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安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期5月测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数，则（ ）
A． B．2 C． D．
2．已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．设m、n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是
A．若m//α，n α，则m//n B．若m//α，n//α，则m//n
C．若m⊥n，n α，则m⊥α D．若m⊥α，m//n，则n⊥α
4．如图是正四面体的平面展开图，分别为的中点，在这个正四面体中，以下四个说法中错误的是（ ）
A．与平行 B．与为异面直线
C．与成60°角 D．与垂直
5．在三棱锥A BCD中，AD=BC，且AD与BC所成的角为60°，若E，F分别是AB，CD的中点，则直线EF与所成的角为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．30°或60°
6．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知在中，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
8．如图，正四面体的棱长为2，点E在四面体外侧，且是以E为直角顶点的等腰直角三角形．现以为轴，点E绕旋转一周，当三棱锥的体积最小时，直线与平面所成角的正弦值的平方为（ ）

A． B． C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的有（ ）
A．如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内
B．过直线外一点，只能作一个平面与这条直线平行
C．如果一条直线与平面内的无数条直线平行，则该直线与平面平行
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
10．如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，，则下列结论正确的是（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．三棱锥体积的最大值为
C．的取值范围是
D．若，为线段上的动点，则的最小值为
11．如图，在山脚测得山顶的仰角，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在处测得山顶的仰角为，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．与平面向量反向共线的单位向量的坐标为 .
13．已知复数满足，其中为虚数单位，则的最小值为 .
14．在底面边长为1且高为的正六棱锥内部放一个正方体，使其能在该正六棱锥内任意转动，则正方体棱长的最大值为 ．
四、解答题
15．设为实数，若向量．
(1)若与垂直，求的值；
(2)当为何值时，三点共线．
16．如图，直三棱柱中，，、分别为、的中点．
(1)求证：；
(2)若，三棱锥的体积为，求直线与平面所成角大小．
17．如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形. ，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上点.
(1)证明：平面；
(2)求异面直线与夹角的余弦值.
18．已知锐角中，分别是角的对边，且.
(1)求；
(2)记的面积为S，求的取值范围．
19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为，其中为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面，平面，…，平面和平面为多面体M的所有以P为公共点的面．已知三棱锥如图所示．
(1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)若平面ABC，，，三棱锥在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面PBC的距离；
(3)在（2）的前提下，又知点Q在棱PB上，直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为，求BQ的长度．
安徽省芜湖市安徽师范大学附属中学2024-2025学年高一下学期5月测试数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A D A B C B D AD BD
题号 11
答案 BCD
1．B
【详解】，
则，
所以.
故选：B.
2．A
【详解】由题意，在上的投影向量为.
故选：A
3．D
【详解】中，还可能有异面，A错；B中相交、平行、异面都有可能，B错；
C中仅仅垂直于平面中的一条直线，与斜交也都有可能，C错；
，则垂直于内所有直线，而，则也垂直于内所有直线，，正确．
故选：D．
4．A
【详解】还原成正四面体，
如图，由异面直线判定定理：
易知与为异面直线，A错，
与为异面直线，B对，
易知：，又，
所以与成角，C对，
因为正四面体对棱垂直，所以，
所以，D对，
故选：A
5．B
【详解】因为E，F，G分别是AB，AC，BD的中点，
所以，
由于AD与BC是异面直线，根据异面直线所成角的定义可知，
为异面直线AD与所成角，
因为AD与BC所成的角为60°，
所以直线EF与所成的角为60°.
故选：B.
6．C
【详解】在中利用正弦定理得，则，
若有且仅有一个，则或，或，
则边长的取值范围是.
故选：C
7．B
【详解】依题意，如图建立平面直角坐标系，则，，，
因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，
设，，则，，
可得
，其中，，
因为，则，可得，
所以的最大值为6.
故选：B
8．D
【详解】在正四面体中，取中点F，连接，则，
取中点M，连接，则，
是以E为直角顶点的等腰直角三角形，正四面体的棱长为2，
则，且，

