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襄阳五中2024级高一下期中考试复习数学试题
一、单选题
1．复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：℃）满足函数关系（，为常数）若该食品在的保鲜时间是168小时，在的保鲜时间是42小时，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A．21小时 B．22小时 C．23小时 D．24小时
3．若是第四象限角，则下列选项中能确定为负值的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列命题中，正确的是（ ）
A．在△ABC中，若，则△ABC为等腰直角三角形
B．在△ABC中，，，，若此三角形恰有两解，则实数x的取值范围是
C．在△ABC中，三边之比为，则此三角形的最大内角为
D．在△ABC中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则△ABC的外接圆半径
5．已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小．其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点被称为费马点．已知分别是△ABC的内角的对边，且，若为△ABC的费马点，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，记方程在上的根从小到大依次为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数定义为：，若函数恰好有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若，则（ ）
A． B．x，y不能同时为整数
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．实数，满足：，则且
B．复平面内的对应点位于直线上，则
C．在复数范围内，方程的解是
D．在复平面内指出与复数，，，对应的点，，，，则这4个点在同一个圆上
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．直线是的图象的一条对称轴
B．为奇函数
C．在区间内有两个零点
D．若且，则的最小值为
三、填空题
12．已知复数，满足，，则的最大值为．
13．已知函数，则．
14．如图，是三个边长为1的等边三角形，且有一条边在同一直线上，边上有5个不同的点，设，则．
四、解答题
15．已知复数，（，为虚数单位）.
(1)若，且，求与的值；
(2)设复数在复平面上对应的向量分别为，若，且，求的最小正周期和严格减区间.
16．某游乐场内有一直径为的摩天轮，已知轴心到地面的高度为．开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置时进舱，转一周大约需要．
(1)一游客坐上摩天轮的座舱，开始转动后距离地面的高度为，求转动一周过程中，关于的函数解析式；
(2)当时，求此游客距离地面的高度；
(3)在摩天轮转动一周过程中，此游客距离地面高度不少于的时间有多长？
17．如图，在中，，，，为内一点，且．
(1)若，求的长；
(2)若，求．
18．已知，（且）
(1)求函数的定义域；
(2)若，函数的最小值为2，求的值；
(3)在（2）的条件下，存在，使得不等式成立，求的取值范围．
19．对于常数集合和变量，定义为相对集合的“n元余弦方差”.
(1)若集合，求相对集合的二元余弦方差.
(2)当集合时，求相对集合的三元的余弦方差.
(3)在直角坐标系中，已知为相对集合的一元余弦方差，函数，且，请问在y＝φ(x)的图象上，是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
襄阳五中2024级高一下期中考试复习数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A C D C D C D ABD ABD
题号 11
答案 AC
1．C
【详解】，
所以在复平面内所对应的点坐标为，在第三象限.
故选：C
2．A
【详解】当时，，当时，，
所以，；
当时，.
故选：A.
3．C
【详解】因为是第四象限角，
所以为第二或第四象限角，终边在第三象限，或y轴负半轴，或第四象限，
故．
故选：C.
4．D
【详解】对于A，因为，
所以或，所以或，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，因为△ABC恰有两解，
所以，即，解得，故B错误；
对于C，不妨设三边分布为，
则对应的角最大，设为，
则，
所以，即三角形的最大内角为，故C错误；
对于D，设所对的边分别为，
若为最大角，则，
若为最小角，则，所以角既不是最大角也不是最小角，
即边既不是最大边也不是最小边，
因为最大边与最小边是方程的两个实根，
所以，
由余弦定理得，所以，
所以△ABC的外接圆半径，故D正确.
故选：D.
5．C
【详解】令，函数在上单调递增，
由函数在上单调递减，得函数在上单调递减，且当时，，
因此，解得，
所以“”是“函数在上单调递减”的必要不充分条件.
故选：C
6．D
【详解】因为，
所以，
即，因为，所以，
因为，所以，
由三角形内角和性质可知，△ABC的三个内角均小于，结合题设易知点一定在△ABC的内部，
由余弦定理可得3，
解得，
因为
，
所以，
所以，
故选：D．

