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陕西省西北工业大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数满足，则（ ）
A． B．1 C． D．
2．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．已知在中，，且，则的形状为(　　)．
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等腰直角三角形
4．已知复数分别满足，，则的最大值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在三棱柱中，M为A1C1的中点N为侧面上的一点，且MN//平面，若点N的轨迹长度为2，则（ ）

A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6
7．已知圆台的上 下底面圆的半径分别为2，5，侧面积为，则以该圆台外接球的球心为顶点，上 下底面圆为底面的两个圆锥的体积比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．的重心为点，点O，P是所在平面内两个不同的点，满足，则（ ）
A．三点共线 B．
C． D．点在的内部
9．下列结论在复数集中成立的有（ ）
A． B．或
C．对于非零复数， D．对于虚数，若，则
10．对于，下列说法正确的有（ ）
A．若，则符合条件的有两个
B．若，则
C．若，则是钝角三角形
D．若，则为等腰三角形
11．如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有（ ）
A．三棱锥 B．三棱锥
C．三棱锥 D．三棱锥
三、填空题
12．正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为 ．
13．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积为 .
14．已知向量，满足，则在上的投影向量的坐标为 ．
四、解答题
15．已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）.
(1)设复数，求；
(2)复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
16．如图所示，在中，是边边上中线，为中点，过点点直线交边，于，两点，设，，（，与点，不重合）
(1)证明：为定值；
(2)求的最小值，并求此时的，的值.
17．在中，角的对边分别为，已知．
(1)求角；
(2)若是的一条内角平分线，，，求的周长．
18．如图所示，三棱柱，底面是边长为2的正三角形，侧棱底面，点分别是棱，上的点，点是线段的中点，．
(1)求证平面；
(2)求与所成角的余弦值；
(3)若，求多面体的体积.
19．已知，且，当时，定义平面坐标系为“仿射”坐标系，在“仿射”坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：，分别为轴，轴正方向上的单位向量，若，则记为，那么，
(1)在“仿射”坐标系中，下列结论是否仍然成立：
①设，则；
②设，，若，则；
(2)设，，证明：的充要条件是；
(3)设，，若与的夹角为，求的值.
陕西省西北工业大学附属中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C A D B B D AC BD BC
题号 11
答案 ACD
1．C
【详解】由题意，在中，，即，
∴，.
故选：C.
2．C
【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为，
因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为，
则圆锥和圆柱的高为，
所以圆锥的侧面积为，
圆柱的侧面积为，
所以圆锥和圆柱的侧面积之比为,
故选:C.
3．A
【详解】∵，∴
∴90°<∠BAC<180°，故是钝角三角形．
答案为：A
4．D
【详解】设，则，
如图，复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，
复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，
则．
故选：D．
5．B
【详解】
连结，，因为在正方体中，M，N分别为的中点，
所以，
因此，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，显然为.
故选：B
6．B
【详解】如图，

取的中点D，的中点E，连接MD，DE，ME，
由，，
又平面，平面，所以平面，
同理可得平面，又，平面
所以平面平面，又平面，
故点N的轨迹为线段DE，又由，可得．
故选：B．
7．D
【详解】依题意，记圆台的上 下底面半径分别为，设圆台的母线为，则侧面积为，故，
则圆台的高，
依题意画出轴截面，
记外接球球心到上底面的距离为，
则，解得，
故两个体积之比为
故选：D
8．AC
【详解】
，
因为点为的重心，
所以，所以，
所以三点共线，故A正确，B错误；
，
因为，
所以，即，故C正确；
因为，
所以点的位置随着点位置的变化而变化，故点不一定在的内部，故D错误；
故选：AC．
9．BD
【详解】对于A，取，满足，而，A错误；
对于B，设，，
由，得，，
则或，即或，因此或，
反之或，得，B正确；
对于C，取，，C错误；
对于D，由，得，解得或，
当时，，当时，同理，D正确.
故选：BD
10．BC
【详解】对于选项A：由余弦定理可得：
，
即，只有一解，故A错误；
对于选项B：若，则，由正弦定理可得成立.故B正确；
对于选项C：若，由正弦定理得，
由余弦定理，且
所以为钝角，即是钝角三角形，故C正确；
对于选项D：因为在三角形中，，
故若，则或，可得或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故D不正确，
故选：BC.
11．ACD
【详解】记平行六面体的体积为，
对于A，由平行六面体的性质，平面故点到平面的距离等于点到平面的距离，故,故A正确；
对于B,因为，底面面积固定，点在线段上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误；
对于C，因为平面平面故平面
点到平面的距离等于点到平面的距离，
故，故C正确；
对于D，因为平面平面故平面
点到平面的距离等于点到平面的距离，
故，故D正确；
故选：ACD.
12．
【详解】设正方体的棱长为，则其内切球 棱切球 外接球的半径分别为，即半径之比为，
又球的体积公式为（为球的半径），
所以正方体的内切球、棱切球、外接球的体积之比为.
故答案为：
13．
【详解】解：因为，由正弦定理可得：，即，
又，所以，
由，
所以，
故答案为：.
14．
【详解】已知，则.
因为，根据向量垂直的性质可知，即.
将代入上式可得，即，解得.
根据投影向量的计算公式，向量在向量上的投影向量为.
将，，代入可得：
.
故答案为：.
15．(1)；
(2).
【详解】（1）解：因为，则，
所以为纯虚数，
所以，解得.
所以，
因此.
（2）解：因为，
则，
因为复数在复平面内对应的点位于第一象限，
则，解得.
因此实数的取值范围是.
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为是边边上中线，，所以.
又是的中点，，
所以.
因为三点共线，所以且
所以，即为定值；
（2）由（1）
所以
，
当且仅当,即时，等号成立.
所以时，的最小值.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由已知及正弦定理：，
，
，
，.
（2）在中，由，
可得：，
又平分，则，
所以，
整理得①．
又由余弦定理，可得，即，
则有②，
由①②解得：或（舍），
所以的周长为.
18．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）取的中点，连接，
由分别为的中点，得，，
而，且，则，且 ，
四边形为平行四边形，， 又平面，平面，
所以平面.
（2）由（1）知，，则为直线与所成角，
由平面，，得平面，而平面，
则，，，
直角梯形中，，
则，
在中，由可得，
在中，，，
在中，，，
所以与所成角的余弦值为.
（3）在棱柱中，取中点，连接，则，
由平面，平面，得，而，
平面，则平面，而，，
四棱锥的体积，由，得，
三棱柱的体积，
所以多面体的体积为.
19．(1)①不成立，②成立；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）由题设，则，
①且，则，当时，则不成立；
②由，又，则且，故，则；
故①不成立，②成立.
（2）由，又，则，
所以，得证.
（3）由题设，，则，
，
，
所以，则，
且，则，即.

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