点E绕AD旋转一周，形成的图形为以M为圆心，以为半径的圆，
设该圆与的交点为，当三棱锥的体积最小时，即E点到底面的距离最小，
即此时E点即位于处，
因为正四面体的棱长为2，则，
又中点为M，则，则，
设点在底面上的射影为H，则，
又，中点为F，故，
故，
由于点在底面上的射影为H，故即为直线与平面BCD所成角，
故，
故选：D
9．AD
【详解】由基本事实2可知，如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线一定在这个平面内，故A正确；
因为过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，
所以经过这条直线且不经过已知直线的平面都与已知直线平行，
即过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行，故B错误；
一条直线平行于平面内的无数条直线，该直线与平面平行或直线在平面内，故C错误.
由基本事实3知，如果两个不重合的平面有一个公共点，
那么他们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确；
故选：AD.
10．BD
【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径.
对于选项A：圆锥的侧面积为，故选项A错误；
对于选项B：由圆的几何性质可知，由勾股定理可得，
由基本不等式可得，可得，
即，当且仅当时，等号成立，
则三棱锥体积为：，
即三棱锥体积的最大值为，故选项B正确；
对于选项C：因为，故，
当点与点重合时，；当点与点重合时，，
又因为点与、不重合，则，
又，可得，故选项C错误；
对于选项D：因为，，，
由可得.
又，所以为等边三角形，则.
将以为轴旋转到与共面，
得到，则为等边三角形，.
如图，当、、三点共线时，取最小值.
因为，，
所以，
，故选项D正确.
故选：BD.
11．BCD
【详解】由题意可得，，，，，，
对于A选项，，，
所以，
，
在中，由正弦定理得，故，A错；
对于B选项，
，
在中，由正弦定理可得，故，
在中，，B对；
对于C选项，在中，，C对；
对于D选项，在中，，D对.
故选：BCD.
12．
【详解】平面向量反向共线的单位向量的坐标为,
故答案为：
13．/
【详解】设（），已知，根据复数模的计算公式，
可得，两边同时平方得.
这表示复平面内以原点为圆心，为半径的圆.
将代入，可得.
根据复数模的计算公式，，它表示复平面内点到点的距离.
点到圆心的距离为.
因为圆的半径为，所以点到圆上的点的距离的最小值为点到圆心的距离减去圆的半径，即.
所以的最小值为.
故答案为：.
14．
【详解】由于正六棱锥的底面边长为1，高为，则侧棱长为2，
正六棱锥的底面积，
侧面面积，
正六棱锥的体积，
设正六棱锥的内切球的半径为，
则，解得，
设正方体的棱长为，
要使正方体能在该正六棱锥内任意转动，
则正方体的外接球直径不超过正六棱锥的内切球直径，
而正方体的外接球直径为其体对角线，
则，，
正方体的棱长的最大值为．
故答案为：.
15．(1)
(2)或
【详解】（1）由题意可得：，
若与垂直，则，解得.
（2）由题意可得：，，
若三点共线，则，
可得，解得或．
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点为，连接、，
在直三棱柱中，，，故四边形为平行四边形，
所以，，
因为、分别为、的中点，所以，，
故四边形为平行四边形，所以，
因为平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为、分别为、的中点，所以，
因为，则，故，
因为，，，、平面，故平面，
因为平面，所以.
（2）因为，为的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
因为，、平面，故平面，
因为，，则，
所以，
因为平面，平面，则，
因为，，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，解得，
因为平面，所以直线与平面所成角为，
在中，，，所以，
因为，故，因此直线与平面所成角为.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在四棱锥中，连接，连接，
在梯形中，由，得，
由点是棱上靠近端的三等分点，得，则，
而平面，平面，所以平面.
（2）在上取点，使，连接，则，即，
因此是异面直线与所成的角或其补角，，
由平面，平面，得，
，，在中，，
由余弦定理得，
在等腰中，，
所以异面直线与夹角的余弦值是.
18．(1)
(2)
【详解】（1）在中，由及正弦定理，
得，
整理得，而，则，
两边平方得，而，解得，
所以.
（2）由（1）及已知得，由余弦定理得，
则，
由锐角，得，整理得，
而，
函数在上单调递增，则，，
令，函数在上单调递减，在上单调递增，
因此，即，
所以的取值范围为.
19．(1)2
(2)
(3)
【详解】（1）根据离散曲率的定义得，
，
，
又因为
，
所以．
（2）∵平面平面，∴，
又∵，平面，∴平面，
∵平面，∴，
∵，即
∴，∴，过点A作于点，
由平面平面，得，
又平面，则平面，
因此点A到平面PBC的距离为线段的长，在中，，
∴点到平面的距离为.
（3）过点作交于，连结，
∵平面，∴平面，
∴为直线与平面所成的角，
依题意可得，，
，
，，
设，则，
在中， ，
又，所以，
则，
∴，解得：或（舍）
故.

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