AM，由线段的和差EF=BC-BE-CF求得EF的值，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求出NG的值，在Rt△CDE中，用勾股定理求得DE的值，在Rt△ENG中，用勾股定理求得EN的值，由线段的和差BN=BE+EN求得B你的值，用勾股定理求得BG的值，同理可得四边形PBNG是矩形，于是BP=NG，在Rt△BPG中，根据锐角三角函数计算即可求解．
23．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意得，二倍点所在的直线为，
在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”，
即在的范围内，二次函数和至少有一个交点，
令，整理得，，
∴，
解得，
把代入得，代入得，
，解得；
把代入得，代入得，
，解得：，
综上，c的取值范围为：．
故答案为：．
【分析】由题意得，二倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“二倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求解．
24．【答案】（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本，
由题意得：，
解得，
答：数学书有本，语文书有本．
（2）解：设再摆本语文书，
根据题意得：，
解得：，
答：最多还可以摆本语文书．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【分析】
（1）设书架上数学书有本，语文书有本，由题中的两个相等关系“x本数学书+y本语文书=100，x本数学书的费用+y本语文书的费用=100”可列关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设再摆本语文书，根据题中的不等关系列出关于m的不等式，解不等式即可求解．
（1）解：设书架上数学书有本，语文书有本，
由题意得：，
解得，
答：数学书有本，语文书有本．
（2）解：设再摆本语文书，
根据题意得：，
解得：，
答：最多还可以摆本语文书．
25．【答案】（1）解：抛物线平移得到新抛物线，
设新抛物线的表达式为，
把和代入可得：
，
解得：，
新抛物线的表达式为；

（2）解：新抛物线的表达式为，
抛物线的顶点平移到抛物线的顶点，
抛物线平移得抛物线的平移方式为：向右平移2个单位，向下平移4个单位，
设，则，
设的解析式为，它过和，
则，
解得：，
设解析式为，它过和，
则，
解得：，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
当时，，，
；
（3）解：连接，，，设和交于点，和的交点为E，
设的解析式为，它过，
则，
解得，
∴的解析式为；
设的解析式为，它过和，
则，
解得，
∴设的解析式为，
联立方程组，
解得，，
∴，
∴，，，
∵，
是直角三角形，
，
平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为，
，，
，
四边形的面积是定值，这个定值为15．
四边形的面积是定值，这个定值为15
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）由题意，设平移后的新抛物线的表达式为，然后把和代入解析式可得关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出的值即可；
（2）根据（1）中求得的新抛物线的解析式，将新的解析式配成顶点式可得抛物线的顶点平移到抛物线的顶点，由这两个顶点坐标可得平移方式，设，根据平移方式可得，运用待定系数法求出和的解析式，根据并结合两直线平行其k值相等可得，解方程求出的值即可；
（3）连接，，，设和交于点，和的交点为E，用待定系数法求出直线AB的解析式，将直线AB和y=-2x联立解方程组可求得两直线的交点E的坐标，用两点间的距离公式求出OE、BE的长，根据勾股定理的逆定理可得△OEB是直角三角形，即，由平移的性质可得MM ⊥AB，根据四边形AMBM 的面积的构可求解．
（1）解：抛物线平移得到新抛物线，
设新抛物线的表达式为，
把和代入可得：，
解得，
新抛物线的表达式为；
（2）解：新抛物线的表达式为，
抛物线的顶点平移到抛物线的顶点，
抛物线平移得抛物线的平移方式为：向右平移2个单位，向下平移4个单位，
设，则，
设的解析式为，它过和，
则，
解得，
设解析式为，它过和，
则，
解得，
，
，
，
经检验：是原方程的根，
当时，，，
；
（3）解：连接，，，设和交于点，和的交点为E，
设的解析式为，它过，
则，
解得，
∴的解析式为；
设的解析式为，它过和，
则，
解得，
∴设的解析式为，
联立方程组，
解得，，
∴，
∴，，，
∵，
是直角三角形，
，
平移过程中，点的对应点为点，点的对应点为，
，，
，
四边形的面积是定值，这个定值为15．
26．【答案】解：（1）如图，当点和点重合时，
根据题意得，
，
，
，
，
又，
，
，
，
；
（2）如图，当点落在的延长线上时，过点作，垂足为点，
过点作，垂足为点，
设，
，
，
在中，，
在中，，
在中，，
，
根据题意得，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，；
（3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，
过点作，垂足为点，设交于点，
设，
分两种情况讨论：
①如备用图，点，在异侧时，若，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
在中，；
②如备用图，点，在同侧时，若，
，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
在中，
，
，
，
，
，
，
在中，
综上可得，存在点，使点到直线的距离是点到直线的距离的倍，的长为或．
【知识点】解直角三角形；三角形的综合；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得，结合已知，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似
”可证，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，由三线合一定理可得，在Rt△ABM中，用勾股定理求出的值，在Rt△ACM中，由锐角三角函数可将CH用含x的代数式表示出来，根据线段的和差AC=AH+CH可得关于x的方程，解方程求出x的值，然后在Rt△CPH中，用勾股定理即可求解；
（3）过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设交于点，设，分两种情况讨论：①点，在异侧时；②点，在同侧时．
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