7．C
【详解】，则，即，
即
∵，∴
令，则，
函数在上的图象如下图所示，

由图可知，与共有5个交点，
所以：
其中，
即，，
解得，
所以.
故选：C.
8．D
【详解】①当时，要使有意义，故；
方程为，平方得，，解得；
显然，解不等式得；
在上满足：当或时，有1个零点；当时，有两个零点；
②当时，若，，函数有无穷个零点；
当时，方程，即，
解得，令，即；
即在上满足：当且时，有1个零点；当时，有无穷个零点；当时，没有零点．
综上，当时，有三个零点．
故选：D．
9．ABD
【详解】对于A，由，且，得，，A正确；
对于B，由选项A知，若，则，取，则，；
当时，，则，；同理当时，，
因此不能同时为整数，B正确；
对于C，，当且仅当时取等号，
则，，，C错误；
对于D，由，得，则，
当且仅当时，即，时取等号，
因此，D正确．
故选：ABD
10．ABD
【详解】对于选项A：因为，
则，解得，故A正确；
对于选项B：因为复数的对应点为，
要使点在直线上，
则，解得，故B正确；
对于选项C：因为，即，
可得，即
所以方程的解为，故C错误；
对于选项D：在复平面内与题中所给四个复数对应的点依次为，，，，
可得，
所以，，，，这4个点在原点为圆心，为半径的圆上，故D正确；
故选：ABD.
11．AC
【详解】对于A，当时，，
所以直线是图象的一条对称轴，A正确．
对于B，，
，不是奇函数，B错误．
对于C，令，即．
在区间内，，结合在上的图象可知，
直线与的图象有两个交点，
则有两解，
所以在区间内有两个零点，C正确．
对于D，因为，所以，
若且，则，．
当时，，；
当时，，，
则，其最小值为，D错误．
故选：AC
12．/
【详解】设，则，
则，即B在以A为圆心，半径为1的圆上，
则表示圆上点B到原点的距离，
由图可得当B，A，O三点共线时取最大值，为.
故答案为：.
13．2783
【详解】由知，
设，则，
对照系数，得，则，即，
则，
的图象关于点中心对称；
故．
即
，
故答案为：2783
14．
【详解】由是三个边长为1的等边三角形，
所以为等腰三角形，，，
所以，，
延长交于点，如下图示，易知，
所以，故，
所以
，
所以.
故答案为：
15．(1)或，；
(2)，严格减区间为.
【详解】（1）若，且，
则，
，解得或.
（2）由题得，
若，且，则，
即，
所以函数的最小正周期为；
令，
所以函数的严格减区间为.
16．(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）设，
由题意知：，，
故，
，，可取，
，
故解析式为，．
（2），
所以当时，求此游客距离地面的高度为．
（3）由题得，，即，
解得，
所以此游客距离地面高度不少于的时间有．
17．(1)
(2)
【详解】（1）在中，，
则，
所以，
在中，由余弦定理得
，
所以；
（2）设，则，
在中，因为，
所以,
在中，,
所以，即，
所以，即.
18．(1)答案见解析
(2)．
(3)
【详解】（1）令，即，
当时，；
当时，；
当时，．
（2）当时，，
令，
已知的最小值为2，则有最大值为，
其对称轴为，
则，解得．
（3）由题可知，使得成立，
令为减函数，
则，，
即，使得成立，即，
因为，故，
令，
当且仅当，即时成立，
所以，故
19．(1)
(2)
(3)存在，
【详解】（1）因为集合，
由余弦方差的计算公式，可得.
（2）因为集合时，
由余弦方差的计算公式，可得
.
（3）当时，可得一元余弦方差为，
则，
可得，
又点在的图象上，故设点，
可得，
由，可得，
即，所以，
可得，
因，，可得，
而，故要成立，当且仅当时，，此时，，
即当点时，.

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